第八章-静电场中的导体和电介质.

静电场 求电场和电势分布 第八章静电场中的导体和电介质 8学时 静电场总结 8 1静电场中的导体 Conductors 一 金属导体 固定在晶格点阵上的正离子和不规则运动的自由电子的集合 二 导体的静电平衡条件 导体的静电平衡状态 导体内部和表面都没有电荷定向移动的状态 导体静电平衡的微观过程 静电平衡条件 静电平衡条件下 导体是等势体 导体表面是等势面 8 1 1导体的静电平衡条件 8 1 2静电平衡时导体上电荷的分布 ChargeDistribution 处于静电平衡导体 内部各处净电荷为零 电荷只分布在表面 处于静电平衡的导体 其表面上各处的面电荷密度与当地表面紧邻处的电场强度大小成正比 取如图所示高斯面 由高斯定理和静电平衡条件 孤立导体处于静电平衡时 它的表面各处的面电荷密度与各处表面的曲率有关 曲率越大的地方 面电荷密度也越大 解 导体表面某处的面元dS处的面电荷密度为 它在其两侧紧邻处的场强为E1 E2 2 0 例 面电荷密度为 的无限大均匀带电平面 其两侧 或有限大均匀带电面两侧紧邻处 的场强为 2 0 静电平衡的导体表面某处面电荷密度为 在表面外紧邻处的场强为 0 为什么前者比后者小一半 除dS外 导体表面其它电荷在dS内侧紧邻处的场强为E3 在外侧紧邻处的场强为E4 由场强叠加原理和静电平衡条件得E内 E1 E3 0 由场强叠加原理得E外 E2 E4 2E2 0 E1 E2 E3 E4 因为两个紧邻处相对于其它表面可看成一个点 故E3 E4 应用 尖端放电 r小 大 E大 电风 为避免漏电危险 高电压的零部件必需做得十分光滑或成球面 相反 避雷针利用其尖端的电场强度大 空气被电离 形成放电通道 尖端附近的场强特别强 当场强达到一定程度后 空气会被击穿 产生尖端放电现象 Q 一 导体 带电量Q 空腔处于静电平衡时 若腔内无带电体 若腔内有电荷q 电荷只分布在外表面上 内表面 q外表面 Q q Q 8 1 3静电屏蔽 ElectrostaticShielding 二 空腔导体可以屏蔽外电场 静电屏蔽 静电平衡时导体内部的电场为零 EQ Eq 外表面以内空间 0 当Q大小或位置改变时 q 感应电荷 将自动调整 保证上述关系成立 三 接地空腔导体既可以屏蔽外电场 也可以屏蔽内电场 Eq Eq 内表面以外空间 0 导体空腔内部有电荷 作高斯面 可以证明空腔内壁带电为 q 由于导体本身不带电 因此其外表面必带电量 q 会在外部产生电场 而起不到屏蔽效果 如果将导体接地 导体外表面的电荷就会沿导线移走 使外部场强为0 因而接地空腔导体可保护腔外空间不受腔内带电体的影响 起到屏蔽作用 例1 一块大金属平板 面积S 总电量Q 在其近旁平行放置第二块大金属平板 此板不带电 1 求静电平衡时 金属板上的电荷分布及周围空间的电场分布 2 如果把第二块金属板接地 最后情况又如何 忽略金属板的边缘效应 解 1 由电荷守恒定律可知 取如图柱型高斯面 由于板间电场与板面垂直 板内电场为零 所以通过此高斯面的电通量为零 由高斯定理得 3 考虑金属板内任一点P的场强为零 得 4 联立求解可得 电场的分布为 2 如果把第二块金属板接地 第一块金属板上电荷守恒 由高斯定律仍可得 金属板内P点的场强为零 所以 联立求解可得 其右表面上的电荷就会分散到地球表面上 所以 例2 半径为R1的金属球电量为q1 外面有一同心金属球壳电量为q2 内外半径分别为R2和R3 求场强和电势分布 解 场强分布 电势分布 用导线将球和球壳连接起来 场强和电势如何变化 例3 同心导体球面 半径分别为R1和R2 