第三讲 等差数列前N项和课件

等差数列的前n项和 说明 3 更一般的情形 an d 复习 1 an 为等差数列 2 a b c成等差数列 an 1 an d an 1 an d an a1 n 1 d an kn b k b为常数 am n m d b为a c的等差中项AA 2b a c 4 在等差数列 an 中 由m n p q am an ap aq 注意 上面的命题的逆命题是不一定成立的 5 在等差数列 an 中a1 ana2 an 1a3 an 2 等差数列的性质 AA 高斯出生于一个工匠家庭 幼时家境贫困 但聪敏异常 上小学四年级时 一次老师布置了一道数学习题 把从1到100的自然数加起来 和是多少 年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050 这使老师非常吃惊 那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢 高斯 1777 1855 德国数学家 物理学家和天文学家 他和牛顿 阿基米德 被誉为有史以来的三大数学家 有 数学王子 之称 高斯 神速求和 的故事 首项与末项的和 1 100 101 第2项与倒数第2项的和 2 99 101 第3项与倒数第3项的和 3 98 101 第50项与倒数第50项的和 50 51 101 于是所求的和是 求S 1 2 3 100 你知道高斯是怎么计算的吗 高斯算法 高斯算法用到了等差数列的什么性质 如图 是一堆钢管 自上而下每层钢管数为4 5 6 7 8 9 10 求钢管总数 即求 S 4 5 6 7 8 9 10 高斯算法 S 4 10 5 9 6 8 7 14 3 7 49 还有其它算法吗 情景2 S 10 9 8 7 6 5 4 S 4 5 6 7 8 9 10 相加得 倒序相加法 怎样求一般等差数列的前n项和呢 新课 等差数列的前n项和公式 公式1 公式2 结论 知三求二 思考 2 在等差数列中 如果已知五个元素中的任意三个 请问 能否求出其余两个量 1 两个求和公式有何异同点 公式记忆 类比梯形面积公式记忆 等差数列前n项和公式的函数特征 特征 思考 结论 例1 计算 举例 例2 注 本题体现了方程的思想 解 例3 解 又解 整体运算的思想 例4 解 1 一个等差数列前4项的和是24 前5项的和与前2项的和的差是27 求这个等差数列的通项公式 解 巩固练习 解 1 用倒序相加法推导等差数列前n项和公式 小结 3 应用公式求和 知三求二 方程的思想 已知首项 末项用公式 已知首项 公差用公式 应用求和公式时一定弄清项数n 当已知条件不足以求出a1和d时 要认真观察 灵活应用等差数列的性质 看能否用整体思想求a1 an的值 已知一个数列的前n项和为Sn n2 n 1 求它的通项公式 问它是等差数列吗 错解 an Sn Sn 1 n2 n 1 n 1 2 n 1 1 2n 又an an 1 2n 2 n 1 2 即数列每一项与前一项的差是同一个常数 an 是等差数列 错因 已知数列的前n项和Sn 求数列的通项an时 需分类讨论 即分n 2与n 1两种情况 1 1 已知数列 an 的前n项和Sn n2 3n 1 求通项公式an 2 已知数列 an 的前n项和Sn 1 n 1 n 求通项公式an 一个等差数列的前10项之和为100 前100项之和为10 求前110项之和 由题目可获取以下主要信息 S10 100 S100 10 此数列为等差数列 解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答 题后感悟 本题解法较为灵活 方法一 二建立方程 组 计算属于通性通法 方法三 四 五直接应用性质简捷明快 起到事半功倍的效果 2 1 等差数列 an 的前n项和为Sn 若S2 2 S4 10 则S6等于 A 12B 18C 24D 42 2 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 若Sm 1 S3m 4 试求S6m 解析 1 S2 S4 S2 S6 S4成等差数列 即2 8 S6 10成等差数列 S6 24 答案 1 C 2 Sm S2m Sm S3m S2m 成公差为d的等差数列 设S2m Sm x 则S3m S2m 2x 1 已知数列 an 为等差数列 其前12项和354 在前12项中 偶数项之和与奇数项之和的比为32 27 求这个数列的通项公式 利用等差数列前n项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列 偶数项依次成等差数列求解 题