《数学分析》课程教学大纲

;.数学分析课程教学大纲一、课程基本信息课程代码： 110072、110073、110074课程名称：数学分析英文名称： mathematical analysis课程类别：基础课学时： 216（分三个学期上） 学分： 11适用对象 :信息与计算科学专业本科生考核方式：闭卷考试，平时成绩占30%，期末考试成绩占70%先修课程：无二、课程简介以经典微积分为主要内容的数学分析，是信息与计算科学专业学生极其重要的必修基础课程， 是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是学习其他基础课和专业课的基础，也是占学时最长、学分最多的一门必修基础课程。其特点是：内容 多，跨度大，概念抽象，系统性与逻辑性强，思想方法重要，应用广泛。众所周知， 数学是一个分支众多、 应用非常广泛的科学体系， 是其他各门科学的基础和工具， 在整个人类知识体系中占有特殊重要的地位。 数学是研究数量关系和空间形式的科学， 而研究数量关系和空间形式必须从变量间最本质的联系函 数开始起步。数学分析研究的对象与方法是用无穷小分析的方法研究实函数。因此， 数学分析正是讲述函数理论的最基本的课程，可以说它是数学这座科学大厦的奠基石， 是基础中的基础， 它理所当然地被列为数学科学及相关学科最重要的基础课之一， 在培养具有良好数学素养的人才方面，它所起的作用是任何其他课程无法相比的。由于数学分析是几乎所有后继数学课程的基础，又是新生入学后首先接触 的重要基础课之一， 所以，数学分析这门课程不仅要教会学生循序渐进地领会已抽象出来的普遍结论、 掌握扎实的专业基础知识， 更重要的是培养学生抽象的逻辑思维能力、 使其切实掌握运用数学工具分析问题、转化问题、 解决问题的思想和方法。数学分析课程的得失，将直接关系到其它相关数学课程如常微分方程、 概率论与数理统计、 复变函数与积分变换等教育的成败，关系到学生后继专业课程的学习， 对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用，甚至可能会影响他们一生的思维方式。因此， 积极开发教学资源， 根据学生的具体实际情况，按照课程标准的要求实施教学，对于提高计算科学系学生的综合素质有着 深远的影响。本课程以课堂讲授为主， 辅以多媒体教学、 习题课， 精讲多练注重理论联系实际。基本内容由教师讲授， 通过习题课对所学内容进行巩固和提高。各章中平行的内容可安排学生自学，以提高学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。 由于本课程具有很强的几何背景，因此教学中要注意与几何直观相结合，注重理论联系实际， 逐步推广使用多媒体教学手段。通过本课程的学习， 使学生正确理;.解和掌握数学分析中的基本概念和基本理论，基本掌握数学分析中的论证方法和常用的分析技巧， 较熟练地获得本课程所要求的求导、微分、积分等基本运算能力，为进一步学习其它专业课程打下必要的基础。由于本课程与应用数学关系密切，在条件允许的情况下可适当配置数学实验课以提高学生学习数学的兴趣和利 用数学知识解决实际问题的应用能力。三、课程性质与教学目的数学分析 是信息与计算科学专业的一门最重要的基础课， 也是全系唯一的一门连续开设三个学期， 学分和学时数也最多的基础课。 本课程的教学目的是使学生：1、正确理解实数理论、极限理论、一元函数微积分、无穷级数和多元微积分等方面的系统知识和基本原理以及它们之间的内在联系。2、熟练掌握微积分学的基本运算方法和运算技巧，掌握数学分析的思想方法，获得本课程所要求的分析、论证、计算等方面的能力3、能够运用本课程提供的数学方法解决一些简单的实际应用问题。四、教学内容及要求第一章实数集与函数（一）目的与要求1. 掌握实数的性质、绝对值的性质；2. 理解确界的概念，掌握确界原理；3. 掌握函数概念及其某些特殊性质，熟记几个特殊的函数：符号函数、狄利克雷函数、黎曼函数。（二）教学内容第一节实数1. 主要内容实数及其性质，绝对值与不等式。2. 基本概念和知识点有理数、无理数、实数、不足近似、过剩近似、数轴、绝对值、绝对值的性质、三角形不等式。3. 问题与应用掌握实数的性质，绝对值的性质。第二节 数集确界原理1主要内容区间与邻域、有界集、确界原理。2. 基本概念和知识点开区间、闭区间、半开半闭区间、有限区间、无限区间、区间、邻域、右邻域、左邻域、上界、下界、有界集、无界集、上确界、下确界、确界、确界原理、推广的确界原理。3. 问题与应用（能力要求） 掌握上、下确界概念和确界原理。第三节函数概念1. 主要内容函数的定义和表示法、函数的四则运算、复合函数、反函数、初等函数。2. 基本概念和知识点函数概念、函数的几种表示法（解析法、列表法和图像法，其中包括分段函数、符号函数、狄利克雷函数、黎曼函数等）、函数的四则运算、复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数、非初等函数。3. 问题与应用（能力要求）掌握函数概念， 并能熟练地运用分段函数、 将一个复合函数分解成几个基本初等函数，熟记几个特殊的函数：符号函数、狄利克雷函数、黎曼函数。第四节具有某些特性的函数1. 