高中数学第二章平面解析几何习题课课件

习题课 圆的方程的综合应用 1 圆的标准方程与一般方程的比较 2 直线与圆 圆与圆位置关系的解决方法 1 几何法 侧重点在于利用圆的几何性质 并利用半径与距离的量来刻画位置关系 解法简捷 直观 2 代数法 侧重点在于利用联立方程的思路 通过方程解的组数来刻画位置关系 解法比较抽象 但很严谨 3 重要结论 1 过圆x2 y2 r2上一点P x0 y0 的切线方程为x0 x y0y r2 2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点P x0 y0 的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 过圆x2 y2 r2外一点P a b 作圆的切线PA PB 其中A B为切点 则直线AB的方程为ax by r2 4 A x1 y1 B x2 y2 以AB为直径的圆的方程为 x x1 x x2 y y1 y y2 0 5 过两圆交点的直线方程 设圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0 圆C2 x2 y2 D2x E2y F2 0 得 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 若圆C1与圆C2相交 则 为过两圆交点的弦所在直线的方程 6 过直线与圆的交点的圆系方程 若直线l Ax By C 0与圆C x2 y2 Dx Ey F 0相交 则方程x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程 7 过圆与圆的交点的圆系方程 若圆C1 x2 y2 Dx Ey F 0与圆C2 x2 y2 D x E y F 0相交 则过这两个圆交点的圆系方程可设为x2 y2 Dx Ey F x2 y2 D x E y F 0 1 8 圆的常用几何性质 圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上 圆上异于直径端点的点与直径的两端点连线垂直 过切点且垂直于该切线的直线必过圆心 4 做一做 如果x2 y2 2x y k 0是圆的方程 则实数k的取值范围是 答案 B 解析 本题可转化为直线x y 1 0与圆 x 1 2 y 1 2 R2 R 0 相切 求R 答案 B 6 做一做 直线x y 2 0与圆x2 y2 4相交于A B两点 则弦AB的长度等于 解析 如图所示 由题意知圆的圆心坐标为 0 0 半径r 2 答案 B 7 做一做 若直线x my 2 0与圆x2 y 1 2 1有两个不同的交点 则 解析 由已知得直线与圆相交 因此圆心到直线的距离 答案 B 8 做一做 若圆 x 2 2 y2 9与圆 x 1 2 y a 2 64内切 则实数a 解析 两圆圆心坐标分别为 2 0 1 a 半径分别为3和8 答案 4 9 做一做 求过直线2x y 4 0和圆x2 y2 2x 4y 1 0的交点 且满足下列条件的圆的方程 1 过原点 2 面积最小 解 1 设所求的圆的方程为 x2 y2 2x 4y 1 2x y 4 0 即x2 y2 2 1 x 4 y 1 4 0 此圆过原点 2 依题意可知当圆心在直线2x y 4 0上时 所求的圆的面积最小 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 求圆的方程 例1 已知圆C关于y轴对称 经过点A 1 0 且被x轴分成两段弧长之比为1 2 求圆C的方程 思路分析 先设出圆的标准方程 然后利用点在圆上及弧长之比列出方程组求解即可 解 因为圆C关于y轴对称 所以圆心C在y轴上 故可设C 0 b 圆C的半径为r 即圆的方程为x2 y b 2 r2 又圆C被x轴分成两段弧长之比为1 2 经过A 1 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 反思感悟求圆的方程的两种方法 1 直接法 利用圆的性质 直线与圆 圆与圆的位置关系 数形结合直接求出圆心坐标 半径 进而求出圆的方程 2 待定系数法 先设出圆的方程 再由条件构建系数满足的方程 组 求得各系数 进而求出圆的方程 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 变式训练1设直线y x 2a与圆C x2 y2 2ay 2 0相交于A B两点 若 AB 2 则圆C的面积为 解析 圆C的方程可化为x2 y a 2 2 a2 直线方程为x y 2a 0 故圆C的面积为 2 a2 4 答案 4 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 直线与圆 圆与圆位置关系的应用 例2 1 设直线kx y 1 0被圆O x2 y2 4所截弦的中点的轨迹为C 