2020届华南师大附中高三月考（二）数学（文）试题（解析版）

2020届广东省华南师大附中高三月考（二）数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合， 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合，所以或，或，所以，所以或，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先求出复数z,再求得解.【详解】由题得z=1-i ,所以.故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为()ABC3D4【答案】A【解析】由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积【详解】圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为的扇形，其面积，所以圆锥的侧面展开图面积为.【点睛】本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算4我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A1盏B3盏C5盏D9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S7=381，解得a1=3故选B5已知，若，则实数的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据分段函数的解析式求解即可.【详解】由题.故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值求解.属于基础题型.6已知，则的最小值为（ ）A2B1C4D3【答案】C【解析】将的表达式构造成可以利用基本不等式求解最小值的形式.【详解】因为，所以，取等号时即，故选：C.【点睛】形如形式的函数，可利用基本不等式求解函数最小值：，取等号时有：.7已知x，yR，且xy0，则（ ）ABCDlnx+lny0【答案】A【解析】结合选项逐个分析，可选出答案.【详解】结合x，yR，且xy0，对选项逐个分析：对于选项A，故A正确；对于选项B，取，则，故B不正确；对于选项C，故C错误；对于选项D，当时，故D不正确.故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.8将函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据三角函数的图像变换求解再求即可.【详解】由题, 将函数的图象纵坐标不变,横坐标伸长到原来2倍,得到,再向右平移个单位,得到函数.故.故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数图像平移与函数求值,属于基础题型.9已知ABC的内角的对边分别为且，则的面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】因为，即.所以，所以，又，所以即，故的面积.故选C.【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.10等差数列的前项和为，若，则使达到最大值的是（ ）A10B11C12D13【答案】C【解析】利用，可求出基本量，再考虑何时变号即可得到达到最大值的的值.【详解】设等差数列的公差为，则 ，故，故，当时，当时，所以当时，最大，故选C.11黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形)例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，根据这些信息，可得=（ ）ABCD【答案】C【解析】利用正弦定理求出，再由诱导公式可得结果.【详解】由正弦定理得，即，得，则，故选C【点睛】本题主要考查正弦定理以及诱导公式的应用，属于中档题.12已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，顶点在平面上的投影为的中点，且，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意可知道三棱锥是直三棱锥，求得，利用勾股定理求得，进而求得球的表面积.【详解】在中，.设球的半径为，则，.所以，球的表面积为.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理，外接球半径的求法和球的表面积公式.二、填空题13已知幂函数的图像过点，则的定义域是_.【答案】【解析】通过函数经过点代入得到，从而得到函数定义域.【详解】由于经过点，代入得，所以的定义域是.【点睛】本题主要考查幂函数的相关定义域，难度不大.14已知向量，且，则_【答案】10【解析】【详解】因为向量，且所以，故故答案为1015已知实数，满足，则目标函数的最大值为_.【答案】3【解析】根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解在轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过点时，最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求的最大值等价于求解直线在轴截距的最大值由平移可知，当过点时，在轴截距最大由得： 本题正确结果：【点睛】本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在轴截距最大值的问题，属于常规题型.16设函数在处取得极值为0，则_【答案】【解析】，因为函数y=f(x)在处取得极值为0，所以，解得（舍）或，代入检验时。无极值。所以（舍）。符合题意。所以=。填。【点睛】对于可导函数，导数为0是极值点必要条件，所以对于通过导数为0求出参数的问题，需要进行检验。三、解答题17在公差不为的等差数列中，成公比为的等比数列，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】(1)设公差为,再根据基本量列式求解得即可求通项公式.(2)由(1)有,；再分奇偶项分别求和即可.【详解】解（1）公差不为的等差数列中,成公比为的等比数列,可得,可得,化简可得,即有.（2）由（1）可得,；前项和【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解以及分组求和与等差等比数列求和公式等.属于中档题.18如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且底面.（1）证明：平面；（2）求到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明与即可.(2)利用等体积法求解即可.【详解】（1）证明：,.又底面,.,平面.（2）解：平面平面,. . 由（1）平面,又平面, . .又,设到平面距离为,由 可得,. 即到平面的距离为.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明与等体积法求点到面的距离问题.属于中等题型.19某县畜牧技术员张三和李四年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量（单位：万只）与相应年份（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现y与x有较强的线性相关关系.年份序号年养殖山羊/万只（1）根据表中的数据和所给统计量，求关于的线性回归方程（参考统计量：，；（2）李四提供了该县山羊养殖场的个数（单位：个）关于的回归方程.试估计：该县第一年养殖山羊多少万只？到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（1）（2）万只；第10年【解析】(1)根据最小二乘法的方法分别求解线性回归方程中对应的量代入公式求解即可.(2)根据养殖山羊总数等于山羊养殖场的个数与山羊养殖场年养殖数量的积求解即可.列出对应的不等式求解即可.【详解】（1）设关于的线性回归方程为,则,则,所以,所以关于的线性回归方程为.（2）估计第年山羊养殖的只数,第1年山羊养殖的只数为,故该县第一年养殖山羊约万只；由题意,得,整理得,解得或（舍去）所以到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了.【点睛】本题主要考查了线性回归方程及其实际意义的运用,属于中档题.20已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.（）求椭圆C的方程；（）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求AOB面积的最大值。【答案】（）；（）.【解析】（）利用椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为，建立方程，即可求椭圆C的方程；（）对直线的斜率分类讨论，设直线AB的方程为，利用相切可得，与椭圆联立，利用韦达定理可以表示，利用均值不等式求出最值即可得到AOB面积的最大值【详解】解：（I）由题设：，解得椭圆C的方程为 （）.设1.当ABx轴时，2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为由已知，得把代入椭圆方程消去y，整理得,有,当且仅当，即时等号成立. 当时， 综上所述，从而AOB面积的最大值为【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题21已知函数，.（1）证明：当时，；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)构造函数求导分析单调性证明即可.(2)构造函数,求导后根据区间端点和极值点的大小关系等分参数的范围进行分析最大值即可.【详解】解：（1）令 , ,所以当时,单调递减.当时,单调递减.当时,取得最大值,即, 当时,.（2）令,则,当时,所以函数在上单调递减,所以,所以满足题意.当时,令,得,所以当时, ,当时,.所以函数在上单调递增,在上单调递减.（）当,即时,在上单调递增,所以,所以,此时无解.（）当,即时,函数在上单调递增,在上单调递减.所以 .设 ,则,所以在上单调递增, ,不满足题意.（）当,即时,在上单调递减,所以,所以 满足题意.综上所述：的取值范围为.【点睛】本题主要考查了根据导数分析函数单调性,进而证明不等式恒成立的问题,需要根据题意构造函数求解单调性与最值等.属于中档题.22在平面直角坐标系中，直线，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）若曲线的极坐标方程为，且曲线分别交于两点，求【答案】（1）（2）【解析】(1)利用极坐标与直角坐标间的关系代入化简求,再将化简中直角坐标再化成极坐标方程即可.(2)根据极坐标的几何意义,设曲线为,联立极坐标方程求解极经的差即可.【详解】解：（1） , , , , , （2）曲线为,设, 则.【点睛】本题主要考查了直角坐标、极坐标与参数方程的互化,同时也考查了极坐标的几何意义,属于中档题.23已知函数，（1）解不等式；（2）若方程在区间有解，求实数的取值范