2019-2020学年自贡市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年四川省自贡市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )ABCD【答案】C【解析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C选项 故选C 点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义【考点】三视图2从集合的子集中任取1个集合，则这个集合只含有1个元素的概率是（ ）ABCD【答案】C【解析】写出集合的所有子集，只含有1个元素的子集，代入古典概型概率公式计算【详解】解：集合的子集有，共四个；只含个元素的集合有，两个，故只含有1个元素的概率.故选：【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题3一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位：）分布茎叶图如下，记录的平均身高为，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为，那么的值为（ ）A4B3C2D1【答案】A【解析】求这7个数的平均数，列出方程，即可解答.【详解】解：解得故选：【点睛】本题以茎叶图为载体，考查平均数，要求会读图茎叶图中的数据，属于基础题.4已知某单位有职工120人，其中男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有9名女职工，则样本的容量为（ ）A44B40C36D没法确定【答案】C【解析】根据分层抽样的定义和性质进行求解即可【详解】解：设样本容量为，则由题意得，解得，故选：【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题5一组数据中的每一个数都减去60，得到一组新数据，若求得新数据的平均数为1.2，方差为4.4，则原来数据的平均数和方差分别为（ ）A61.2，4.4B58.8，4.4C61.2，64.4D58.8，55.6【答案】A【解析】根据平均数和方差的公式性质进行求解，原数据的平均数为1.2加，方差不变，从而得到所求【详解】解：平均数，原来一组数据的平均数是，其方差不变，仍是4.4故选：【点睛】本题主要考查了平均数和方差的计算公式即运用：一般地设有个数据，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍，属于基础题6在腰长为3的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】求出三角形的面积；再求出据三角形的直角顶点的距离不大于1的区域为扇形，扇形是四分之一圆，求出四分之一圆的面积；利用几何概型概率公式求出该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率【详解】解：三角形的面积为到此三角形的直角顶点的距离不大于1的区域是四分之一圆，面积为所以该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是故选：【点睛】本题考查几何概型的计算，解题的关键是分析满足“到此三角形的直角顶点的距离”的点的性质，得到该区域的面积7已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是、的中点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意作图，可得所求数量积为，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可得答案【详解】解：如图连接空间四边形的对角线，由空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，可知底面为等边三角形，故，又点、分别是、的中点，所以，故，故选：【点睛】本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的基本运算，属于基础题8如图所示的程序框图中，语句“输出”被执行的次数为（ ）A19B18C17D16【答案】C【解析】根据算法流程图依次执行语句，逐一分析，从而得到语句“输出”被执行的次数【详解】解：，满足条件，输出4；满足条件，输出7；满足条件，输出10；满足条件，输出13；满足条件，输出16；满足条件，输出；满足条件，输出22；满足条件，输出25；满足条件，输出28；满足条件，输出31；满足条件，输出34；满足条件，输出37；满足条件，输出40；满足条件，输出43；满足条件，输出46；满足条件，输出49；满足条件，输出52；不满足条件，退出循环；语句“输出”被执行的次数为17故选：【点睛】本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清循环的次数，同时考查了分析问题的能力，属于基础题9在三棱柱中，若是等边三角形，底面，且，则与所成角的大小为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据条件可作出图形，并且得到，根据向量的加法及数乘的几何意义便可得到，从而可求得，这样即可得出和所成角的大小【详解】解：如图，根据条件，令，；又，；和所成的角的大小为故选：【点睛】考查三棱柱的定义，向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，以及向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，向量的方法求异面直线所成角的大小，以及异面直线所成角的概念10如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，利用空间向量法求出线面角的正弦值，再根据函数的性质求最值.【详解】解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，设，设面的法向量为则即取令，则，当时取最小值故选：【点睛】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题11设、是三个不同的平面，、是三条不同的直线，已知，.给出如下结论：若，则；若，则；若，则，；若，则，.其中正确的结论个数是（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】根据平行和垂直的公理及定理，对四个命题进行一一验证排查，得出正确结果【详解】解：对于，故正确；对于：，则，故正确；对于：，与不平行，即与相交于一点， ，故正确；对于：若，故正确；综上可得正确的有个，故选：【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.12直线与圆相交于，两点（其中，是实数），且是直角三角形（是坐标原点），则点与点之间距离的最小值为（ ）A0BCD【答案】D【解析】由题意可得圆心到直线的距离等于，化简可得，故点在椭圆上，可得当点的坐标为时，点与点之间距离最小【详解】解：由题意可得是等腰直角三角，且斜边的长等于1故圆心到直线的距离等于，化简可得，即故点在椭圆 上故点与点之间距离的最小值为点与点之间的距离，其值等于，故选：【点睛】此题考查学生灵活点到直线的距离公式化简求值，综合运用所学的知识求动点形成的轨迹方程，属于中档题二、填空题13若点是点在平面上的射影，则等于_.