电量分别为Q1和Q2 当把内球接地时 内球带电多少 解 内球接地 其电势为零 设其电量为 内球接地 电量不一定为零 内球接地 电势为零 为什么在内球上还电势叠加 内球接地 其电势为零 这是在满足静电平衡条件下的某种特定的空间电荷分布的必然结果 这种特定分布的空间电荷产生的电场能保证从球内任意点沿任意路径到无穷远的场强的线积分为零 或者这些电荷在球内任意点产生电势的叠加都为零 例4一个不带电的金属球接近点电荷 q 当距离为r时 求 1 感应电荷在球心的电场强度 金属球的电势 2 若将金属球接地 球上的净电荷 解 1 球心电场 感应电荷电场 由电势叠加 球心总电势 q在球心处产生电势 感应电荷在球心电势 2 设金属球接地后有净电荷q1 位于表面 则总电势为 例5如图 求O点处感应电荷密度 解 取导体板内很邻近O点的O 点 直线在O 点产生的电场 感应电荷在O 点产生的电场 总电场 例6 在x 0的半个空间内充满金属 在x a处有一电量为q的正的点电荷 求导体表面的场强和导体表面的感应电荷面密度 解 空间任意点的电场是点电荷q单独产生的电场和金属表面感应电荷单独产生的电场叠加 点电荷q在金属表面y处产生的电场 感应电荷在金属表面y处靠内的电场 根据对称性 感应电荷在金属表面y处靠外的电场 金属表面y处场强 第八章 导体 电介质 8 2静电场中的电介质 一 电介质的主要特征 理想的电介质内没有可自由移动的电荷 在电场作用下 电介质中的电荷只能在分子范围内移动 本课程研究理想的电介质 即各向同性电介质 两种电容器加相同电压时 电介质进入静电场后 其状态会发生变化 并反过来影响静电场 二 实验现象 8 2 1电介质对电场的影响 两种电容器带相同电荷时 真空 r 1空气 0 1atm r 1 00059纯水 0 1atm r 80玻璃 r 5 10钛酸钡 r 103 104 r标志电介质对静电场影响的程度 是反映物质电学性能的一个重要参数 一 电介质的极化现象 束缚电荷 电介质在电场的作用下 表面上出现的电荷不能脱离电介质 叫束缚电荷 极化电荷 电介质的极化 在外电场的作用下 均匀电介质表面出现束缚电荷的现象 叫做电介质的极化 束缚电荷也产生静电场 其产生电场符合所有静电场基本规律 问题 为什么电介质电场强度会减少到真空时的1 r 8 2 2电介质的极化 Polarization 二 电介质极化的微观解释 两种电介质 分子电偶极矩模型 分子有正 负电荷分布中心 根据它们是否重合划分为 H2 CO2 CH4 He等 H2O NH3 有机酸等 正负中心发生位移 产生电偶极矩 发生位移极化 受力矩 向外电场方向转动 发生取向极化 混乱取向 三 电极化强度 Polarization 定义 单位 描述电介质极化程度的物理量 介质处于极化状态时 单位体积内分子电偶极矩矢量和 四 电介质的极化规律 各向异性 anisotropy 线性电介质 各向同性电介质实验证明 电极化强度与电场强度成正比 方向相同 五 束缚电荷分布及与电极化强度的关系 高斯面内的净束缚电荷是如何出现的 高斯面内的净束缚电荷出现在什么地方 r相对介电常数 因极化产生的面束缚电荷对电场的影响 一极化的电介质 在其内部任取体积为V的一块介质 考虑其内部因极化而引起的净电荷的变化 考虑一小面元 S 以此面为中分面 沿电偶极矩方向做斜高为l的柱体 只有在这一体积内的分子才因极化而被S面切断 从而对V内的净电荷有贡献 介质内分子数密度为n 其贡献的电荷数为 只有被S面切割的那些电偶极子才对V内的净电荷有贡献 其贡献的电荷为 包围在S内的净电荷为 