高考数学 专题辅导与训练 2.2《与数列交汇的综合问题》课件 理 新人教版.ppt

热点考向1数列与方程的综合问题 例1 2011 承德模拟 已知等差数列 an 的公差d 0 对于任意n n 都有an 0 1 求证 对于任意n n 所有方程anx2 2an 1x an 2 0均有一个相同的实数根 2 若a1 d 方程anx2 2an 1x an 2 0的另一个不同的根为an bn 求数列 bn 的通项公式 解题指导 1 解决本题的关键是利用等差数列的性质an an 2 2an 1求解 将an an 2 2an 1移项得到an 2an 1 an 2 0与anx2 2an 1x an 2 0相对应便可得出方程的一个根 问题 2 的解决要利用根与系数的关系 得出数列 bn 的通项公式 规范解答 1 an 是等差数列 an an 2 2an 1 即an 2an 1 an 2 0 n n x 1是所有方程anx2 2an 1x an 2 0的相同的根 2 对于任意的n n 由根与系数的关系得 1 an bn 互动探究 在 2 的条件下 设求 解析 bn 解决与方程有关的数列问题的常用技巧1 熟练掌握等差 等比数列的性质 2 熟练掌握根与系数的关系 有些试题的设计就是通过根与系数的关系来确定递推关系 这里还要熟练把握已知递推公式求通项公式的常见求解方法 3 在判断数列 an 的项数 求公比或公差的取值范围时 我们常将其化为一元二次方程的形式 利用判别式进行求解 设a1 d为实数 首项为a1 公差为d的等差数列 an 的前n项和为sn 满足s5s6 15 0 1 若s5 5 求s6及a1 2 求d的取值范围 解析 1 由题意知s6 3 a6 s6 s5 8 所以解得a1 7 所以s6 3 a1 7 2 因为s5s6 15 0 所以 5a1 10d 6a1 15d 15 0 即2a12 9da1 10d2 1 0 把上式看成关于a1的一元二次方程 因为有根 所以 81d2 8 10d2 1 d2 8 0 解得d 2或d 热点考向2数列与不等式的综合问题 例2 设等比数列 an 的公比为q 前n项和sn 0 n 1 2 1 求q的取值范围 2 设bn an 2 an 1 记 bn 的前n项和为tn 试比较sn与tn的大小 解题指导 设定的数列 an 是满足sn 0的一类等比数列 而不是一个确定的具体数列 提出的两个问题都属于不等式问题 1 的求解可按等价关系建立关于q的不等式 组 解之可得 也可对q分类讨论 再归纳出答案 2 的求解 可用差值法 也可用比值法 规范解答 1 方法一 因为q是等比数列 an 的公比 sn是数列的前n项和 所以q 0 且因此 sn 0 n 1 2 等价于 a1 0且下列条件之一成立 解不等式组 得 q 1 解不等式组 得 1 q 0或0 q 1 综合得q的取值范围为 1 0 0 方法二 根据等比数列的性质 在题设下 必有a1 s1 0 公比q 0 当q 1时 s2 a1 1 q 0 当01时 0 n 1 2 当q 1时 sn na1 0 n 1 2 综合得q的取值范围为 1 0 0 2 方法一 bn an 2 tn sn q2 q tn sn sn q2 q 1 sn q 2 q n 1 2 因为sn 0 q 1且q 0 所以得 对任意正整数n 有 若 12 则tn sn 0 即tn sn 若 q 0或0 q 2 则tn sn 0 即tn sn 若q 或q 2 则tn sn 0 即tn sn 方法二 an a1qn 1 bn a1qn 1 q2 q 1的两根为 和2 依题设sn 0 n 1 2 且由 1 知 10 所以得 对任意正整数n 有 当q 或q 2时 tn sn 当 12时 tn sn 当 q 0或0 q 2时 tn sn 数列不等式的常见题型及解答技巧1 数列不等式恒成立中的参数问题此类问题主要有两种策略 1 若函数f x 的定义域为d 则当x d时 有f x m恒成立 f x min m f x m恒成立 f x max m 2 利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式 组 再通过解不等式 组 解得 2 数列不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法 