高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学案新人教A版.docx

第1课时椭圆的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形(重点)2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线(重点、难点)1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养.2.借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养.1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)B1(0，b)，B2(0，b)B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长|B1B2|2b，长轴长|A1A2|2a焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率(2)性质：离心率e的范围是(0，1)当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆思考：(1)离心率e能否用表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？提示(1)e21，所以e.(2)不是离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同1椭圆6x2y26的长轴的端点坐标是()A(1，0)，(1，0)B(6，0)，(6，0)C(，0)，(，0)D(0，)，(0，)D椭圆方程可化为x21，则长轴的端点坐标为(0，)2椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5，3，0.8B10，6，0.8C5，3，0.6 D10，6，0.6B椭圆方程可化为1，则a5，b3，c4，e，故选B.3已知椭圆1，长轴在y轴上若焦距为4，则m等于()A8 B7C5 D4A由题意得m210m且10m0，于是6m10，再由(m2)(10m)22，得m8.4椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是_1由已知a4，b2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是1.根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标解椭圆方程可化为1.(1)当0m4时，a2，b，c，e，m3，b，c1，椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4，2，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(0，)，B2(0，)(2)当m4时，a，b2，c，e，解得m，a，c，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(2，0)，B2(2，0)用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍1已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(6，0)，离心率e.(2)椭圆C2：1.性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0，10)，(0，10)，短轴端点(8，0)，(8，0)；离心率：e.利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3，0)，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1，2)，且与椭圆1有相同离心率的椭圆的标准方程思路探究：(1)焦点位置不确定，分两种情况求解(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系再用待定系数法求解法二：设与椭圆1有相同离心率的椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)解(1)若焦点在x轴上，则a3，e，c，b2a2c2963.椭圆的方程为1.若焦点在y轴上，则b3，e，解得a227.椭圆的方程为1.所求椭圆的方程为1或1.(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为1.(3)法一：由题意知e21，所以，即a22b2，a设所求椭圆的方程为1或1.将点M(1，2)代入椭圆方程得1或1，解得b2或b23.故所求椭圆方程为1或1.法二：设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)，将点M的坐标代入可得k1或k2，解得k1，k2，故或，即所求椭圆的标准方程为1或1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个提醒：与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20，焦点在y轴上)2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为()A.1B.1C.1 D.1B由题意，得解得因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为1.(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cosOFA，则椭圆的标准方程是_1或1因为椭圆的长轴长是6，cosOFA，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)所以|OF|c，|AF|a3，所以，所以c2，b232225，所以椭圆的方程是1或1.求椭圆的离心率探究问题1已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PFx轴，OPAB，怎样求椭圆的离心率？提示如图，设椭圆的方程为1(ab0)，P(c，m)OPAB，PFOBOA，又P(c，m)在椭圆上，1.将代入，得1，即e2，e.2已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c，0)，A(a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.提示由A(a，0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB，故AB所在的直线方程为ybx，即bxayab0.又F1(c，0)，由点到直线的距离公式可得d，(ac).又b2a2c2，整理，得8c214ac5a20，即81450.8e214e50，e或e(舍去)综上可知，椭圆的离心率e.【例3】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是_思路探究：ABF2为正三角形AF2F130把|AF1|，|AF2|用c表示不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABF1F2，且ABF2为正三角形，所以在RtAF1F2中，AF2F130，令|AF1|x，则|AF2|2x，所以|F1F2|x2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|AF2|2a3x，所以e.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围3(1)椭圆1(ab0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是()A.1B2C.1D2(2)椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_(1)A(2)1(1)如图，设F(c，0)，由OAF是等边三角形，得A，因为点A在椭圆上，所以有1，在椭圆中有a2b2c2，联立，得c2(42)a2，即c(1)a，则其离心率e1.(2)法一：如图，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N，|NF2|c，|NF1|c，由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a，cc2a，e1.法二：注意到焦点三角形NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F1NF290，则由离心率的三角形式，可得e1.1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距3椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用，也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等4椭圆的对称性(椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形)是椭圆的几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解1已知椭圆1(ab0)与椭圆1有相同的长轴，椭圆1(ab0)的短轴长与1的短轴长相等，则()Aa215，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da225，b29D由题意得，椭圆1的焦点在x轴上，且a225，b29.2若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