极化电荷 在均匀介质内部 无体分布的极化电荷分布 在两种不同介质的交界面上有极化电荷分布 极化电荷面密度等于两种介质的极化强度的法向分量之差 在介质和真空的交界面上 极化电荷面密度等于极化强度的法向分量 计算某介质内在交界面上极化电荷面密度时 法线方向总指向介质外 例 求均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布 并求极化电荷在球心处的场强 已知电极化强度 解 为与的夹角 如图所示细圆环包含的极化电荷在球心处生成的电场为 方向向左 极化电荷 电介质中电场 第八章 导体 电介质 8 3有介质时的高斯定理 取如图高斯面 定义电位移矢量 的高斯定律 电介质的介电常数 单位 电介质中求解电场和束缚电荷分布的方法 单位试验电荷的受力 单位体积内的电偶极矩的矢量和 无物理意义 真空中关于电场的讨论都适用电介质 高斯定律 环路定理 电势等 各向同性均匀电介质中表面束缚电荷 穿过任意闭合曲面的的通量只与面内自由电荷有关 电介质中三个物理量的意义和特点 三种力线的分布特点 解 1 取如图所示柱形高斯面 上 应用高斯定律 例1如图 求 1 导体板与电介质板之间空隙中的电场强度E0 2 电介质中的电场强度E 3 两导体板间的电势差 3 V E0 d b Eb 方向向下 2 仍取柱形高斯面 下 方向向下 例2一个带正电的金属球 半径为R 电量为q 浸在油中 油的相对介电常数为 r 求球外的电场分布以及贴近金属球表面上的束缚电荷q 解 可见 当带电体周围充满电介质时 场强减弱为真空时的1 r倍 当均匀电介质充满整个电场存在的空间时 介质对电场的影响可以归结为场源由 qi变为 qi r 这反映了极化电荷对自由电荷的场有一定程度的屏蔽作用 解 1 例3在两平行金属板之间以如下不同方式插入电介质 已知 Q和 Q 面积S 忽略边缘效应 试求 2 每个金属板自身为等势体 由电荷守恒 有 联立上面三个方程 解得 V1 V2 E1d E2d E1 E2 3 静电场的边界条件 的切向分量 的法向分量 取扁柱形高斯面 由的高斯定律 界面无自由电荷 得D1n D2n 即分界面两侧电位移矢量的法向分量相等 取矩形回路 由环路定理 得E1t E2t 即分界面两侧电场强度的切向分量相等 上面例题就是静电场边界条件的两种特殊情况 界面法向分量D1 D2 界面切向分量E1 E2 界面两侧的线如图 它们与界面法线夹角分别为 1和 2 由此得到线的折射定律 第八章 导体 电介质 8 4电容器 电容 CapacitorsandCapacitance 电容是指导体储存电荷的能力 它依赖于导体的大小 形状 表示升高单位电势所需要的电量 例如球状导体 所以 求得地球的电容仅为0 74mF 8 4 1孤立导体的电容 对一块带电导体 其电势V 取无穷远为电势零点 与其电量Q成正比 其比值是一个常数 定义孤立导体的电容 单位 C V F F 10 6F pF 10 12F 8 4 2电容器的电容 为获得较强容纳电荷的能力 电容 一般不用孤立导体做电容器 对两导体电容器 定义电容 导体之间有电介质和没有电介质的情况下电容的关系为C rC0 所以 r也叫相对电容率 平行板电容器 设金属板带电Q 则 一 几种典型电容器的电容 球形电容器 由两个同心的导体球壳组成 仍设电容器带电Q 得 圆柱形电容器 由两个同轴的金属圆桶组成 二 电容器的串并联 并联 电压相等 串联 每个电容电量相等 电荷守恒的结果 电容器是一种常用的电工和电子学元件 如 在交流电路中电流和电压的控制 发射机中振荡电流产生 接收机中的调谐 