主要内容有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数。2. 基本概念和知识点有上（下）界函数、有界函数、增（减）函数、严格增（减）函数、单调函数、严格单调函数、奇函数、偶函数、周期、基本周期、周期函数、反函数存在定理。3. 问题与应用（能力要求）掌握有界函数、单调函数、严格单调函数、奇函数、偶函数、周期函数等基本概念，并能熟练地进行相关计算，掌握反函数存在定理。（三）课后练习p4.习题 2，3，5，6，7，8；p9. 习题 2，4，5，6，7；p15 习题 5，6，7，8， 11，12； p20习题 1， 2， 3， 6， 8， 10；总练习题 1， 3， 8， 10，11，12。（四）教学方法与手段本课程教学以讲授为主，辅以多媒体教学、习题课和学生自学。基本内容由教师讲授， 通过习题课对所学内容进行巩固和提高，其余部分主要是 * 号部分引导学生自学完成。 初学高等数学的学生会有很多的不适应，教师教学中要注意加强对学生学习方法的指导和课外辅导。由于本课程具有很强的几何背景，因此教学中要注意与几何直观相结合，注重理论联系实际， 逐步推广使用多媒体教学手段。由于本课程与应用数学关系密切，可适当配置数学实验课以提高学生学习 数学的兴趣和利用数学知识解决实际问题的应用能力。第二章数列极限（一）目的与要求1. 理解并熟练掌握数列极限的概念、性质，收敛数列与无穷小数列之间的关系，掌握数列极限存在的条件；2. 掌握求极限的基本方法，会用定义证明数列极限；3. 会用 cauchy 准则证明相关问题。;.（二）教学内容第一节数列极限的概念1. 主要内容数列极限的定义与几何意义、收敛数列与无穷小数列之间的关系。2. 基本概念和知识点数列极限的n 定义与几何意义。收敛、发散数列与无穷小数列，收敛数列与无穷小数列之间的关系。3. 问题与应用（能力要求）掌握极限的定义， 能用定义证明一些数列的极限。掌握收敛数列与无穷小数列之间的关系。第二节收敛数列的性质1. 主要内容收敛数列的性质、四则运算法则、收敛数列与非平凡子列的关系。2. 基本概念和知识点收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性。收敛数列的四则运算法则、数列的子列、收敛数列与非平凡子列的关系。3. 问题与应用（能力要求）掌握收敛数列的性质、 四则运算法则， 并能熟练地运用极限运算法则进行计算。理解数列的子列、收敛数列与非平凡子列的关系定理。第三节数列极限存在的条件1. 主要内容单调数列、单调有界定理、柯西收敛准则。2. 基本概念和知识点递增（递减）数列、单调数列、单调有界定理、重要极限柯西条件、柯西收敛准则。3. 问题与应用（能力要求）lim(1n1 )ne、n掌握单调数列、单调有界定理、柯西条件、柯西收敛准则、重要极限lim(1n1 )n ne，并能进行相关的计算。（三）课后练习p27 习题 1，2，4，6，7，8；p33习题 1，2，3，4，9，10；p38 习题 1，3， 5，11，12；总练习题 3，4，5，6，7，8。（四）教学方法与手段以课堂讲授为主， 学生课外自学为辅。 让学生上网看校园网上的高等数学精品课程， 了解极限的几何意义， 通过几何直观来帮助理解极限的严格定义。数列极限理论是数学分析中最重要的理论基础，一定要让学生多做练习多看课外辅导 书为将来的进一步学习打下扎实的理论基础。第三章函数极限（一）目的与要求1. 理解并熟练掌握函数极限的定义与性质；2. 掌握两个重要极限，并能运用它们进行相关的计算，掌握无穷小量与无穷大量概念及它们之间的关系，掌握无穷小量阶的比较并能熟记一些等价无穷小，会求曲线的渐近线；3. 理解并运用归结原则、柯西准则判定某些函数极限的存在性。（二）教学内容第一节函数极限概念1. 主要内容函数极限的定义、单侧极限、函数极限与左（右）极限的关系。2. 基本概念和知识点函数极限的定义、左（右）极限、单侧极限、函数极限与左（右）极限的关系。3. 问题与应用（能力要求）掌握函数极限的定义， 能熟练地计算单侧极限和函数极限，掌握函数极限与左（右）极限的关系。第二节函数极限的性质1. 主要内容函数极限的性质。2. 基本概念和知识点函数极限性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性。函数极限的四则运算法则。3. 问题与应用（能力要求）掌握函数极限的性质和四则运算法则，并能熟练地计算函数的极限。第三节函数极限存在的条件1. 主要内容归结原则、柯西准则。2. 基本概念和知识点归结原则、柯西准则。3. 问题与应用（能力要求）理解并运用归结原则、柯西准则判定某些函数极限的存在性。第四节两个重要的极限1. 主要内容重要极限：limsin x1 和 lim(11) xe。x0xxx2. 基本概念和知识点两个重要极限及其证明。3. 问题与应用（能力要求）;.掌握两个重要极限，并能熟练地运用它们进行相关的计算。第五节无穷小量与无穷大量1. 主要内容无穷小量、无穷小量阶的比较、无穷大量、曲线的渐近线。2. 基本概念和知识点无穷小量、有界量、高阶无穷小阶、 低阶无穷小、 同阶无穷小、等价无穷小、无穷大量、无穷小量与无穷大量之间的关系、斜渐近线、垂直渐近线。3. 