常见统计分布及其特点

【附录一】常见分布汇总一、二项分布二项分布（ binomial distribution），即重复n 次的伯努利试验（bernoulli experiment），用 表示随机试验的结果, 如果事件发生的概率是p, 则不发生的概率q=1-p ，n 次独立重复试验中发生k 次的概率是。二、泊松poisson分布1 、概念当二项分布的n 很大而 p 很小时， 泊松分布可作为二项分布的近似，其中 为 np 。通常当 n10,p 0.1 时，就可以用泊松公式近似得计算。2 、特点期望和方差均为 。3 、应用（固定速率出现的事物。）在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客，以固定的平均瞬时速率 （或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积） 内出现的次数或个数就近似地服精品资料从泊松分布三、均匀分布uniform设连续型随机变量x 的分布函数f(x)=(x-a)/(b-a)， a xb则称随机变量x 服从a,b 上的均匀分布，记为xua,b 。四、指数分布exponential distribution 1 、概念2 、特点无记忆性（ 1 ）这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。（ 2 ）无记忆性当 s,t 0 时有 p(ts+t|tt)=p(ts)即，如果t 是某一元件的寿命，已知元件使用了t 小时， 它总共使用至少s+t 小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s 小时的概率相等。3 、应用在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果五、正态分布normal distribution 1 、概念2 、中心极限定理与正态分布（说明了正态分布的广泛存在，是统计分析的基础）中心极限定理：设从均值为 、方差为 2; （有限）的任意一个总体中抽取样本量为 n 的样本，当 n 充分大时， 样本均值的抽样分布近似服从均值为 、方差为 2/n 的正态分布。3 、特点在总体的随机抽样中广泛存在。4 、应用正态分布是假设检验以及极大似然估计法ml 的理论基础定理一：设x1 ，x2 ，x3. 。 xn 是来自正态总体n（，2）的样本，则有样本均值 xn （，2/n ）总体方差常常未知，用t 分布较多六、2 卡方分布（与方差有关）chi-square distribution 1 、概念若 n 个相互独立的随机变量 ?、 ?、n ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布） ，则这 n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为 卡方 分布（ chi-square distribution ），其中参数 n 称为自由度【注意】假设随机干扰项呈正态分布。因此，卡方分布可以和 rss 残差平方和联系起来。用 rss/ 2 ，所得的变量就是标准正态分布，就服从卡方分布。2 、卡方分布的特点（ 1 ）分布的均值为自由度n，记为e() = n 。（这个容易证明）（ 2 ）分布的方差为2 倍的自由度 (2n) ，记为d() = 2n 。（ 3 ）如果互相独立，则： （独立可加减）服从分布，自由度； 服从分布，自由度为3 、图形特点4 、应用定理二，设x1 ， x2 ， x3.。 xn 是来自正态总体n（，2）的样本，则有样本均值 xn （，2/n ）( n1)s 22（2n - 1）（ 1）正态分布以及卡方分布是f 检验的基础。大量的检验用到了f 检验： f 检验、三大检验。七、 t 学生分布（用样本方差s 来标准化）studentst-distribution 1 、概念（适用于 2 未知）【理解】把样本标准正态化的u 变换前提是方差已知，但总体方差是未知的，所以用样本方差来代替总体方差。根据中心极限定理，抽样服从方差为总体方差除以n 的正态分布。由于在实际工作中，往往 是未知的，常用s 作为 的估计值，为了与u 变换区别，称为 t 变换，统计量t 值的分布称为t 分布（ u 变换指把变量转换为标准正态分布）【思考】 为什么样本方差比总体方差要小？因为一个是总体方差，一个是样本均值的方差。不同2 、特点1 ）与标准正态分布曲线相比，自由度v 越小， t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v 愈大， t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度v= 时， t分布曲线为标准正态分布曲线。定理三：设x1 ， x2 ， x3.。 xn 是来自正态总体n（，2）的样本，则有样本均值 xn （，2/n ）， s 为样本方差x s/nt（ n- 1）【注意】s 是样本方差。 中心极限定理说的是样本均值的方差。八、 f 分布 f-distribution 1 、概念f 分布定义为：设x、y 为两个独立的随机变量，x 服从自由度为k1 的卡方分布， y服从自由度为k2 的卡方分布， 这 2 个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布2 、特点（ 1）它是一种非对称分布；（ 2 ）它有两个自由度， 即 n1 -1 和 n2-1 ，相应的分布记为f（ n1 1 ， n2-1 ）， n1 1通常称为分子自由度，n2-1 通常称为分母自由度；（ 3）f 分布是一个以自由度和为参数的分布族，不同的自由度决定了 f 分布的形状。（ 4）f 分布的倒数性质：（ 5）残差平方和之比通常与f 分布有关。九、逻辑分布logistic （分类评定模型）最早应用最广的离散选择模型1 、概念t1ef (t)1e tf (t )(1et ) 2f (t )e t1f (t)2 、特点用作增长曲线并为二进制响应建模。在生物统计和经济领域使用。logistic分布由尺度和位置参数描述。logistic分布没有形状参数，也就是说其概率密度函数只有一个形状。下列图形显示了不同参数值对logistic分布的效应。尺度参数的效应位置参数的效应logistic分布的形状与正态分布的形状相似，但logistic分布的尾部更长。十、伽马分布1 、概念伽玛分布（gamma distribution）是统计学的一种连续概率函数。gamma 分布中的参数 称为形状参数 （ shape parameter）， 称为尺度参数 （scale parameter）。假设随机变量x 为 等到第 件事发生所需之等候时间, 密度函数为特征函数为伽马分布的可加性当两随机变量服从gamma 分布，且单位时间内频率相同时，gamma数学表达式若随机变量x 具有概率密度其中 0, 0, 则称随机变量x 服从参