2018届高考数学一轮复习第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性课件文北师大版

2 3函数的奇偶性与周期性 2 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 自测点评 1 函数的奇偶性 1 奇函数 图像关于原点对称的函数叫作奇函数 在奇函数f x 中 f x 和f x 的绝对值相等 符号相反 即f x f x 反之 满足f x f x 的函数y f x 一定是奇函数 2 偶函数 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数 在偶函数f x 中 f x 和f x 的值相等 即f x f x 反之 满足f x f x 的函数y f x 一定是偶函数 当函数f x 是奇函数或偶函数时 称函数具有奇偶性 3 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 2 奇 偶 函数的性质 1 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 2 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性 3 在公共定义域内有 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 4 若函数f x 是奇函数 且在x 0处有定义 则f 0 0 4 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 3 函数的周期性 1 周期函数 T为函数f x 的一个周期 则需满足的条件 T 0 f x T f x 对定义域内的任意x都成立 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫作它的最小正周期 3 周期不唯一 若T是函数y f x x R 的一个周期 则nT n Z 且n 0 也是函数f x 的周期 即f x nT f x 5 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 4 函数周期性的常用结论对函数f x 的定义域内任一自变量的值x 1 若f x a f x 则T 2a 4 若f x 是偶函数 其图像关于直线x a对称 则T 2a 5 若f x 是奇函数 其图像关于直线x a对称 则T 4a 6 若函数的图像关于两条直线x a x b对称 则T 2 a b 7 若函数的图像关于点M a 0 和点N b 0 对称 则T 2 a b 8 若函数的图像关于直线x a和点M b 0 对称 则T 4 a b 2 6 知识梳理 双基自测 3 4 1 5 自测点评 1 下列结论正确的画 错误的画 1 函数y x2 x 0 是偶函数 2 若函数f x 为奇函数 则一定有f 0 0 3 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 的图像关于直线x a对称 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 的图像关于点 b 0 中心对称 4 若函数f x g x 是定义域相同的偶函数 则F x f x g x 是偶函数 5 已知函数y f x 是定义在R上的偶函数 若f x 在 0 上是减函数 则f x 在 0 上是增函数 6 若T为y f x 的一个周期 则nT n Z 是函数f x 的周期 答案 7 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 2 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 答案 解析 8 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 3 定义域为R的四个函数y x3 y 2x y x2 1 y 2sinx中 奇函数的个数是 A 4B 3C 2D 1 答案 解析 9 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 4 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x 1 x 则当x 0时 f x 答案 解析 10 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 答案 解析 11 知识梳理 双基自测 自测点评 1 若函数的定义域不关于原点对称 则该函数为非奇非偶函数 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 2 若函数f x 为奇函数 且在x 0处有定义 则有f 0 0 3 根据周期函数的定义 函数的周期应是一个非零常数 12 考点1 考点2 考点3 考点4 例1判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 x 思考判断函数的奇偶性要注意什么 13 考点1 考点2 考点3 考点4 解 1 函数f x 的定义域为R 关于原点对称 又f x x 3 x x3 x x3 x f x 故函数f x 为奇函数 因为函数定义域不关于原点对称 所以函数为非奇非偶函数 3 函数的定义域为 x x 0 关于原点对称 当x 0时 x0 此时f x x2 x f x x 2 x x2 x x2 x f x 故对于x 0 0 均有f x f x 即函数f x 为奇函数 14 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得判断函数的奇偶性要注意两点 1 定义域关于原点对称 这是函数具有奇偶性的前提 2 判断关系式f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 15 考点1 考点2 考点3 考点4 16 考点1 考点2 考点3 考点4 即f x f x f x 是偶函数 2 函数的定义域为 x x 0 关于原点对称 当x 0时 x0 此时f x x2 2x 1 f x x2 2x 1 f x 故对于x 0 0 均有f x f x 即函数f x 是奇函数 17 考点1 考点2 考点3 考点4 18 考点1 考点2 考点3 考点4 例2 1 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 3x 则函数g x f x x 3的零点所构成的集合为 A 1 3 B 3 1 1 3 4 已知函数g x 是定义在 2 2 上的偶函数 当x 0时 函数g x 递减 若g 1 m g m 求m的取值范围 思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用 