问题与应用（能力要求）掌握无穷小量与无穷大量及它们之间的相互关系，掌握无穷小量阶的比较并能熟记一些等价无穷小，会求曲线的渐近线。（三）课后练习p47 习题 1，2，3，4，6，8；p51 习题 1，2，4，5，7，8；p55习题 1，2， 3，4，6；p58习题 1，2，3，4；p66 习题 1，2，4，5；总练习题 1， 2， 9， 12，13，14。（四）教学方法与手段改变传统的直陈式讲授，采用分解式、前后呼应等讲授方法，指导学生对比数列极限的相关内容化解课程学习中的难点，提高教学效果。第四章函数的连续性（一）目的与要求1. 熟练掌握函数连续、间断的概念，能对间断点进行分类；2. 掌握连续函数的局部性质、整体性质和在闭区间上的基本性质；3. 掌握初等函数的连续性质。（二）教学内容第一节连续性的概念1. 主要内容函数在一点的连续性、间断点及其分类、区间上的连续函数。2. 基本概念和知识点自变量（函数）增量、连续、左（右）连续、间断点、可去间断点、跳跃间断点、第一类间断点、第二类间断点、区间上的连续函数。3. 问题与应用（能力要求）熟练掌握函数连续、间断的概念，能讨论函数的连续性和对间断点进行分类。第二节连续函数的性质1. 主要内容连续函数的局部性质、 闭区间上连续函数的基本性质、反函数的连续性、 一致连续性。2. 基本概念和知识点连续函数的局部有界性、 局部保号性、 连续函数的四则运算定理、 复合函数的连续性。闭区间上连续函数的有界性定理、最大（小）值定理、介值定理、根的存在定理、反函数的连续性、一致连续性、一致连续性定理。3. 问题与应用（能力要求）掌握连续函数的局部性质，可去间断点、跳跃间断点、第二类间断点；掌握闭区间上连续函数的性质和函数的一致连续性。第三节初等函数的连续性1. 主要内容指数函数的连续性、初等函数的连续性。2. 基本概念和知识点指数函数的连续性、初等函数的连续性。3. 问题与应用（能力要求）掌握任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数的结论，并能熟练地利用该结论计算极限。（三）课后练习p73 习题 1， 2， 4， 5， 6， 8； p80 习题 1，2， 4， 8， 9， 11，14，15， 17， 18，19； p84习题 1；总练习题 3，4，5，6，8，9，10。（四）教学方法与手段利用几何直观来介绍函数的连续性和一致连续等抽象概念。采用分解式、前后呼应等讲授方法，对比前面极限相关内容帮助理解教学难点，提高教学效果。第五章导数和微分（一）目的与要求1. 理解并熟练掌握导数与微分的定义，明确其几何、物理背景；搞清函数可导与可微之间的关系；2. 熟练掌握求导法则与公式， 能熟练的进行初等函数的求导（微分） 运算，了解费马定理、达布定理；3. 会求高阶导数和参变量函数的导数。（二）教学内容第一节导数的概念1. 主要内容导数的定义、导函数、导数的几何意义。2. 基本概念和知识点导数、变化率、函数的左（右）导数、单侧导数、导数的几何意义、有限增量公式、导函数、费马定理、达布定理。3. 问题与应用（能力要求）掌握导数的定义及其几何、 物理意义， 掌握可导与连续的关系， 了解费马定理、达布定理， 会求平面曲线的切线方程和法线方程。第二节求导法则1. 主要内容导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数、基本求导法则与公式。2. 基本概念和知识点求导运算的四则运算法则、 反函数求导公式、 复合函数的求导公式、 对数求导法、基本初等函数的求导公式。3. 问题与应用（能力要求）熟练掌握求导运算的四则运算法则、反函数求导法则、 复合函数求导法则及对数求导法， 熟记基本初等函数的导数公式。第三节参变量函数的导数1. 主要内容参变量函数的导数。2. 基本概念和知识点参变量函数、参变量函数的求导法则。3. 问题与应用（能力要求）熟练掌握参变量函数的导数的求导法则。第四节高 阶 导 数 1主要内容高阶导数、莱布尼茨公式。2. 基本概念和知识点二阶导数、高阶导数、求高阶导数的莱布尼茨公式。3. 问题与应用（能力要求）掌握高阶导数的定义， 能熟练计算给定函数的高阶导数，理解参变量函数的二阶导数的求导公式。第五节微分1. 主要内容微分的概念，微分的运算法则，高阶微分，微分在近似计算中的应用。2. 基本概念和知识点可微、微分、微分的运算法则、一阶微分形式的不变性、高阶微分、微分在近似计算中的应用。3. 问题与应用（能力要求）掌握微分的概念、运算法则、一阶微分形式的不变性，了解高阶微分，掌握微分在近似计算中的应用。（三）课后练习p94 习题 1， 2， 3， 4， 5， 6， 8， 12,13 ；p102 习题 1，2，3，4；p105 习题1，2，3，4；p109 习题 1，3， 4，5，6；p116 习题 1，2，4；总练习题 1，4，7，8，9。（四）教学方法与手段用极限的观点和方法统率教学内容， 提高数学理论上的统一性和科学性。 导数的定义和几何意义， 求导法则的掌握和运用对以后的学习至关重要， 要通过足量习题使学生掌握求导法则，安排专门时间督促和检查学生学习情况。第六章微分中值定理及其应用（一）目的与要求1. 熟练掌握罗尔定理和拉格朗日定理，理解柯西中值定理，掌握带有皮亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式；2. 