高中数学必修2第二章点线面位置关系测试题(1)

必修二 第二章综合检测题时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题 ( 本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1. 若直线 a 和 b 没有公共点，则a 与 b 的位置关系是 ()a相交b平行c异面d 平行或异面2. 平行六面体 abcda1b1c1d1 中，既与 ab共面也与 cc1 共面的棱的条数为 ()a3b 4c5d63已知平面 和直线 l ，则 内至少有一条直线与l ()a平行b相交c垂直d异面4. 长方体 abcd a1b1 c1d1 中，异面直线 ab， a1d1 所成的角等于 () a30b45c60d905. 对两条不相交的空间直线a 与 b，必存在平面 ，使得()aa? ， b? b a? ，bc a ，bd a? ，b6. 下面四个命题：若直线 a， b 异面， b， c 异面，则 a，c 异面；若直线 a， b 相交， b， c 相交，则 a，c 相交；若 ab，则 a， b 与 c 所成的角相等；若 ab，bc，则 a c.其中真命题的个数为 ()a4b 3c2d17. 在正方体abcda1b1c1d1 中， e，f 分别是线段a1b1， b1 c1 上的不与端点重合的动点，如果 a1 e b1f，有下面四个结论：efaa1 ；ef ac； ef与 ac异面；ef平面 abcd.其中一定正确的有 () abcd8. 设 a，b 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面， 下列命题中为真命题的是() a若 a，b 与 所成的角相等，则abb. 若 a，b，则 abc. 若 a? ，b? ，ab， 则 d. 若 a，b，则 ab9. 已知平面 平面 ，l ，点 a ， a?l ，直线 abl ，直线 acl ，直线 m ，n，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()aabmbacmc abd ac10. 已知正方体abcda1b1c1d1 中， e、f 分别为 bb1、cc1 的中点，那么直线ae与 d1f 所成角的余弦值为 ()4333a 5b.5c. 4d 511. 已知三棱锥 dabc的三个侧面与底面全等，且abac3， bc2，则以 bc为棱，以面 bcd与面 bca为面的二面角的余弦值为()311a.3b. 3c0d 212. 如图所示，点p 在正方形 abcd所在平面外， pa平面 abcd， paab，则 pb与 ac所成的角是()a90b60c 45d30二、填空题 ( 本大题共 5 小题，每小题5 分，共 25 分把答案填在题中的横线上)13. 下列图形可用符号表示为 14. 正方体 abcda1b1c1d1 中，二面角 c1abc 的平面角等于 15. 设平面 平面 ，a，c ，b，d，直线 ab与 cd交于点 s，且点 s 位于平面 ， 之间， as8，bs 6， cs12，则 sd .16. 将正方形 abcd沿对角线 bd折成直二面角 a bdc，有如下四个结论：acbd；acd是等边三角形；ab与平面 bcd成 60的角；ab与 cd所成的角是 60； 其中正确结论的序号是 三、解答题 ( 本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17/(10分) 如下图，在三棱柱abca1b1c1 中， abc与 a1b1c1 都为正三角形且aa1面abc，f、f1 分别是 ac，a1c1 的中点求证： (1) 平面 ab1f1平面 c1bf； (2) 平面 ab1f1平面 acc1a1.(1) 证明： cd平面 pae；(2) 若直线 pb与平面 pae所成的角和 pb与平面 abcd所成的角相等，求四棱锥p abcd的体积19(12 分) 如图所示，边长为2 的等边 pcd所在的平面垂直于矩形abcd所在的平面， bc22，m为 bc的中点(1) 证明： ampm；(2) 求二面角 p amd的大小20( 本小题满分 12 分) 如图，棱柱 abca1b1c1 的侧面 bcc1b1 是菱形， b1ca1b.