则曲线C与直线x y 1 0的位置关系为 A 相交B 相切C 相离D 不确定 2 已知圆C1 x2 y2 m与圆C2 x2 y2 6x 8y 11 0相切 则实数m的值为 解析 1 直线kx y 1 0恒过点 0 1 且点 0 1 在圆O内 又所截弦的中点与点 0 1 的连线垂直于与点 0 0 的连线 则弦的中点的轨迹C为以点 0 1 和点 0 0 为直径两端点的圆 其方程为 曲线C与直线x y 1 0相交 故选A 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 2 由于圆C1的圆心在圆C2内部 所以两圆只能内切 圆C2的方程可化为 x 3 2 y 4 2 36 由于两圆内切 所以有 5 解得m 1或m 121 答案 1 A 2 1或121反思感悟解决直线与圆 圆与圆位置关系问题有几何法和代数法 但一般使用几何法解决 解决的关键是找出圆心 半径及距离 含参类问题也要注意最后结果的检验 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 变式训练2 1 若直线x y 1 0与圆 x a 2 y2 2有公共点 则实数a的取值范围是 A 3 1 B 1 3 C 3 1 D 3 1 2 圆x2 y2 4x 4y 7 0与圆x2 y2 4x 10y 13 0的公切线的条数是 A 1B 2C 3D 4 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 解析 1 圆 x a 2 y2 2的圆心C a 0 到直线x y 1 0的距离为d 半径分别为r1 1 r2 4 则d r1 r2 即两圆相离 因此它们有4条公切线 答案 1 C 2 D 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 与圆有关的最值问题 例3 若实数x y满足 x 2 2 y2 3 则的最大值为 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 反思感悟处理与圆有关的最值问题 应充分考虑圆的几何性质 并根据代数式的几何意义 借助数形结合思考求解 与圆有关的最值问题 常见的有以下几种类型 2 形如t ax by的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2的最值问题 可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 变式训练3若直线l ax by 1 0始终平分圆M x2 y2 4x 2y 1 0的周长 则 a 2 2 b 2 2的最小值为 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 与圆有关的弦及弦长问题 例4 1 已知圆C x2 y2 8y 12 0 直线l ax y 2a 0 当a为何值时 直线l与圆C相切 当直线l与圆交于A B两点 且 AB 2时 求直线l的方程 2 已知圆x2 y2 x 6y m 0与直线x 2y 3 0交于P Q两点 O为坐标原点 那么是否存在实数m 使得OP OQ 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 思路分析 1 利用d r列式 利用弦长公式列方程 2 通过原点和点 x y 的直线的斜率为 由直线与圆的方程构造以为未知数的一元二次方程 由根与系数的关系得出kOP kOQ的表达式 从而使问题得以解决 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 解 1 圆的方程化为标准方程为x2 y 4 2 4 即圆心为C 0 4 半径r 2 设AB中点为D 则 CDB为直角三角形 点C到直线AB的距离为 直线l的方程为x y 2 0或7x y 14 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 2 由直线方程得3 x 2y 将其代入圆的方程x2 y2 x 6y m 0 整理得 12 m x2 4 m 3 xy 4m 27 y2 0 由题意知x 0 经检验 符合题意 故存在m 3 使得OP OQ 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 2 关于弦的逆向问题 一定要将垂直 夹角或距离等条件用代数式表达出来 进而求得参数 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 变式训练4 1 已知直线x y a 0与圆心为C的圆x2 y2 2x 4y 4 0相交于A B两点 且AC BC 则实数a的值为 2 已知圆C1 x2 y2 2x 6y 1 0 圆C2 x2 y2 4x 2y 11 