高中数学必修四知识点总结

必修四数学公式概念第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1、一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合sk360 , kz .与角终边垂直的角的集合：s1.1.2 弧度制90k180 ,kz.2、如图，圆o 的半径为1，的长等于1，aob 就是 1 弧度的角。l3、角的弧度数的绝对值是：r变形： lrrl其中半径 r ，圆心角，弧长 l .4、特殊弧度数度0153045607590120135150弧度0512643122352346度180210225240270300315330360754弧度64335711223465、弧长公式：lr“弧度”与“度”计算公式：6、扇形面积公式：s扇形1 lr1r 222弧度度180度弧度1801.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数1、如图：oprx2y 20yx正弦：sin余弦：rcosr正切：tany (x0) x2 三角函数定义域3、三角函数值的符号三角函数定义域sinr_cosr+tan4、诱导公式一k, kz2_+s i n (k2)s i n ,c o s (k2)c o s ,t a n (k2)t a n ,其中kz .利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为0,2内的三角函数值。5、三角函数线如图，sinymp,cosx om , tanaty x6、特殊角的三角函数角度030456090120135150180270360sin1正弦0223122321010222cos余弦13210222123101222tan0313不存3130不存0正切3在3在补充 1、如图，角平分线落在一、 三象限线xy上方，则 sin xcosx.x=y补充 2、如图，当0,时， sintan2证明：s opas扇形 opas oat1 oa om21oa 21 oa at 22mpsinattan1.2.2 同角三角函数的基本关系7、平方关系：sin 2cos21变形：2sin21cos2， cos21sinsin8、商数关系：tan cos2变形：1sintan2costan2， cossin tan9、推导公式： cos1tan 2 sin1tan2 sincos212 sincos sincos2sincos221.3 三角函数的诱导公式公式二：公式三：公式四：s i ns i n ,s i ns i n ,s i ns i n ,c o sc o s ,c o sc o s ,c o sc o s ,t a nt a n .t a nt a n .t a nt a n .公式五：公式六：si n2c o s ,s i n2c o s ,c o s2t an2s i n ,1.t a nc o s2t an2s i n ,1.t a n1.4 三角函数图象与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1、正弦、余弦函数图象2、在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为：3y sin x ， xycosx ， x0,20,2： 0, 0,： 0, 1 , 1,2, 0, 0,1 ,123, 0,2, 0,2, 1221.4.2 正弦函数、余弦函数的性质3、对于函数fx ，如果存在一个非零常数t ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有fxtfx ，那么函数fx 就叫做周期函数 、非零常数 t 就叫做这个函数的周期。函数 yasinx及函数 ya cosx的周期 t2.4、重要推论（1）若函数faxfax ， 则 fx 关 于 xa 对称；若函数faxfax ， 则 fx 关于点a, 0对称 .（2）与周期相关的结论 fxafx ，则函数fx 的一个周期t2a ； fxa1，则函数fxfx 的一个周期t2a ； fxa1，则函数fxfx 的一个周期t2a ； fxafxb，则函数fx 的一个周期 tab ； fxa1fx1fx，则函数fx 的一个周期t4a ； fx关于 xa 和 xb 对称，则fx 周期t2 ab ； fx 关于a, 0 和b, 0对称，则fx 周期 t2 ab ； fx 关于a, 0 和 xb 对称，则fx 周期t4 ab .5、正弦函数ysin x的定义域为r ；值域为1, 1 .当 x2k2kz时， y 取最大值1；当 x2kk2z时， y 取最小值1.6、余弦函数ycosx 的定义域为r ；值域为1, 1 .当 x2kkz时， y 取最大值1；当x2kkz时， y 取最小值1.7、奇偶性 由诱导公式sinxsin x ， cosxcos x 可知：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。8、对称性（1） 正弦曲线对称中心坐标为k, 0kz；对称轴方程是xkkz.2（2） 余弦曲线对称中心坐标为k, 02kz；对称轴方程是xkkz.9、单调性（1） 正弦函数ysin x 在2k,2k22kz上都是增函数， 其值从1增大到 1；在22k,32k 2kz上都是减函数，其值从1 减小到1.（2） 余弦函数ycosx 在2k, 2kkz上都是增函数，其值从1增大到 1；在 2k,2kkz上都是减函数，其值从1 减小到1 .1.4.3 正切函数的性质与图像10、正切函数的图像11、正切函数x xkytan x 的定义域是：,kz.212、周期性由诱导公式tan xtanx,xr,xk,k 2z 可知， 正切函数是周期函数，周期是t. 13、奇偶性由诱导公式tanxtan x,xr，xk,k 2z 可知， 正切函数是奇函数。