能熟练计算不定式的极限，会求函数的极值与最值；3. 会讨论函数的性态并能作图。（二）教学内容第一节拉格朗日定理和函数的单调性1. 主要内容罗尔中值定理与拉格朗日中值定理、单调函数。2. 基本概念和知识点罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、函数单调性判定定理。3. 问题与应用（能力要求）熟练掌握 罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件、结论和证明方法。 会用导数判别函数的单调性，能用中值定理解决一些证明问题。第二节柯西中值定理和不定式极限1. 主要内容柯西中值定理和洛必达法则。2. 基本概念和知识点柯西中值定理、不定式极限、洛必达法则的使用。3. 问题与应用（能力要求）了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限。第三节泰勒公式1. 主要内容带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、在近似计算上的应用。2. 基本概念和知识点带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用。3. 问题与应用（能力要求）了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式， 熟记六个常见函数的麦克劳林公式。第四节函数的极值与最大 ( 小) 值1主要内容极值判别、最大值与最小值。2. 基本概念和知识点函数极值的第一、二、三充分条件、函数的极值和最值的求法。3. 问题与应用（能力要求）掌握函数极值的第一、 二充分条件和极值的计算； 会求闭区间上连续函数的最值及其应用。第五节函数的凸性与拐点1. 主要内容函数的凸性与拐点。2. 基本概念和知识点凹凸函数及判定定理、詹森不等式、拐点、拐点判定定理。3. 问题与应用（能力要求）掌握函数的凸性与拐点的概念及相关判定定理，应用函数的凸性证明不等式，运用詹森不等式证明或构造不等式。第六节函数图象的讨论1. 主要内容作函数图象。2. 基本概念和知识点确定函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点，画出函数的性态表。3. 问题与应用（能力要求）教会学生根据函数的性态表，以及函数的单调区间、 凹凸区间， 大致描绘函数图象。（三）课后练习p124 习题 2，4，5，6，7，9，15；p132习题 1，2，3，5，7；p141 习题 1， 2，3，4；p146习题 1，2，4，7，13； p153习题 1，2，3，5，8；总练习题 1，3，7，12，13。（四）教学方法与手段本章所讲中值定理是利用数学理论解决实际问题的桥梁。学生普遍觉得数学分析的理论抽象， 且用处不大， 可通过选择与实际应用密切相关的问题，让学生自己来解决， 使他们体会到数学理论在应用方面的巨大威力，增强学习的积极性和主动性。第七章实数的完备性（一）目的与要求1. 了解区间套定理、柯西收敛准则，聚点定理和有限覆盖定理；2. 了解闭区间上连续函数性质的证明；3. 了解实数完备性基本定理的等价性、上下极限。（二）教学内容第一节关于连续集完备性的基本定理1. 主要内容区间套定理与柯西收敛准则、聚点定理与有限覆盖定理。2. 基本概念和知识点闭区间套、区间套、聚点、开覆盖、区间套定理、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理。3. 问题与应用（能力要求）理解区间套定理、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理的条件和结论。理 解这些定理的含意及关系， 了解各定理的证明思路。 这一节中定理证明多， 且非常抽象，可根据学生的情况掌握讲解的程度。* 第二节闭区间上连续函数性质的证明1. 主要内容闭区间上连续函数性质 和一致连续性定理。2. 基本概念和知识点有界性定理、最大最小值定理、介值性定理和一致连续性定理。3. 问题与应用（能力要求）理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法，了解一致连续性定理 的证明思路和证明方法 。（三）课后练习p168习题 1，2， 3； p172习题 1， 3， 4， 5；总练习题 1，2，3，4，5。（四）教学方法与手段本章是第一学期内容最难的部分，理论推导复杂、繁难，对学生抽象思维能力要求很高。 因此对学习能力一般的学生只要他们了解定理证明思路即可，过高的要求只会挫伤他们的学习积极性和自尊心，对学生要多鼓励。第八章不定积分（一）目的与要求1. 熟练掌握原函数与不定积分的定义、换元积分法、分部积分法；2. 会求有理函数的不定积分、三角有理式的不定积分和某些无理根式的不定积分。（二）教学内容第一节不定积分概念与基本积分公式1. 主要内容原函数与不定积分、基本积分表。2. 基本概念和知识点原函数、不定积分、不定积分的几何意义、 基本积分公式表、 不定积分性质。3. 问题与应用（能力要求）熟练掌握原函数的概念、基本积分公式及不定积分的线性运算法则。