答案 19 考点1 考点2 考点3 考点4 20 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得函数奇偶性的应用主要有 利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性研究函数的单调性 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性求最值等 21 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练2 1 已知f x g x 分别是定义在R上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 x2 1 则f 1 g 1 等于 A 3B 1C 1D 3 2 已知函数f x 是定义在R上的偶函数 且在区间 0 上 3 已知偶函数f x 在 0 上递减 f 2 0 若f x 1 0 则x的取值范围是 答案 22 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 由f x 与g x 分别是定义在R上的偶函数和奇函数 知f 1 f 1 g 1 g 1 又f x g x x3 x2 1 故可令x 1 得f 1 g 1 1 3 1 2 1 1 即f 1 g 1 1 故选C 23 考点1 考点2 考点3 考点4 3 f x 是偶函数 f x f x f x f x 1 0可化为f x 1 f 2 又f x 在 0 上单调递减 x 1 2 解得 2 x 1 2 即 1 x 3 4 f x 在 b b 上是奇函数 24 考点1 考点2 考点3 考点4 例3 1 定义在R上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2015 等于 A 335B 336C 1678D 20122 x 3时 f x x 则f 105 5 思考函数的周期性主要的应用是什么 答案 25 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 f x 6 f x 函数f x 的周期T 6 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 f 1 f 2 f 6 1 又f 2016 f 0 0 f 1 f 2 f 3 f 2015 336 26 考点1 考点2 考点3 考点4 函数f x 的周期为4 f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 2 2 5 3 f 2 5 2 5 f 105 5 2 5 解题心得利用函数的周期性 可将其他区间上的求值 求零点个数 求解析式等问题 转化为已知区间上的相应问题进行求解 27 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练3 1 已知f x 是定义在R上的函数 且f x 2 f x 当2 x 3时 f x x 则f 2018 2 已知函数f x 是定义在R上的偶函数 若对于x 0 都有f x 2 且当x 0 2 时 f x log2 x 1 则f 2013 f 2015 答案 28 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 因为f x 2 f x 所以f x 4 f x 2 2 f x 2 f x f x 所以函数f x 的周期为4 所以f 2018 f 4 504 2 f 2 又2 2 3 所以f 2 2 即f 2018 2 所以f x 4 f x 即4是f x x 0 的一个周期 所以f 2013 f 2015 f 2013 f 2015 0 29 考点1 考点2 考点3 考点4 例4 1 已知函数f x 是定义域为R的偶函数 且f x 1 f x 若f x 在 1 0 上是减函数 则f x 在 1 3 上是 A 增函数B 减函数C 先增后减的函数D 先减后增的函数 A 1 B 1 2 C 0 2 D 1 2 思考解有关函数的单调性 奇偶性 周期性综合问题的策略有哪些 答案 30 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 由f x 在 1 0 上是减函数 又f x 是R上的偶函数 故f x 在 0 1 上是增函数 由f x 1 f x 得f x 2 f x 1 1 f x 1 f x 故2是函数f x 的一个周期 结合以上性质 画出f x 的部分草图 如图所示 由图象可以观察出 f x 在 1 2 上为减函数 在 2 3 上为增函数 故选D 31 考点1 考点2 考点3 考点4 32 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 1 函数单调性与奇偶性结合 注意奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 2 周期性与奇偶性结合 此类问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行转换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解 3 周期性 奇偶性与单调性结合 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间 再利用奇偶性和单调性求解 33 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练4 1 已知函数f x 是R上的偶函数 g x 是R上的奇函数 且g x f x 1 若f 2 2 则f 2014 的值为 A 2B 0C 2D 2 答案 34 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 g x f x 1 g x f x 1 又g x f x 1 f x 1 f x 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x 则f x 是以4为周期的周期函数 f 2014 f 2 2 35 考点1 考点2 考点3 考点4 令f x 0 则x2 x 1 1 解得x 1 又函数f x 是定义在R上的奇函数 f 1 5 f 1 5 3 f 1 5 f 1 5 f 1 f 1 f 0 f 1 5 f 1 5 0 又函数f x 是周期为3的周期函数 函数f x 在区间 0 6 上的零点为0 1 1 5 2 3 4 4 5 5 6 共9个 故选D 36 考点1 考点2 考点3 考点4 1 正确理解奇函数和偶函数的定义 必须把握好两个问题 1 定义域关于原点对称 是 函数f x 为奇函数或偶函数 的必要不充分条件 2 f x f x 或f