1 比较法 特别是差值比较法是最根本的方法 2 分析法与综合法 一般是先利用分析法分析 再利用综合法证明 3 放缩法 主要是通过分母分子的扩大或缩小 项数的增加或减少等手段达到证明的目的 3 数列中的最值问题数列中的某些最值问题 有时须结合不等式来解决 其具体解法 第一步建立目标函数 通过不等式确定变量范围 进而求得最值 第二步首先利用不等式判断数列的单调性 然后确定最值 第三步利用条件中的不等关系确定最值 4 数列中的探索性问题此类问题主要表现为存在性 解答的一般策略 先假设所探求对象存在或结论成立 以此假设为前提条件进行运算或推理 若由此推出矛盾 则假设不成立 从而得到 否定 的结论 若推理不出现矛盾 就得到 肯定 的结论 设数列 an 的前n项的和sn n 1 2 3 1 求首项a1与通项an 2 设tn n 1 2 3 证明 解析 1 依题设 得a1 s1 a1 2 当n 2时 an sn sn 1 an an 1 2n 整理得an 2n 4 an 1 2n 1 an 2n 4n 1 a1 2 4n 得通项an 4n 2n n 1 2 3 2 sn 4n 1 3 2n 1 2 2n 1 1 2n 1 热点考向3数列与函数 解析几何的综合问题 例3 12分 2011 陕西高考 如图 从点p1 0 0 作x轴的垂线交曲线y ex于点q1 0 1 曲线在q1点处的切线与x轴交于点p2 再从p2作x轴的垂线交曲线于点q2 依次重复上述过程得到一系列点 p1 q1 p2 q2 pn qn 记pk点的坐标为 xk 0 k 1 2 n 1 试求xk与xk 1的关系 2 k n 2 求 p1q1 p2q2 p3q3 pnqn 解题指导 1 根据函数的导数求切线方程 然后再求切线与x轴的交点坐标 2 尝试求出通项 pnqn 的表达式 然后再求和 规范解答 1 设点pk 1的坐标是 xk 1 0 1分 y ex y ex 2分 qk 1 xk 1 在点qk 1 xk 1 处的切线方程是 4分令y 0 则xk xk 1 1 6分 2 x1 0 xk xk 1 1 xk k 1 8分 pkqk e k 1 于是有 9分 p1q1 p2q2 p3q3 pnqn 1 e 1 e 2 e n 1 11分即 p1q1 p2q2 p3q3 pnqn 12分 数列与函数综合问题求解方法 数列与函数的综合是高考命题的重点与热点 因此在复习数列时应渗透函数思想 充分利用函数的有关知识 以它的概念 图像 性质为纽带 架起函数与数列间的桥梁 揭示它们间的内在联系 从而有效地解决数列问题 常见的题型和解决方法 1 试题背景是函数问题 所给出的函数为函数方程 通过解决函数问题的常用方法即赋值法的灵活运用 把已知函数式转化为等比数列的通项公式 在知识的交互渗透上打开解决问题的突破口 2 试题常以函数图象上的点列为背景 以平面几何的性质为解题切入点 借助函数的单调性和数列的单调性求最值 及确定n的取值 以函数为引入条件 综合考查函数与数列交叉的相关知识 解此类问题应注意从题目的众多条件和求解 求证 中提取相关信息 得出某个确定的数学关系 从而有效地解决问题 已知数列 an 是公差d 0的等差数列 记sn为其前n项和 1 若a2 a3 a6依次成等比数列 求其公比q 2 若a1 1 证明 点p1 1 p2 2 pn n n n 在同一条直线上 并写出此直线方程 3 若a1 1 d 是否存在一个圆 使得点q1 a1 s1 q2 q3 qn n n 都在这个圆内 请说明理由 解析 1 a2 a3 a6成等比数列 2 sn na1 可见 点 n 在直线y 1 上 p1 p2 pn各点都在过点 1 1 且斜率为的直线上 此直线的方程为y 1 x 1 3 当a1 1 d 时 an 1 n 1 对于任何n n 都成立 即点qn n n 都落在以点 为圆心 以1为半径的圆内 热点考向4数列的实际应用 例4 13分 2011 湖南高考 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m m的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初m的价值比上年初减少10万元 