柯西不等式试题

柯西不等式试题一、选择题（本大题共4 小题）1. 设 a， b，cr ，且 a b c 1 ，则abc的最大值是 () a 1b3c 3d 912122. 已知 a2 a2 a2n1， x2 x2 x2n 1，则 a1x1 a2 x2 anxn 的最大值为 ()a 1b 2c 1d 不确定3. 若实数 a，b， c 均大于 0，且 a b c 3，则a2 b2 c2的最小值为()精品资料a 3b 1c3d 331494. 已知 x， y， z 均大于 0，且 xy z 1. 则x y z的最小值为 ()a 24b 30c 36d 48二、填空题（本大题共2 小题）5.(2013 湖南高考 )已知 a， b，cr， a2 b 3c 6，则 a2 4 b2 9 c2 的最小值为 6. 设 a， b， c，x， y，z 都是正数，且a2 b2 c2 25， x2 y2 z2 36 ，ax by cz 30，则a b c x y z .三、解答题（本大题共4 小题）7. 已知实数x， y， z 满足 x 2y z 1，求 t x2 4y2 z2 的最小值8. 已知 f( x) ax2 bx c 的所有系数均为正数，且a bc 1，求证：对于任何正数x1， x2， 当 x1 x2 1 时，必有f(x1 ) f(x2) 1.9. 求实数 x，y 的值使得 ( y 1) 2 (x y 2) 2 (2 x y 6) 2 取到最小值10. abc 的三边长a， b，c，其外接圆半径为r.求证： (a2 b2 c2 )(1sin 2a1sin 2b1sin 2c) 36 r2.0. 柯西不等式试题答案解析一、选择题1.【解析】由柯西不等式得(a)2 (b)2 (c)2(12 12 12) (abc)2，(a bc)2 3 1 3.当且仅当 ab c1时等号成立3 abc的最大值为3. 故选 b.【答案】b12122. 【解析】(a1x1 a2x2 anxn)2 (a2 a2 a2n)(x2 x2 x2n) 1 1 1.当且仅当 ai xin(i 1,2 ， n)时等号成立na1x1 a2x2anxn 的最大值是1.故选 a 【答案】a3. 【解析】a b c 1 a 1 b 1 c，且 a，b， c 大于 0. 由柯西不等式， (1 a 1 b1 c)2 (1 2 1212)( a2 b2c2)a2 b2 c2 3，当且仅当 ab c 1 时等号成立 a2 b2 c2 的最小值为3.【答案】d1494. 【解析】(x y z)( )xyz (x1yx2zy3)2 36.z14 xy9 36.z【答案】c二、填空题5. 【解析】a 2b 3c6 ，1 a 1 2 b 1 3 c 6.(a2 4b2 9c2)(1 2 1212 ) (a 2b 3c)2 ，即 a24 b2 9c2 12. 当且仅当111，a2 b3 c2即 a 2， b 1 ， c3时取等号【答案】126. 【解析】由柯西不等式知：25 36 (a2 b2 c2 )(x2 y2 z2 ) (axby cz )2 30 225 36 ，当且仅当abc k 时取 “ ” xyz5由 k2(x2 y2 z2)2 25 36 ，解得 k .6a bc5所以 x y z k 6 .5【答案】6三、解答题7. 【解】由柯西不等式得(x2 4y2 z2 )(1 1 1) (x 2y z)2，x2 y z1 ，13( x2 4 y2 z2) 1，即 x2 4 y2 z2 .31当且仅当 x 2y z31，即 x3， y1， z613 时等号成立1故 x2 4 y2 z2 的最小值为.38. 【证明】由于 f(x)ax 2 bx c.且 a， b， c 大于 0.f(x1 ) f(x2) (ax21 bx1 c)(ax2 bx2 c) (ax1ax 2bx 1bx2 c)2 (ax1x2 bx1x2 c) 2 f(x1x2)2 f(1) 2. 又 f(1) a b c， 且 a b c1 ，f(x1) f(x2) 1.9. 【解】由柯西不等式，得(1 222 12) (y 1) 2 (2 x y)2 (2 x y 6) 2 1 (y1) 2 (2 x y) 1 (2x y 6) 2 9，3即(y 1) 2 ( x y 2) 2 (2 x y 6) 2，2当且仅当y 112 xy22 xy 6，1即 x51， y22时，上式取等号当x51， y22时(y 1) 2(x y 2) 2 (2 x y 6) 2 取到最小值10. 【证明】由三角形中的正弦定理得：sin aa，所以2r1sin 2a4 r2，a214r214r 2同理sin 2bb2 ，sin 2cc2 ，于是由柯西不等