(1) 证明：平面 ab1c平面 a1 bc1；(2) 设 d是 a1c1 上的点， 且 a1b平面 b1cd，求 a1ddc1 的值21(12 分) 如图， abc中， acbc 底面 abc，若 g，f 分别是 ec，bd的中点22 ab，abed是边长为 1 的正方形，平面abed(1) 求证： gf 底面 abc；(2) 求证： ac平面 ebc； (3) 求几何体 adebc的体积 v. 分析(1) 转化为证明 gf平行于平面 abc内的直线 ac；(2) 转化为证明 ac垂直于平面 ebc内的两条相交直线bc和 be；(3) 几何体 adebc是四棱锥 c abed.22(12 分) 如下图所示，在直三棱柱abca1b1c1 中， ac3，bc 4，ab5，aa1 4，点(1) 求证： ac bc1；(2) 求证： ac1 平面 cdb1；(3) 求异面直线 ac1 与 b1 c所成角的余弦值必修二第二章综合检测题详解答案1 答案d2 答案c 解析ab与 cc1 为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与 ab平行与 cc1 相交的有： cd、c1d1与 cc1 平行且与 ab相交的有： bb1、aa1，第二类与两者都相交的只有bc，故共有 5 条 3 答案c 解析1直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l平行的直线， a错；2 l ? 时，在 内不存在直线与l异面， d错；3 l 时，在 内不存在直线与l相交无论哪种情形在平面 内都有无数条直线与l垂直4 答案d 解析 由于 ada1d1，则 bad是异面直线 ab， a1 d1 所成的角，很明显 bad90. 5 答案 b 解析 对于选项 a，当 a 与 b 是异面直线时， a 错误；对于选项 b，若 a，b 不相交， 则 a 与 b 平行或异面，都存在 ，使 a? ，b， b 正确；对于选项 c，a， b ， 一定有 ab，c错误；对于选项 d，a? ，b，一定有 a b， d错误6 答案d 解析异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于，在平面内， a c，而在空间中， a 与 c 可以平行，可以相交，也可以异面，故错误7 答案d 解析如图所示 由于 aa1平面 a1 b1c1 d1，ef? 平面 a1b1c1d1，则 efaa1，所以正确；当 e，f 分别是线段 a1b1，b1c1 的中点时， ef a1 c1，又 aca1c1，则 ef ac，所以不正确；当 e，f 分别不是线段a1b1 ，b1c1 的中点时， ef与 ac异面，所以不正确；由于平面a1b1c1d1平面 abcd，ef? 平面 a1b1c1d1，所以 ef平面 abcd，所以正确8 答案d； 解析选项 a中，a，b 还可能相交或异面， 所以 a是假命题；选项 b中， a，b 还可能相交或异面， 所以 b 是假命题； 选项 c中， 还可能相交， 所以 c是假命题； 选项 d中，由于 a，则 a 或 a? ，则 内存在直线 l a，又 b，则b l ，所以 ab.9 答案c 解析如图所示：abl m； acl ，m l ? acm；ab l ? ab.310 答案5命题意图 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用 解析首先根据已知条件，连接df，然后则角 dfd1 即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到5dfd1f，dd1 2，结合余弦定理得到结论11 答案c 解析取 bc中点 e，连 ae、de，可证 bc ae，bc de， aed为二面角 abc d的平面角又 ae ed2，ad 2， aed90，故选 c.12 答案b 解析将其还原成正方体abcd pqr，s 显见 pbsc， acs为正三角形， acs60.13 答案ab14 答案45 解析如图所示，正方体abcda1b1c1d1 中，由于 bcab，bc1ab，则 c1 bc是二面角 c1 abc 的平面角又 bcc1 是等腰直角三角形，则c1bc45.15 答案9 解析如下图所示，连接ac，bd，则直线 ab，cd确定一个平面 acbd.ascs812， ac bd，则 sbsd， 6sd，解得 sd9.16 答案 解析如图所示，取bd中点， e连接 ae，ce，则 bdae， bdce，而 aece e，bd平面 aec， ac? 