2017_18学年高中数学第二章2.3.3直线与平面2.3.4平面与平面垂直的性质2学案含解析.docx

第二课时直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)1直线与平面垂直的性质定理是什么？略2直线与平面垂直的性质定理有什么作用？略3平面与平面垂直的性质定理是什么？略4平面与平面垂直的性质定理有什么作用？略线面、面面垂直的综合问题例1如图，已知直线a，直线b，且ABa，ABb，平面c.求证：ABc.解证明：过点B作直线aa，a与b确定的平面设为.因为aa，ABa，所以ABa，又ABb，abB，所以AB.因为b，c，所以bc.因为a，c，所以ac，又aa，所以ac.由可得c，又AB，所以ABc.类题通法判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系活学活用如图所示：平面，直线a，且，AB，a，aAB.求证：a.证明：如图，a，过a作平面交于a，则aa.aAB，aAB.，AB，a，a.求点到面的距离例2已知ABC，ACBC1，AB，又已知S是ABC所在平面外一点，SASB2，SC，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离解法一：如图所示，连接PA，PB.易知SAC，ACB是直角三角形，所以SAAC，BCAC.取AB，AC的中点E，F，连接PF，EF，PE，则EFBC，PFSA.所以EFAC，PFAC.因为PFEFF，所以AC平面PEF.又PE平面PEF，所以PEAC.易证SACSBC.因为P是SC的中点，所以PAPB.而E是AB的中点，所以PEAB.因为ABACA，所以PE平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离在RtAEP中，APSC，AEAB，所以PE ，即点P到平面ABC的距离为.法二：如图所示，过A作AEBC，交SC于点E，过B作BFAC，交AE于点D，则四边形ACBD为正方形连接SD.因为ACSA，ACAD，SAADA，所以AC平面SDA.所以ACSD.又由题意，可知BCSB.因为BCBD，SBBDB，所以BC平面SDB，所以BCSD.又BCACC，于是SD平面ACBD.所以SD的长为点S到平面ABC的距离在RtSDA中易得SD.因为P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为SD.类题通法求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法活学活用如图所示，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBDG.(1)求证：平面B1EF平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离解：(1)证明：连接AC，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，ACBD.又ACDD1，且BDDD1D，故AC平面BDD1B1.E，F分别为棱AB，BC的中点，故EFAC，EF平面BDD1B1，又EF平面B1EF，平面B1EF平面BDD1B1.(2)由(1)知平面B1EF平面BDD1B1且交线为B1G，所以作D1HB1G于H，则D1H平面B1EF，即D1H为D1 到平面B1EF的距离B1D1BD，D1B1HB1GB，sinD1B1HsinB1GB .在D1B1H中，D1B14，sinD1B1H，D1H.折叠问题例3如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E是AB的中点，沿DE将ADE折起(1)如果二面角ADEC是直二面角，求证：ABAC；(2)如果ABAC，求证：平面ADE平面BCDE.解证明：(1)过点A作AMDE于点M，则AM平面BCDE，AMBC.又ADAE，M是DE的中点取BC的中点N，连接MN，AN，则MNBC.又AMBC，AMMNM，BC平面AMN，ANBC.又N是BC的中点，ABAC.(2)取BC的中点N，连接AN.ABAC，ANBC.取DE的中点M，连接MN，AM，MNBC.又ANMNN，BC平面AMN，AMBC.又M是DE的中点，ADAE，AMDE.又DE与BC是平面BCDE内的相交直线，AM平面BCDE.AM平面ADE，平面ADE平面BCDE.类题通法解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况活学活用如图1，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEFO.沿EF将CEF翻折到PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥PABFED，且PB.(1)求证：BD平面POA；(2)求四棱锥PBFED的体积解：(1)证明：点E，F分别是边CD，CB的中点，BDEF.ABCD是菱形，BDAC，EFAC，翻折后EFAO，EFPO，AO平面POA，PO平面POA，AOPOO，EF平面POA，BD平面POA.(2)如图，设AOBDH，连接BO，ABCD是菱形，ABAD.DAB60，ABD为等边三角形，BD4，BH2，HA2，HOPO.在RtBHO中，BO，在PBO中，BO2PO210PB2，POBO.POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED，PO平面BFED，又梯形BFED的面积为S(EFBD)HO3，四棱锥PBFED的体积VSPO33.随堂即时演练1.如图所示，三棱锥PABC的底面在平面上，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是()A一条线段 B一条直线C一个圆 D一个圆，但要去掉两个点答案：D2在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PCA90，ABC是边长为4的正三角形，PC4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A2 B2C4 D4答案：B3若构成教室墙角的三个墙面记为，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面，的距离分别为3 m，4 m,1 m，则P与墙角B的距离为_ m.答案：4.如图所示，平面平面，A，B，AAAB，BBAB，且AA3，BB4，AB2，则三棱锥AABB的体积V_.答案：45如图，在梯形ABCD中，ABCD，E，F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4.现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积解：(1)证明：由已知可得AE3，BF4，则折叠完后EG3，GF4.又因为EF5，所以可得EGGF.又因为CF底面EGF，可得CFEG，即EG平面CFG，所以平面DEG平面CFG.(2)16 课时达标检测一、选择题1已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面与直线m垂直，则直线n与平面的关系是()AnBn或nCn或n与不平行 Dn答案：A2.如图所示，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC答案：C3已知直线m，n，平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，m，则；若m，m，则；若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直其中正确的命题是()A BC D答案：D4.如图，在RtACB中，ACB90，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点Pl，当点P逐渐远离点A时，PCB的大小()A变大B变小C不变D有时变大有时变小答案：C5.如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下面结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE答案：C二、填空题6，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.答案：若，则(或若，则)7如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE平面BCDE，得到四棱锥ABCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是_答案：平面ABC平面ACD8.如图所示，平面ABC平面ABD，ACB90，CACB，ABD是正三角形，则二面角CBDA的平面角的正切值为_答案：三、解答题9.如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB3BC6，BFCFAEDE2，EF4，EFAB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM2.(1)证明：AF平面BDG；(2)证明：平面BGM平面BFC；(3)求三棱锥FBMC的体积V.解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，因为点G为CF的中点，所以OG为AFC的中位线，所以OGAF.AF平面BDG，OG平面BDG，AF平面BDG.(2)证明：连接FM.BFCFBC2，G为CF的中点，BGCF.CM2，DM4.EFAB，四边形ABCD为矩形，EFDM，又EF4，EFMD为平行四边形，FMED2，FCM为正三角形，MGCF.MGBGG，CF平面BGM.CF平面BFC，平面BGM平面BFC.(3)VFBMCVFBMGVCBMGSBMGFCSBMG2，GMBG，BM2，SBMG21，VFBMCSBMG.10.如图，AE是半径为a的半圆，AC为直径，点E为A的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED，FBa.(1)证明：EBFD；(2)求点B到平面FED的距离解：(1)证明：FC平面BED，BE平面BED，EBFC.