第二节换元积分法与分部积分法1. 主要内容换元积分法和分部积分法。2. 基本概念和知识点第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法。3. 问题与应用（能力要求） 熟练掌握换元积分法和分部积分法。第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分1. 主要内容有理函数的不定积分、 三角函数有理式的不定积分、 某些无理根式的不定积分。2. 基本概念和知识点真分式、假分式、万能代换。有理函数、三角函数有理式、某些无理根式的不定积分的计算。3. 问题与应用（能力要求）会计算有理函数的不定积分、 三角函数有理式的不定积分、 某些无理根式的不定积分。（三）课后练习p181 习题 1，2，5；p188 习题 1， 2，3，4，5；p198 习题 1，2；p199 总练习题（ 1），（ 2），（ 18）。（四）教学方法与手段不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表，布置足量 的有关换元积分法与分部积分法的计算题，量变才能达到质变。 适当布置有理函数不定积分，三角函数有理式不定积分，某些无理根式不定积分的习题。第九章定积分（一）目的与要求1. 熟练掌握定积分的概念、性质、牛顿莱布尼茨公式、换元积分法与分部积分法；2. * 掌握可积的必要条件、可积的充要条件、可积函数类、积分第一中值定理和微积分基本定理；3. 了解定积分的几何意义及* 可积性理论。（二）教学内容第一节定积分概念1. 主要内容定积分的定义及几何意义。2. 基本概念和知识点曲边梯形、分割、黎曼和、可积、定积分的定义及几何意义。3. 问题与应用（能力要求）掌握定积分的定义，及其几何意义，并能用定义求一些简单的定积分。第二节牛顿莱布尼茨公式1. 主要内容牛顿莱布尼茨公式。2. 基本概念和知识点牛顿莱布尼茨公式。3. 问题与应用（能力要求）熟练掌握和运用牛顿莱布尼茨公式。* 第三节可积条件1. 主要内容可积的必要条件、可积的充要条件、可积函数类。2. 基本概念和知识点可积的必要条件、达布上和（下和）、振幅、可积准则、可积函数类。3. 问题与应用（能力要求）掌握可积 的充分和必要条件 ，可积准则及证明思路，掌握可积函数类。第四节定积分的性质1. 主要内容定积分的基本性质、积分中值定理。2. 基本概念和知识点定积分的基本性质、积分第一中值定理、推广的积分第一中值定理。3. 问题与应用（能力要求）掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理。第五节微积分学基本定理定积分计算（续）1. 主要内容变限积分与原函数的存在性、 换元积分法与分部积分法、 泰勒公式的积分型余项。2. 基本概念和知识点变上（下）限的定积分、 变限积分、微积分学基本定理、 积分第二中值定理、换元积分法、分部积分法、泰勒公式的积分型余项。3. 问题与应用（能力要求）掌握变限定积分的概念、微积分学基本定理、换元积分法及分部积分法。（三）课后练习p204 习题 1， 2；p206 习题 1，2；p212习题 1，2；p219 习题 2，3，9， 11； p229习题 1，3，4，5，6，7，10； p237总练习题 1，2，6，7，8，9。（四）教学方法与手段定积分定义和计算非常重要是将来学习其它各类积分的基础，也是今后学好重积分、曲线和曲面积分的关键。要通过几何直观让学生真正掌握分割、近似、 求和、取极限的重要思想，还要布置足够的练习，使学生打下扎实的计算基础。第十章定积分的应用（一）目的与要求1. 会求平面图形的面积、截面面积函数已知的立体的体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积；2. 理解并掌握微元法；3. 会用定积分求解物理及其他方面的简单实际问题。（二）教学内容第一节平面图形的面积1. 主要内容平面图形面积的计算公式。2. 基本概念和知识点平面图形面积的计算公式， 包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式。3. 问题与应用（能力要求）掌握平面图形面积的计算公式， 包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式。第二节由平行截面面积求体积1. 主要内容由平行截面面积求体积的计算公式。2. 基本概念和知识点由平行截面面积求体积的计算公式、旋转体及其体积计算公式。3. 问题与应用（能力要求）掌握由平行截面面积求体积的计算公式，旋转体体积计算公式。第三节平面曲线的弧长与曲率1. 主要内容平面曲线的弧长与曲率的计算公式。2. 基本概念和知识点可求长、弧长、光滑曲线、曲率、平面曲线的弧长与曲率的计算公式。3. 问题与应用（能力要求）掌握平面曲线的弧长与曲率的计算公式。第四节旋转曲面的面积 1主要内容微元法、旋转曲面的面积。2. 基本概念和知识点微元法和旋转曲面的面积计算公式。3. 问题与应用（能力要求）掌握微元法和旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积。第五节定积分在物理中的某些应用1. 