【答案】5【解析】求出的坐标，计算向量，即可得到结论【详解】解：点是点在平面上的射影，则，则，故答案为：【点睛】本题考查了射影、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：）在的人数是_.【答案】20【解析】新生婴儿的体重在的分为，两部分在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，用长乘以宽，得到频率，用频率乘以总体个数，分别得到这两个范围中的个体数再相加，可得答案【详解】解：在频率分步直方图中小长方形的面积为频率在的频率为，频数为，在的频率为，频数为则新生婴儿的体重在内大约有人故答案为：【点睛】本题考查频率分步直方图，考查频率分步直方图中小长方形的面积等于频率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，属于基础题15过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线的斜率_.【答案】【解析】点在圆的内部，圆心为，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线，由此能求出结果【详解】解：则圆的圆心，半径，与圆心的距离，如图示，由图形可知：点在圆的内部，圆心为，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线，故答案为：【点睛】本题考查直线的斜率的求法，考查圆、直线方程、两点间距离公式、直线与直线垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题16已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为_.【答案】【解析】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，根据题意画出图形，结合图形求出与的关系，再计算球与圆锥的表面积和它们的比值【详解】解：设圆锥底面圆半径为，球的半径为，由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以，所以球与圆锥的表面积之比为故答案为：【点睛】本题考查了圆锥与球体的结构特征应用问题，也考查了表面积计算问题，属于基础题三、解答题17如图，正方体中，分别是，的中点.判断直线与平面的位置关系，并说明理由.【答案】平面；证明见解析【解析】取中点，连接，根据题知，【详解】解：平面，证明：取中点，连接，根据题知，平面，平面，平面，平面，所以平面平面，平面，故平面.【点睛】本题考查线面平行的判定，面面平行的性质定理，属于基础题.18把一个均匀的正方体骰子抛掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设直线：，直线：.（1）求直线和直线没有交点的概率；（2）求直线和直线的交点在第一象限的概率.【答案】（1）（2）【解析】（1）把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则不同的结果数是36种，然后求出两直线、平行的情况为，找出符合条件的所有基本事件数，由公式计算出概率（2）联立直线方程得到交点坐标，根据交点在第一象限，得到不等式组，列出满足条件的数对，再用古典概型的概率计算公式计算可得.【详解】解：骰子抛掷两次的结果记为，则所有可能的情况共有种情况（如图）（1）直线和直线没有交点即，所以，共有，共种不同结果.因此所求概率.（2）得，由得或者，有，共种不同结果.因此所求概率.【点睛】本题考查列举法求基本事件数和求概率，涉及直线的平行关系、两直线的交点坐标，属于基础题19一束光线通过点射到轴上经反射后射到圆：上.（1）求经过圆心的反射光线的方程；（2）求反射光线在轴上截距的范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）求出点关于轴的对称点，利用反射光线过与圆心，即可求得直线方程；（2）不妨设反射光线所在直线方程为，根据圆心到直线的距离不大于半径，得到不等式求出参数的取值范围，再令，得到截距的关系式，即可求出截距的取值范围.【详解】解：由光学原理知一束光线通过点射到轴上，经反射后的反射光线经过.（1）经过圆心的反射光线的方程：，即.（2）当斜率不存在时，即显然不合条件，不妨设反射光线所在直线方程为，即，由已知得，即，故.方程中，令得反射光线在轴上截距，因此反射光线在轴上截距的范围为.【点睛】本题考查对称点的求法，点到直线的距离公式的应用，直线与圆相切故选的应用，考查计算能力，属于中档题20自贡农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植，两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫.通过大量考察研究得到如下统计数据：药材的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：编号12345年份20152016201720182019单价（元/公斤）1820232529药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：（1）若药材的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2020年药材的单价；（2）用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材还是药材？并说明理由.参考公式：，（回归方程中）【答案】（1）；估计2020年药材的单价为31.1元/公斤（2）应该种植种药材，详见解析【解析】（1）由题意计算、，求出回归系数，写出回归直线方程，利用方程计算对应的数值；（2）利用频率分布直方图求出平均数，分别计算种植、药材每亩地的收入，比较即可【详解】解：（1），当时，.因此估计2020年药材的单价为31.1元/公斤.（2）利用概率和为1得到430450频率/组距为0.005，药材的亩产量的平均值为，故药材产值为（元）药材产值为（元）故应该种植种药材.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题21在等腰梯形中，将梯形沿着翻折至（如图），使得平面与平面垂直.（1）求与所成的角的大小；（2）求二面角大小的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】（1）在平面中证明，再根据面面垂直的性质可得平面，故而；（2）以为原点建立坐标系，利用向量法求出所求二面角【详解】解：（1）在等腰梯形中过作垂线交于，由，则，所以，所以，又因为平面与平面垂直，平面平面，平面.所以平面，所以，与所成的角为.（2）建立如图空间直角坐标系.，所以，设平面的法向量为，则有，取，设平面的一个法向量为，则有，取，二面角大小的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，二面角的计算与空间向量的