2019_2020学年高中数学第3章函数3.1.2函数的单调性（第1课时）单调性的定义与证明学案新人教B版.docx

第1课时单调性的定义与证明学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性(重点)2会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间(重点、难点)3理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值(重点、难点)1.借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养2利用求单调区间、最值、培养数学运算素养3利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.1增函数与减函数的定义条件一般地，设函数yf(x)的定义域为A，且MA：如果对任意x1，x2M，当x1x2时都有f(x1)f(x2)都有f(x1)f(x2)结论yf(x)在M上是增函数(也称在M上单调递增)yf(x)在M上是减函数(也称在M上单调递减)图示思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？提示：定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间2函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在M上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在M上具有单调性(当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)思考2：函数y在定义域上是减函数吗？提示：不是y在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不能说y在(，0)(0，)上递减3函数的最值最大值最小值条件一般地，设函数f(x)的定义域为D：且x0D，如果对任意xD都有f(x)f(x0)都有f(x)f(x0)结论称f(x)的最大值为f(x0)，记作fma xf(x0)，而x0称为f(x)的最大值点称f(x)的最小值为f(x0)，记作fminf(x0)，而x0称为f(x)的最小值点统称最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点1函数yf(x)的图像如图所示，其增区间是()A4,4B4，31,4C3,1D3,4C由题图可知，函数yf(x)的单调递增区间为3,1，选C.2下列函数中，在区间(0，)上是减函数的是()AyByxCyx2 Dy1xD函数y1x在区间(0，)上是减函数，其余函数在(0，)上均为增函数，故选D.3函数yf(x)在2,2上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A1,0 B0,2C1,2 D.，2C由题图可知，f(x)的最大值为f(1)2，f(x)的最小值为f(2)1.4函数f(x)x22x3的单调减区间是_(，1因为f(x)x22x3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x1，所以函数f(x)的单调减区间是(，1定义法证明(判断)函数的单调性【例1】证明：函数f(x)x在(0,1)上是减函数思路点拨 证明设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)，0x2x11，x1x20,0x1x21，则1x1x2x21，则y1y2.x1x21，x1x20，x110，x210，0，即y1y20，y1y2，y在(1，)上是增函数求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数(1)f(x)；(2)f(x)(3)f(x)x22|x|3.解(1)函数f(x)的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是增函数(2)当x1时，f(x)是增函数，当xf(b)，则a，b满足什么关系如果函数f(x)是减函数呢？提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)f(b)时，ab；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)f(b)时，af(5x6)，则实数x的取值范围为_思路点拨(1)数形结合,(2)f(x)在(，)上是增函数,(1)(，4(2)(，1)(1)f(x)x22(a1)x3的图像开口向下，要使f(x)在(，3上是增函数，只需(a1)3，即a4.实数a的取值范围为(，4(2)f(x)在(，)上是增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，即x.x的取值范围为.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.求函数的最值(值域)【例4】已知函数f(x).(1)判断函数在区间(1，)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间2,4上的最大值和最小值解(1)f(x)在(1，)上为增函数，证明如下：任取1x1x2，则f(x1)f(x2)，因为1x10，x210，x1x20，所以f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)上为增函数(2)由(1)知f(x)在2,4上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)，最大值为f(4).1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值2函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则f(x)在区间a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)(2)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则f(x)在区间a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个提醒：(1)求最值勿忘求定义域(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意4已知函数f(x)求(1)f(x)的最大值、最小值；(2)f(x)的最值点解(1)作出函数f(x)的图像(如图)由图像可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1.当x0时，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.(2)f(x)的最大值点为x01，最小值点为x00.1定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较2证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可3求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：(1)图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出最值；(2)单调性法，一般需要先确定函数的单