平面 aec，故 acbd，故正确设正方形的边长为a，则 ae ce2a.2由知 aec90是直二面角abdc 的平面角，且 aec90， aca， acd是等边三角形，故正确由题意及知， ae平面 bcd，故 abe是 ab与平面 bcd所成的角，而 abe45，所以不正确分别取 bc，ac的中点为 m， n， 连接 me，ne，mn.则 mn ab，且11，mnaba2211mecd，且 mecd a， 22 emn是异面直线 ab， cd所成的角在 rt aec中， aece2 ， ，2 aacane11 ac2a. men是正三角形， emn60，故正确 217 证明(1) 在正三棱柱 abca1b1c1 中， f、f1 分别是 ac、a1c1 的中点， b1 f1bf，af1c1f.又 b1f1af1 f1，c1fbff，平面 ab1f1平面 c1bf.(2) 在三棱柱 abca1b1c1 中， aa1平面 a1b1 c1， b1f1 aa1.又 b1f1a1c1，a1c1 aa1 a1， b1 f1平面 acc1a1，而 b1f1? 平面 ab1f1，平面 ab1f1平面 acc1a1 . 18 解析(1) 如图所示，连接ac，由 ab 4， bc3， abc90，得 ac5.又 ad 5，e 是 cd的中点，所以 cd ae.pa平面 abcd，cd? 平面 abcd，所以 pacd.而 pa， ae是平面 pae内的两条相交直线，所以cd平面 pae.(2) 过点 b作 bgcd，分别与 ae，ad相交于 f，g，连接 pf.由(1) cd平面 pae知， bg平面 pae. 于是 bpf为直线 pb与平面 pae所成的角，且 bgae.由 pa平面 abcd知， pba为直线 pb与平面 abcd所成的角 ab4，ag2，bgaf，由题意，知 pba bpf，pabf因为 sin pba pb，sin bpfpb，所以 pabf.由 dab abc90知， ad bc，又 bg cd，所以四边形 bcdg是平行四边形，故gdbc 3. 于是 ag2.在 rt bag中， ab4，ag 2， bgaf，所以bgab2ag2 25，bfab216 85. 于是 pabf85.bg2555又梯形 abcd的面积为 s1(5 3) 4 16，所以四棱锥p abcd的体积为21v 3spa1163851285515.19 解析(1) 证明：如图所示，取cd的中点 e，连接 pe，em，ea， pcd为正三角形，pecd， pepdsin pde2sin60 3.平面 pcd平面 abcd，pe平面 abcd，而 am? 平面 abcd， peam.四边形 abcd是矩形， ade，ecm，abm均为直角三角形，由勾股定理可求得em3，am6，ae3，em2 am2ae2. am em.又 pe eme， am平面 pem， ampm.(2) 解：由 (1) 可知 em am，pmam， pme是二面角 p amd的平面角petan pme31， pme45.3em二面角 p amd的大小为 45. 20 解析(1) 因为侧面 bcc1b1 是菱形，所以 b1cbc1，又已知 b1ca1b，且 a1bbc1 b，所以 b1c平面 a1bc1 ，又 b1c? 平面 ab1c所以平面 ab1c平面 a1bc1 .(2) 设 bc1 交 b1c于点 e，连接 de，则 de是平面 a1bc1 与平面 b1cd的交线因为 a1b平面 b1cd， a1b? 平面 a1bc1，平面 a1 bc1平面 b1cdde，所以 a1bde.又 e是 bc1 的中点，所以 d为 a1c1 的中点即 a1ddc1 1.21 解(1) 证明：连接 ae，如下图所示adeb为正方形，aebd f，且 f 是 ae的中点，又 g是 ec的中点，gfac，又 ac? 平面 abc，gf?平面 abc，gf平面 abc.(2) 证明： adeb为正方形， ebab，又平面 abed平面 abc，平面 abed平面 abcab， eb? 平面 abed，be平面 abc， beac.又 acbc2ab，2 ca2 cb2ab2，acbc.又 bcbeb， ac平面 bce.(3) 取 ab的中点 h，连 gh， bcac222 ab 2 ， chab，且 ch1，又平面2abed平面 abcgh平面 abcdv11116， 3 2 .22 解析(1) 证明：在直三棱