14、单调性：正切函数在开区间k,k22kz 内都是增函数。15、值域：正切函数的值域为r.1.5 函数 ya sinx的图像1、对ysin x， xr 图像的影响函数 ysin x（0 ）的图像， 可以看做是把ysinx 的图像上各点向左 （0 ）或向右（0 ）平移个单位得到的。 （可简记为左“”右“”）2、0 对ysinx图像的影响函数 ysin( x) 的图像上点的横坐标缩短1 或伸长01 到原来的1 倍（纵坐标不变）而得到的。3、 aa0 对 ya sinx图像的影响函数 yasinx的图像，可以看做是把ysinx上所有点的纵坐标伸长( a1) 或缩短 (0a1) 到原来的a 倍（横坐标不变）而得到。4 、 yasinx， x0,， a0,0的性质（1） 对称轴：令sinx1 ，即xkk，x22(kz )（2） 对称中心：令sinx0 ，xk，xk，k, 0kz（3） 最值：ymax1,x2k,2ymin1,x2k2（4） 单调区间：a,均大于 0 以后，将x整体代入5、当函数yasinxx0a0,0 表示一个振动量时，a 为振 幅，t2是周期 ， f1是频率，x为相位 ，为初相 。 t2第二章平面向量2.1 平面向量的基本概念2.1.1 平面向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。2.1.2 向量的几何表示3、有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。4、向量的模：向量可以用有向线段表示。向量ab 的大小，也就是向量ab 的长度（或称模） ，记作ab 或 者 a .5、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向不确定，是任意的。6、单位向量：长度等于1 个单位长度的向量，叫做单位向量。7、向量的字母表示：向量在印刷体时，用黑体小写字母a、b、c 、表示向量；手写时，写成带箭头的小写字母a、b、c表示。8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。通常记作 a / b 。零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有 0 / a .平行向量也叫做共线向量。2.1.3 相等向量与共线向量9、相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。10、共线向量： 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量。2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义1、三角形法则：如图，已知非零向量a 、 b ，在平面内任取一点 a ，作 aba ，bcb ，则向量 ac 叫做 a 与 b的和，记作ab ，即 ababbcac .对于零向量与任一向量a ，仍然有 0 + a = a + 0 = a2、平行四边形法则：如图， 以同一点 o 为起点的两个已知向 量 a 、 b 为邻边作oacb ，则以 o 为起点的对角线oc 就是 a 与 b 的和。记作ab =ac .3、向量a 、 b 、 ab 的关系（1） a 、 b 都为非零向量（）当 a 、 b 不共线时，ababab（）当 a 、 b 共线时，同向，则abab ；反向，则abab（2） 当 a 、 b 至少有一个为零向量时，ababab综上所述：当a 、 b 不共线时，一般地，我们有ababab .4、向量加法（1）交换律：abba（ 2）结合律：abcabc2.2.2 向量减法运算及其几何意义5、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a .若 a 、 b 是互为相反的向量，则ab ， ba ， ab0 . 6、向量的减法：如图，已知向量a 于 b ，在平面内任取一点o，作 oaa ， obb ，则baab ，即 ab 表示的向量从向量b 的终点指向向量 a 的终点的向量。7、向量a 、 b 、 ab 的关系（ 1） a 、 b 都为非零向量，（）当 a 、 b 不共线时：ababab（）当 a 、 b 共线时，同向，则abab ；方向，则abab（2）当 a 、 b 少有一个为零向量时，ababab综上所述：当a 、 b 不共线时，一般地，我们有ababab .2.2.3 向量乘法运算及其几何意义8、向量的数乘：实数于向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a ， 它的长度与方向规定如下：aaaa 结果也是向量a当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 .9、向量满足的运算律设、为实数，则有结合律：aa ；第一分配律：aaa ；第二分配律：abab .特别的，我们有aaa ；abab .10、11、数乘向量与原向量之间的位置关系（1）（2）当 a（3）（4）当 a11、0 时，a 与 a 共线；0 时，a 与 a 同向，则0 ；反向，则0 .12、对于向量a aa 与 b 共线。13、0 、 b ，如果有一个实数，使 ba ，那么由向量数乘的定义知，14、共线向量定理（1）（2） 判定定理：如果bar，那么 a / b（3） 性质定理：如果a / b ， a0 ，那么存在唯一一个实数，使得 ba2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1 、2 ，使a1e12e2 .