主要内容液体静压力、引力、功与平均功率。2. 基本概念和知识点液体静压力、引力、功与平均功率。3. 问题与应用（能力要求）要求学生能用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式。（三）课后练习p242习题 1，3， 4， 9； p246习题 2，3，5，6；p252习题 1，3；p255 习题1，2；p259习题 1，2，3，4，5。（四）教学方法与手段通过本章的学习使学生充分领略到定积分在几何、物理方面的应用的重要性，增强学生学习抽象数学理论的积极性和主动性，从而提高学习成绩。第十一章反常积分（一）目的与要求1. 掌握两种反常积分的定义和性质；2. 了解反常积分的判敛法；3. 掌握反常积分的计算方法。（二）教学内容第一节反常积分概念1. 主要内容无穷积分、瑕积分。2. 基本概念和知识点无穷积分、收敛、发散、瑕积分，无穷积分与瑕积分的计算。3. 问题与应用（能力要求）掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法。第二节无穷积分的性质与收敛判别1主要内容无穷积分的性质、比较判别法、* 狄利克雷判别法、 * 阿贝尔判别法。2基本概念和知识点无穷积分的性质、绝对收敛、条件收敛、柯西判别法、* 狄利克雷判别法、 *阿贝尔判别法。3问题与应用（能力要求）掌握无穷积分的性质，会用柯西判别法判别无穷积分敛散性，* 了解狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。第三节瑕积分的性质与收敛判别1. 主要内容瑕积分的性质与收敛判别。2. 基本概念和知识点瑕积分的性质和比较法则。3. 问题与应用（能力要求）掌握瑕积分的性质， * 会用柯西判别法判别瑕积分的敛散性。（三）课后练习p269习题 1，2， 5， 6； p275习题 2，3，4，5；p279习题 3，4；p280 总练习题 1，2，3。（四）教学方法与手段无穷积分在将来的后续课程概率论与数理统计中，有极重要的应用， 一定要让学生通过大量练习务必掌握，还要注意突出积分的几何意义。第十二章数项级数（一）目的与要求1. 熟练掌握数项级数收敛的定义、性质及柯西准则；2. 熟练掌握正项级数的判敛法、交错级数的莱布尼茨判别法、一般项数项级数的阿贝耳判别法、狄利克雷判别法、积分判别法；3. 掌握绝对收敛与条件收敛之间的关系，* 了解级数的重排、级数的乘积、拉贝判别法。（二）教学内容第一节级数的收敛性1. 主要内容数项级数收敛性的定义和基本性质。2. 基本概念和知识点级数、部分和、级数的收敛与发散、级数的基本性质、等比级数、级数收敛的柯西准则、调和级数。3. 问题与应用（能力要求）理解和掌握级数收敛性的定义和基本性质，掌握等比级数和调和级数的敛散性，能应用柯西收敛准则判别级数的敛散性。第二节正项级数1. 主要内容正项级数收敛性的一般判别原则、比式判别法和根式判别法、积分判别法。2. 基本概念和知识点同号级数、正项级数、正项级数收敛性的一般判别原则、比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法。3. 问题与应用（能力要求）掌握正项级数收敛性的一般判别原则、比较判别法、 比式判别法、 根式判别法和积分判别法。第三节一般项级数1主要内容交错级数、绝对收敛级数及其性质、* 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。2基本概念和知识点交错级数、莱布尼茨判别法、条件收敛、绝对收敛、* 级数的重排、柯西定理、阿贝尔变换、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。3问题与应用（能力要求）理解收敛级数， 绝对收敛级数与条件收敛级数的关系，性质及证明方法。 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。* 了解一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，了解绝对收敛级数的性质。（三）课后练习下册 p5 习题 1，2，4，5，6，7，8；p16 习题 1，2，3，5，6，8，9， 14；p24习题 1，2，3；总练习题 1， 2， 5， 6。（四）教学方法与手段以教师讲授为主学生自学为辅，加强与学生的沟通和交流，随时解答学生学习中的问题，通过习题课提高学生的解题水平和能力。第十三章函数列与函数项级数（一）目的与要求1. 理解并熟练掌握函数列一致收敛的定义、函数项级数一致收敛的定义、优级数判别法；2. 掌握一致收敛的柯西准则；3. 掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质。（二）教学内容第一节一致收敛性1. 主要内容函数列及其一致收敛性、 函数项级数及其一致收敛性、 函数项级数的一致收敛性判别法。2. 基本概念和知识点函数列、收敛点、收敛域、一致收敛、函数项级数、和函数、优级数、函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则、函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法。