【名师导学】高考数学第一轮总复习 2.5函数的值域与最值课件 理.ppt

第5讲函数的值域与最值 学习目标 理解函数的最大 小 值的概念及几何意义 熟练掌握基本初等函数的值域 掌握求函数的值域和最值的基本方法 基础检测 1 设函数f x 的定义域为r 有下列三个命题 若存在常数m 使得对任意x r 有f x m 则m是函数f x 的最大值 若存在x0 r 使得对任意x r 且x x0 有f x f x0 则f x0 是函数f x 的最大值 若存在x0 r 使得对任意x r 有f x f x0 则f x0 是函数f x 的最大值 这些命题中 正确命题的个数是 a 0个b 1个c 2个d 3个 c 解析 根据最大值的定义 对于 m可能是最大值 也可能是比最大值还大的数 则显然与最大值的定义是一致的 因此是正确的 2 函数y x2 2x的定义域是 0 1 2 则该函数的值域为 a 1 0 b 0 1 2 c y 1 y 0 d y 0 y 2 a 解析 当x 0时 y 0 当x 1时 y 1 当x 2时 y 0 故值域为 1 0 b b 5 已知函数f x x2 2x 3 若在 0 m 上有最大值为3 最小值为1 则m的取值范围是 2 4 解析 f x x 2 2 1 由图可知 m 2 4 知识要点 1 函数的值域函数f x 的值域是的集合 记为 y y f x x a 其中a为f x 的定义域 2 常见函数的值域 1 一次函数y kx b k 0 的值域为 2 二次函数y ax2 bx c a 0 当a 0时 值域为 当a 0时 值域为 函数值y r 3 反比例函数y k 0 的值域为 4 指数函数y ax a 0且a 1 的值域为 5 对数函数y logax a 0且a 1 的值域为 6 正 余弦函数y sinx y cosx的值域为 正切函数的值域为 0 0 0 0 r 3 函数的最值一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m 1 若 x i f x m且 x0 i f x0 m 则称m为f x 的 2 若 x i f x m且 x0 i f x0 m 则称m为f x 的 最大值 最小值 3 单调性法和导数法 如求无理函数的值域 务必先考虑定义域 若为单调函数 则直接求解即可 若不是单调函数 往往通过换元转化为二次函数 三角函数等函数的值域问题或利用均值不等式求解 换元时 务必注意新变量的取值范围 否则将会扩大取值范围 4 判别式法 主要适用于可化为关于x的二次方程a y x2 b y x c y 0的函数y f x 在由 0且a y 0 求出y的最值后 要检验这个最值在定义域内是否有相应的x的值 5 换元法 主要有三角代换 二元代换 整体代换等 用换元法时 一定要注意新变量的取值范围 6 数形结合法 常用于解答选择题 填空题或探究解题思路 二 函数的最值例2已知二次函数f x ax2 bx f x 1 为偶函数 函数f x 的图象与直线y x相切 1 求f x 的解析式 2 若常数k 存在区间 m n m n 使得f x 在区间 m n 上的值域恰好为 km kn 求出区间 m n 点评 1 要注意定义域对值域的限制作用 即在定义域内用相应方法求值域 2 要注意参数对值域的影响 即要分类讨论 3 要注意数形结合思想的应用 即借助于图象确定函数的值域或最值 点评 求解含参不等式恒成立问题的关键是将问题等价转化 利用函数方程思想求解 备选题 例4设a为实数 函数f x 2x2 x a x a 1 若f 0 1 求a的取值范围 2 求f x 的最小值 点评 本题主要考查函数的概念 性质 图象及解一元二次不等式等基础知识 考查灵活运用数形结合 分类讨论的思想方法进行探索 分析与解决问题的综合能力 1 函数的值域是函数值的集合 它受到定义域的制约 故求值域时应首先考虑定义域 2 求值域的常用方法 一是要掌握基本的初等函数及它们的复合函数的值域 二是要掌握利用单调性求值域 三是要掌握利用导数法求值域 这是三种最基本的方法 此外还有基本不等式法 数形结合法等 3 最值可由值域而得到 但我们也要重视最值的概念 注意检验是否具备取得最值的条件 4 分离参数是解决不等式恒成立问题中的通解通法之一 注意分清 主元 和 参数 1 2011福建 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大值等于 a 2b 3c 6d 9 d 2 2011北京 已知函数f x x k ex 求f x 的单调区间 求f x 在区间 0 1 上的最小值 当k 1 0 即k 1时 f x 在 0 1 上单调递增 f x min f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 知f x 在 0 k 1 上单调递减 k 1 1 上单调递增 f x min f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 f x 在 0 1 上单调递减 f x min f 1 1 k e 综上所述 当k 1时 f x min k 当1 k 2时 f x min ek 1 当k 2时 f x min 1 k e 命题立意 1 本题考查了用导数求极值 均值不等式等知识 题目难度中等 重在考查基础知识和基本计算能力 2 本题考查利用导数研究函数的单调性与极值 最值问题 考查分类讨论思想 考查学生转化与化归的能力 难度适中 1 若函数f x loga x 1 a 0 a 1 的定义域和值域都是 0 1 则a的值等于 a b c d 2 d 解析 0 x 1 1 x 1 2 而0 f x 1 可知a 1且loga2 1 a 2 c a 4 若函数f x x3 3x a在区间 0 3 上的最大值和最小值分别是m n 则m n a 10b 20c 30d 40 b 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 则x 0 1 时 f x 0 f x 为增函数 f x min f 1 2 a 即n 2 a 又f 0 a f 3 18 a m 18 a m n 20 故选b 2 6 函数y x 4的值域为 2 解析 令t 则t 0 x 2 t2 y 2 t2 4t t 2 2 6 t 0 显然y在 0 上单调递减 ymax 4 6 2 y 2 7 已知函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 当x 0时 f x 0 f 1 且f x 在r上是减函数 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 解析 f x 对于任意x