0 求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长 1 解析 由题意 得圆心C的坐标为 1 2 半径r 3 答案 0或6 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 两式相减并化简得3x 4y 6 0 则3x 4y 6 0即为两圆公共弦所在直线的方程 由题易知圆C1的圆心C1 1 3 半径r 3 C1到直线3x 4y 6 0的距离 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 与圆有关的轨迹问题 例5 定长为4的线段AB的两个端点A B分别在x轴和y轴上滑动 求线段AB的中点M的轨迹方程 思路分析 要设出动点M及A B的坐标 并找出三点坐标之间的关系 最后利用 AB 4化简即得 解 设线段AB的中点M为 x y 线段AB的端点A x0 0 B 0 y0 化简得x2 y2 4 所以线段AB的中点M的轨迹方程是x2 y2 4 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 反思感悟求轨迹的方法很多 但目前应掌握好直接法与相关点法 直接法的关键是设出动点 直接将条件代数化化简即得 相关点法不仅要设出所求动点坐标 还要设出与之联动的相关点的坐标 并且要找出它们坐标之间的关系 再代数化化简即得 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 变式训练5已知点O 0 0 和点B m 0 m 0 动点P到点O和点B的距离之比为2 1 求P点的轨迹 解 设P x y 由 PO PB 2 1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 与圆有关的切线问题 典例 求经过点 1 7 且与圆x2 y2 25相切的直线方程 思路点拨 方法1 采用代数法 根据当 0时直线与圆相切来求斜率k 方法2 采用几何法 若直线与圆相切 则圆心到直线的距离等于半径 方法3 利用过圆上一点 x0 y0 的切线方程为x0 x y0y r2求解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 解法1因为12 7 2 50 25 所以点 1 7 是圆外一点 由题易知切线的斜率存在 所以设切线的斜率为k 由点斜式得y 7 k x 1 即y k x 1 7 将上式代入圆的方程x2 y2 25 得x2 k x 1 7 2 25 整理得 k2 1 x2 2k2 14k x k2 14k 24 0 令 2k2 14k 2 4 k2 1 k2 14k 24 0 整理得12k2 7k 12 0 所以切线方程为4x 3y 25 0或3x 4y 25 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 解法2由题易知切线的斜率存在 所以设所求直线的斜率为k 所以所求切线的方程为y 7 k x 1 整理成一般式为kx y k 7 0 所以切线方程为4x 3y 25 0或3x 4y 25 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 解法3设所求切线的方程为x0 x y0y 25 x0 y0 是圆上的点 将点 1 7 代入上式得x0 7y0 25 故所求切线的方程为4x 3y 25 0或3x 4y 25 0 名师点评在求过定点的圆的切线方程时 应首先确定点与圆的位置关系 1 若点在圆外 则切线应有两条 若根据点到直线 设成点斜式的直线 的距离等于半径 求出的切线只有一条 则说明还有一条斜率不存在的直线 不要漏掉 2 若点在圆上 则切线只有一条 这条切线与圆心和该点的连线垂直 垂足为该点 1 2 3 4 5 6 1 已知点M x0 y0 是圆x2 y2 a2 a 0 内异于圆心的一点 则直线x0 x y0y a2与该圆的位置关系为 A 相切B 相交C 相离D 相切或相交 答案 C 1 2 3 4 5 6 2 若方程a2x2 a 2 y2 2ax a 0表示圆 则a的值为 A 1B 2C 1或2D 1解析 由题意得a2 a 2 a2 0 a 2 0 解得a 1或a 2 因为D2 E2 综上所述 a 1 故选A 答案 A 1 2 3 4 5 6 3 已知圆C x2 y2 mx 4 0上存在两点关于直线x y 3 0对称 则实数m的值为 A 8B 4C 6D 无法确定解析 圆上存在关于直线x y 3 0对称的两点 则直线x y 3 0过圆 答案 C 1 2 3 4 5 6 4 已知圆C1 x 2 2 y 3 2 1 圆C2 x 3 2 y 4 2 9 M N分别是圆C1 C2上的动点 P为x轴上的动点 则 PM PN 的最小值为 解析 圆C1 C2如图所示 设P是x轴上任