3. 问题与应用（能力要求）掌握函数列与函数项级数一致收敛性的定义，了解函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法。第二节一致收敛函数列与函数项级数的性质1. 主要内容一致收敛函数列与函数项级数的连续性、可积性和可微性。2. 基本概念和知识点一致收敛函数列与函数项级数的连续性、可积性和可微性的判别。3. 问题与应用（能力要求）掌握一致收敛函数列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论。（三）课后练习下册 p35 习题 1，3，4，5，6；p41 习题 1，3，4，5，6，7；p42 总练习题1，2。（四）教学方法与手段;.所学理论抽象且比较复杂对学生要多鼓励，树立学生学好的信心， 让学得好的学生介绍和交流学习心得和体会共同提高学习水平。第十四章幂级数（一）目的与要求1. 会求幂级数的收敛半径、收敛区间；2. 掌握幂级数的性质和运算；3. 会将初等函数展成幂级数。（二）教学内容第一节幂级数1. 主要内容幂级数的收敛区间、幂级数的性质、幂级数的运算。2. 基本概念和知识点幂级数的收敛半径、收敛区间的定义和求法、幂级数的性质及运算。3. 问题与应用（能力要求）理解幂级数作为特殊的函数项级数有和它相同的性质。掌握幂级数收敛半径和收敛域的定义与求法。掌握幂级数的性质及运算。第二节函数的幂级数展开1. 主要内容泰勒级数、初等函数的幂级数展开式。2. 基本概念和知识点泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义、基本初等函数的幂级数展开式。3. 问题与应用（能力要求）掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开。会用逐项求积和逐项求导的方法展开简单的初等函数。（三）课后练习下册 p50 习题 1，2，3，7，8，9；p41 习题 1，2，3，4；p60 总练习题 1， 2，3，4，6。（四）教学方法与手段加强与学生的沟通和交流，随时解决学生学习和思想上的问题，与学生做朋友。第十五章傅里叶级数（一）目的与要求1. 理解三角级数、正交函数系、傅里叶级数及收敛定理；2. 会将以 2( 2l ) 为周期的函数（奇偶函数）展成傅里叶级数；3. * 了解收敛定理的证明。（二）教学内容第一节傅里叶级数1主要内容三角级数、正交函数系、以2为周期的函数的傅里叶级数、收敛定理。2. 基本概念和知识点三角级数、正交函数系、光滑、按段光滑、傅里叶级数定义与收敛定理。3. 问题与应用（能力要求）掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理， 能够展开比较简单函数的傅里叶级数。第二节以 2 l 为周期的函数的展开式1主要内容以2l 为周期的函数的傅里叶级数、偶函数和奇函数的傅里叶级数。2. 基本概念和知识点以 2l 为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法、偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开、正弦级数、余弦级数。3. 问题与应用（能力要求）掌握以 2l 为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法、偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开方法。* 第三节收敛定理的证明1. 主要内容贝塞尔不等式、黎曼勒贝格定理、收敛定理的证明。2. 基本概念和知识点贝塞尔不等式、黎曼勒贝格定理、收敛定理的证明。3. 问题与应用（能力要求） 了解贝塞尔不等式和收敛定理的证明。（三）课后练习下册 p70 习题 1，2，3，7；p77 习题 2，3，4，5，6；p83 习题 2，4。（四）教学方法与手段三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大， 可布置少量习题使学生了解展开的方法与步骤。 教学中要注意因材施教， 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题，其余学生不做要求。第十六章多元函数的极限与连续（一）目的与要求1. 掌握平面点集的有关概念；2. 了解二元函数的几何意义，熟练掌握二元函数的极限，搞清重极限与累次极限之间的关系；3. 理解二元函数的连续性，掌握有界闭区域上连续函数的性质。（二）教学内容第一节平面点集与多元函数;.1. 主要内容平面点集、r2 上的完备性定理、二元函数、n 元函数。2. 基本概念和知识点平面点集、圆（方）邻域、内点、外点、界点、边界、聚点、开集、闭集、开域、闭域、区域、有界（无界）点集、柯西准则、闭域套定理、聚点定理、二元函数、 n 元函数。23. 问题与应用（能力要求）了解平面中的邻域、开集、闭集、开域、闭域的定义， 二元及多元函数的定义。第二节二元函数的极限1. 主要内容二元函数的极限、累次极限。2. 基本概念和知识点二元函数的极限定义、累次极限。