高中数学 第3章3.1.1数系的扩充和复数的概念课件 新人教选修1

3 1数系的扩充和复数的概念3 1 1数系的扩充和复数的概念 学习目标1 了解引入虚数单位i的必要性 了解数系的扩充过程 2 了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念 3 掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件 知能优化训练 课前自主学案 3 1 1数系的扩充和复数的概念 课堂互动讲练 课前自主学案 0 1 复数的有关概念 1 复数 定义 形如a bi的数叫做复数 其中a b是 i叫做 a叫做复数的 b叫做复数的 表示方法 复数通常用z表示 即z 虚数单位 实部 虚部 实数 a bi a b R 2 复数集 定义 由 所构成的集合叫做复数集 表示 通常用大写字母 表示 2 复数的分类及包含关系 实数 虚数 a 0 a 0 全体复数 C 3 复数相等的充要条件设a b c d都是实数 则a bi c di a bi 0 a c b d a b 0 1 复数m ni的实部是m 虚部是n吗 提示 不一定 只有当m n R时 m才是实部 n才是虚部 2 复数就是虚数吗 提示 复数与虚数不是同一个概念 现在所见的所有数都是复数 它包括实数和虚数两大部分 3 两个复数能否比较大小 提示 对于复数z a bi a b R 当b 0时能比较大小 当b 0时 不能比较大小 即两个不全是实数的复数不能比较大小 课堂互动讲练 规定i与实数可以进行四则运算 在进行运算时 原有的加 乘运算律仍然成立 即与原数集不矛盾 判断下列说法是否正确 1 当z C时 z2 0 2 若a R 则 a 1 i是纯虚数 3 若a b 则a i b i 4 若x y C 则x yi 1 i的充要条件是x y 1 思路点拨 根据复数的概念可以判定 解 1 错误 当且仅当z R时 z2 0成立 若z i 则z2 1 0 2 错误 当a 1时 a 1 i 1 1 i 0 i 0 R 3 错误 两个虚数不能比较大小 4 错误 当且仅当x y R时 x y才是x yi的实部和虚部 此时x yi 1 i的充要条件才是x y 1 思维总结 数集从实数集扩充到复数集后 某些结论不再成立 如 两数大小的比较 某数的平方是非负数等 变式训练1下列命题 若 x2 1 x2 3x 2 i是纯虚数 则x 1 若实数a与ai对应 则实数集与纯虚数集一一对应 纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 其中真命题的个数是 故由此分析可知各命题的真假 在 中 若x 1 则不成立 若a 0 则ai不是纯虚数 由纯虚数集 虚数集 复数集之间的关系知 所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集 答案 0 复数z a bi a b R 根据a b的取值可分为实数 虚数及纯虚数 思维总结 利用复数的代数形式进行分类时 主要依据是实部 虚部应满足的条件 求参数时 可据此列出方程组求解 必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等 虚部与虚部相等列方程组 已知x y均是实数 且满足 2x 1 i y 3 y i 求x与y 思路点拨 两个复数相等时 应分清两复数的实部与虚部 然后让其实部与实部相等 虚部与虚部相等 思维总结 一般根据复数相等的充要条件 可由一个复数等式得到实数等式组成的方程组 从而可确定两个独立参数 本题就是利用这一重要思想 化复数问题为实数问题得以解决 互动探究3若本例条件变为x y R 且满足 2x t i y t y i 求点 x y 满足的轨迹 方法技巧1 利用复数的代数形式对复数分类时 关键是根据分类标准列出实部 虚部应满足的关系式 等式或不等式 组 求解参数时 注意考虑问题要全面 2 两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等 要先确定是否为代数形式 确定实部 虚部后再应用 3 把 复数相等 这一条件转化为两个实数等式 为应用方程思想提供了条件 同时这也是复数问题实数化思想的体现 这一思想在解决复数问题中非常重要