整流电路中的滤波等等 四 电容器的应用 三 电容器的两个主要指标 电容 电容器储存电荷能力耐压能力 外加电压超过耐压能力 电容器会被击穿 串联时 总电容减小 但电容器组的耐压能力提高并联时 总电容增大 但电容器组的耐压能力取决于耐压能力最低的电容 解 1 缝中 电介质中 例1平行板电容器S d 1 插入电介质板S l r 计算其电容 2 插入同尺寸导体板 计算电容 3 上下平移介质板或导体板对电容有无影响 2 若把电介质板换成金属板 两板电势差 3 上下平移介质板或导体板对电容无影响 因为电容值与x无关 解 1 由高斯定理 例2半径为R1的金属球电量为q 外面同心地放置一内外半径分别为R3和R4的金属球壳 其带电为Q 两者之间有一层内外半径分别为R2和R3的电介质 相对介电常数为 r 求 1 内球电势 2 内外球电势差 3 把外球壳接地 求该电容器电容 所以内球电势 2 内外球电势差 U 3 外球接地 该电容器电容 例1 同心导体球面 半径分别为R1和R2 内球接地 外球电量为Q2 求内球所带电量Q1 例2 同心导体球面和球壳 半径分别为R1 R2和R3 内球接地 已知外球壳带电量为Q2 求内球所带电量Q1 例1中 为什么外球面电量大于内球面电量 例2中 为什么外球壳电量分布于内外表面上 考虑接地和无穷远等电势 第八章 导体 电介质 8 5 1电容器的能量 EnergyStoredinCapacitors 8 5静电场的能量 ElectricFieldEnergy 对孤立导体充电 外力克服电场力做功 形成带电系统 其它形式的能 功 转化为电能 形成带电体Q外力做功 电容器储存的静电能 把电量dq由无穷远移至带电体q 对应电势V 外力做功 对电容器 设构成其一组导体所带电量分别是Q和 Q 其电势分别为 1和 2 则此导体系的的静电能为 与上面推导结果相同 电场能量密度 8 5 2静电场的能量 能量密度 以平行板电容器为例 公式虽然是由电容器特例导出 但它普遍成立 可以用它求电场储存的能量 积分遍及电场分布空间 解 两极面间的电场 在电场中取体积元 则在dV中的电场能量为 例1一圆柱形电容器 两个极面的半径分别为R1和R2 两极面间充满相对介电常数为的电介质 求此电容器带有电量Q时所储存的电能 与前面计算结果相同 例2 习题5 24 平行板电容器S d 1 充电后保持电量Q不变 将厚为b的金属板平行插入 电容器储能变化多少 2 导体板进入时 外力 非电力 对它做功多少 是被吸入还是需要推入 3 如果充电后保持电压U不变 则 1 2 两问结果如何 解 1 电容器的电容由C0变为C 储能增量为 2 A外 We 0 外力做负功 电场力做正功 因而导体板被吸入 这是边缘电场对插入导体板上的感应电荷作用的结果 3 电压U保持不变 电容器储存的能量增量为 根据能量守恒 得到外力做功 仍然被吸入 电压U保持不变 电容改变 电量改变为 Q CU C0U C C0 U 此电量是由电源供给的 电源所做电功为AS Q U C C0 U2 例3求空气中平行板电容器两板间相互作用力 解 设极板电荷面密度为 极板面积为S 两板间距离为d 把两板间的距离由d缓慢拉大到 外力所做的功为 它等于电容器储存电能的增量 解得 例4半径为R的球体均匀分布电荷Q 求生成电场所包含的能量 解 均匀带电球体的场强分布 电场能量密度分布 所以电场总能量 第八章 导体 电介质 静电场 静电平衡的导体上的电荷分布 静电场中的导体和电介质 一 静电场中的导体 导体是等势体 导体表面是等势面 有导体存在时静电场的分析与计算 二 静电场中的电介质 电介质