3. 问题与应用（能力要求）r 的完备性，掌握掌握二元函数的极限定义， 理解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法。第三节二元函数的连续性1. 主要内容二元函数的连续性概念、有界闭域上连续函数的性质。2. 基本概念和知识点二元函数的连续性的定义、间断点、全增量、偏增量、复合函数的连续性。 有界闭域上连续函数的有界性、 最大最小值定理、介值性定理和一致连续性定理。3. 问题与应用（能力要求）掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质。（三）课后练习下册 p92习题 1，2，3，5，6，7，8；p99 习题 1，2，3，6，7；p104习题 1， 2，4，6，8，9；p105总练习题 1， 3。（四）教学方法与手段改变传统的直陈式讲授，采用分解式、前后呼应等讲授方法。指导学生对比 一元函数定义、 极限、连续性与多元函数的联系与区别，教会他们通过类比掌握多元函数的相关内容，化解课程学习中的难点，提高教学效果。第十七章多元函数微分学（一）目的与要求1. 熟练掌握二元（多元）函数的偏导数与全微分的定义，搞清二元（多元）函数的可导、可微、连续以及偏导数与连续性之间的关系， 熟练掌握复合函数的求导法则；2. 掌握可微的条件、 高阶偏导数、 中值定理及泰勒公式， 会求极值；3. 了解可微的几何意义、方向导数与梯度。（二）教学内容第一节可微性1. 主要内容可微性与全微分、偏导数、可微性条件、可微性几何意义及应用。2. 基本概念和知识点可微、全微分、偏导数、可微的充分（必要） 条件、可微性几何意义及应用。3. 问题与应用（能力要求）掌握偏导数、可微性、全微分定义，熟记可微的充要条件，并能熟练地求偏导数。理解二元函数的偏导数存在、可微、连续之间的关系。第二节复合函数微分法1. 主要内容复合函数的求导法则、复合函数的全微分。2. 基本概念和知识点复合函数链式法则、复合函数的全微分、一阶全微分形式不变性。3. 问题与应用（能力要求）熟练掌握和运用链式法则，理解一阶全微分形式不变性。第三节方向导数与梯度1. 主要内容方向导数与梯度的定义及计算。2. 基本概念和知识点方向导数与梯度的定义和计算公式。3. 问题与应用（能力要求）掌握方向导数、梯度的定义和计算公式。第四节泰勒公式与极值问题1主要内容高阶偏导数、极值问题，* 中值定理与泰勒公式。2基本概念和知识点二元函数的高阶偏导数、 二元函数的极值的必要条件与充分条件、极值的计算与判别， * 中值定理与泰勒公式。3问题与应用（能力要求）掌握二元函数的高阶偏导数的定义， 能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大( 小) 值。（三）课后练习下册 p116习题 1，2，3，5，6，8，9，10， 13； p123 习题 1，2，3，5， 6； p127 习题 1，2， 3，6，7，8； p140 习题 1，2， 7，8， 10，13， 14； p142总练习题 1，2， 5， 6。（四）教学方法与手段改变传统的直陈式讲授，采用分解式、前后呼应等讲授方法。指导学生类比一元函数导数、微分、泰勒公式与极值等内容，来学习多元函数的相关内容，化解课程学习中的难点，提高教学效果。第十八章隐函数定理及其应用（一）目的与要求1理解并掌握隐函数和隐函数组定理，会求隐函数的导数、平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法线、曲面的切平面与法线； 2会求函数的条件极值；3反函数组与坐标变换。（二）教学内容第一节隐函数1. 主要内容隐函数概念、隐函数存在性条件的分析、隐函数定理、隐函数求导举例。2. 基本概念和知识点隐函数、隐函数存在惟一性定理、隐函数可微性定理、隐函数求导计算。3. 问题与应用（能力要求）掌握隐函数存在的条件，熟记隐函数定理，会求隐函数导数。* 第二节隐函数组1. 主要内容隐函数组概念、隐函数组定理、反函数组与坐标变换。2. 基本概念和知识点隐函数组的概念、隐函数组定理、反函数组与坐标变换。3. 问题与应用（能力要求）掌握隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法。第三节几何应用1. 主要内容平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。2. 基本概念和知识点求平面曲线的切线与法线方程、空间曲线的切线与法平面方程、曲面的切平面与法线方程。3. 问题与应用（能力要求）会求平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线方程。第四节条件极值1. 主要内容条件极值、拉格朗日乘数法。2. 基本概念和知识点条件极值、拉格朗日函数、拉格朗日乘数法。;.3. 问题与应用（能力要求）了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。（三）课后练习下册 p151 习题 1，2，3，4，5，6；p157习题 1，2，3，5；p163习题 1，2， 3，5，6，7；p169习题 1，2，3，4，5；p170总练习题