我们把不共线的向量e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。2、两向量的夹角如图，非零向量a 、 b 中，作 oaa ， obb ，则aob0o108o叫做向量 a 与 b 的夹角。如果a 与 b 的夹角是 90，我们说a 与 b 垂直，记作a b .2.3.2 平面性量的正交分解及坐标表示3、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解4、如图，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实x、 y 使得axiyj .把 ax, y叫做向量的坐标表示。2.3.3 平面向量的坐标运算5、6、向量的加减法运算若 ax1 , y1， bx2 , y2，则 abx1x2 , y1y2， abx1x2 , y1y2两个向量的和与差的坐标分别分别等于这两个向量相应坐标的和与差。7、实数于向量的积若 ax1 , y1， bx2 , y2，则ax1, y1x1 ,y1实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。8、若ax1 , y1， bx2 , y2，则 abx2x1, y2y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2.3.4 平面向量共线的坐标表示9、设ax1 , y1， bx2 , y2，其中 b0 ，当且仅当x1 y2x2 y10 时，向量 a 、 b 共线。即 a / b （ b0 ）x1 y2x2 y10 .2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的含义1、数量积：已知两个非零向量a 与 b ，我们把数量a b cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a b ，即a ba b cos.其中，是 a 与 b 的夹角。我们规定，零向量与任一向量的数量积为0.即 0 a0 .注意：（ 1） a 、 b 运算结果是数量； （ 2）它在0,为正，,22为负。2、根据向量数量积的定义得出的结论（1） aba b02（2） 当 a 与 b 同向时， a ba b ；当 a 与 b 反向时， a ba b . 特别的，2a aaa 或 aa 2a a .（3） a ba b（共线时取等号）（4） 求投影，由a ba b cosa cosa b .b求夹角，由a ba b coscosa b a b3、平面向量数量积的几何意义数量积 a b 等于 a 的长度a 与 b 在 a 的方向上的投影b cos的乘积。4、向量的运算律（1）交换律：a bb a（ 2）结合律：aba bab（3） 分配律：abca cb c2（4） aba22a bb2（5）ababa2b22.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5、平面向量数量积的坐标表示设 ax1 ,y1， bx2 ,y2，则 a bx1x2y1 y2 .也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。6、向量的长度（模）的坐标表示（1） 向量的长度（模） ：若 ax,y2，则有ax2y2 ， ax2y2 .（2） 两点间的距离公式：设a、 b 两点坐标分别为xa ,ya，xb ,yb，则2abx axa2y byb7、两向量垂直的充要条件的坐标表示设 ax1 ,y1， bx2 ,y2，则 abx1 x2y1 y208、两向量夹角的坐标表示设 acosx1 ,y1， bx2 ,a bx1 x2y2， a ， b 的夹角为，则有y1 y2a bx 2y 2x 2y 21122平面向量补充内容补充 1、平面内不同四点为o, a, b, c ，则a, b, c 三点共线ocoaob1 或ocoa1ob .特别的，当1 时， c 为 ab 中点，2oc1oaob.2补充 2、（ 1）若 gagbgc0 ，则 g 为 abc 的重心。（ 2）若a x1,y1， bx2 ,y2， cx3 ,y3，则 g 坐标为x x1y y1x2x3 3y2y33补充 3、当p1ppp2时，则xx1,yy1xx1x2x2x,y2yx x1y y1x2xy2y1yy1y2 1x起x终y起y终总结：若 p起 p分p 分 p终 ，则,.11第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式1、 coscoscossinsin（ c）给出任意角，的正弦、 余弦值与其夹角的余弦值之间的关系.称为差角的余弦公式。简记作c.3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式2、两角和的余弦公式c o sc o sc o ss i ns i n（ c）3、两角和（差）的正弦公式si ns i nc o sc o ss i n （ s）si ns i nc o sc o ssi n （ s）4、两角和（差）的正切公式t a nt a nt a n1t a nt a n（ t）t a nt a nt an1t a nt a n（ t）3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5、二倍角的正弦、余弦、正切公式si n 22 s i nc o s（ s2）c o s 2c2o s 2 t a n2s i n 22c o s1122 s（i nc2）t a n 21t a 2n（ t2）8、公式的逆运算即变形公式（1） 1sin 2sin2cos222sincossincos（2） 升幂公式：1cos2cos221cos2sin 22降幂公式