从第7年开始 每年初m的价值为上年初的75 1 求第n年初 m的价值an的表达式 2 设an 若an大于80万元 则m继续使用 否则须在第n年初对m更新 证明 须在第9年初对m更新 解题指导 1 根据题目中的条件建立首项为120 公差为 10的等差数列 an 及首项为70 公比为的等比数列 注意对n进行分类说明 解决 2 时要由 1 的结论分别求和列出不等式求解 规范解答 1 当n 6时 数列 an 是首项为120 公差为 10的等差数列 an 120 10 n 1 130 10n 2分当n 6时 数列 an 是以a6为首项 公比为的等比数列 又a6 70 所以an 70 4分因此 第n年初 m的价值an的表达式为 6分 2 设sn表示数列 an 的前n项和 由等差及等比数列的求和公式得当1 n 6时 sn 120n 5n n 1 an 120 5 n 1 125 5n 8分当n 7时 sn s6 a7 a8 an 570 70 4 1 n 6 780 210 n 6 an 10分因为 an 是递减数列 所以 an 是递减数列 又 12分所以须在第9年初对m更新 13分 解数列应用题的方法现实生活中涉及到银行利率 分期付款 企业股金 产品利润 人口增长 工作效率等实际问题 常常考虑用数列知识加以解决 能够把实际问题转化成数列问题 并且能够明确是等差数列还是等比数列 确定首项 公差 比 项数各是什么 能分清是某一项还是某些项的性质是解决问题的关键 其思路框架如下表 一般步骤 审题 建立数学模型 求解 检验 解数列应用题的关键是建立有关等差 等比数列或递推数列的模型 再综合其他知识去解决问题 解题时应明确是求数列的某一项 还是求数列的前n项和 甲 乙两企业 2010年的销售量均为p 2010年为第一年 根据市场分析和预测 甲企业前n年的总销量为 n2 n 2 乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多 1 求甲 乙两企业第n年的销售量的表达式 2 根据甲 乙两企业所在地的市场规律 如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的20 则该企业将被另一企业收购 试判断 哪一企业将被收购 这个情形将在哪一年出现 试说明理由 解析 1 设甲企业前n年的总销售量为sn 第n年的销售量为an 乙企业第n年的销售量bn 根据题意 得sn n2 n 2 bn bn 1 n 2 a1 s2 s1 p 当n 2时 an sn sn 1 p n 1 bn b1 b2 b1 b3 b2 bn bn 1 bn p 2 an p p bn 2p an 故甲企业不可能被乙企业收购 当n 1时 a1 b1 p 乙企业不可能被甲企业收购 当n 2时 令 n 11 则当n 2 3时 经验证n 11 当4 n 10且n n 时 有11 10 n 11 当n 11且n n 时 11 11 所以必有n 11 故当n 11时 即2020年乙企业可能被甲企业收购 函数思想 解决数列中的综合问题1 用函数的图象解决数列问题此类问题即数形结合的数学思想方法 等差数列的通项公式是关于n的一次函数 所以其图象是直线上的离散点 前n项和是关于n的二次函数 且常数项为0 所以其图象是抛物线上的离散点 等比数列的通项公式及前n项和公式的结构都类似于指数函数 所以其图象是指数型函数图象上的离散点 在解题过程中利用这些点会使问题简单化 2 用函数性质解决数列问题周期性 单调性和最值是函数的重要性质 利用函数的性质分析和解决数列问题可以大大简化解题过程 收到较好的解题效果 3 通过函数变换转化为数列问题用函数的观点研究数列的相互关系 可以将非等差 非等比的数列问题转化为等差 等比数列问题 进而使问题简单化 典例 2011 张家口模拟 已知数列 an 的前n项和为sn 设an是sn与2的等差中项 数列 bn 中b1 1 点p bn bn 1 在直线y x 2上 1 求an bn 2 令tn 是否存在正整数m 使得tn m 对一切正整数n都成立 若存在 求出m的最小值 若不存在 请说明理由 解题指导 要使tn m对一切正整数n都成立 只要tn的最大值 m即可 解决本题层层递进 先求出