高中数学 第2章2.3.2离散型随机变量的方差精品课件 新人教A选修2

2 3 2离散型随机变量的方差 学习目标1 理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念 2 能计算简单离散型随机变量的方差 并能解决一些实际问题 3 掌握方差的性质 以及两点分布 二项分布的方差的求法 会利用公式求它们的方差 课堂互动讲练 知能优化训练 2 3 2 课前自主学案 课前自主学案 1 若离散型随机变量X的分布列为 E X 它反映了离散型随机变量取值的 水平 2 若X B n p 则E X 3 样本数据的方差 标准差公式 x1p1 x2p2 xipi xnpn 平均 np 方差 标准差 2 公式 D aX b 3 若X服从两点分布 则D X 若X服从二项分布 即X B n p 则D X a2D X p 1 p np 1 p 1 随机变量的方差与样本的方差有何不同 提示 样本的方差是随着样本的不同而变化的 因此它是一个随机变量 而随机变量的方差是通过大量试验得出的 刻画了随机变量X与其均值E X 的平均偏离程度 因此它是一个常量而非变量 2 方差 标准差的单位与随机变量的单位有什么关系 提示 方差的单位是随机变量单位的平方 标准差与随机变量本身有相同的单位 课堂互动讲练 根据离散型随机变量的分布列 期望 方差公式求解 已知X的分布列为 1 求E X D X X 2 设Y 2X 3 求E Y D Y 思路点拨 根据均值 方差 标准差的定义解题 误区警示 在 xi E X 2pi中 极易把 xi E X 2的平方漏掉 变式训练1已知随机变量 的分布列为 且已知E 2 D 0 5 求 1 p1 p2 p3 2 P 1 2 确定是两点分布和二项分布后 直接用公式求解 某人投弹命中目标的概率为p 0 8 1 求投弹一次 命中次数X的均值和方差 2 求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差 思路点拨 投弹一次命中次数X服从两点分布 而重复10次投弹可以认为是10次独立重复试验 命中次数Y服从二项分布 解 1 X的分布列为 E X 0 0 2 1 0 8 0 8 D X 0 0 8 2 0 2 1 0 8 2 0 8 0 16 2 由题意知 命中次数Y服从二项分布 即Y B 10 0 8 E Y np 10 0 8 8 D Y 10 0 8 0 2 1 6 1 求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率 2 求这支篮球队在6场比赛中胜场数 的期望和方差 数学期望反映随机变量取值的平均水平 方差则反映随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 为了迎战山东省下届运动会 某市对甲 乙两名射手进行一次选拔赛 已知甲 乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环 且甲射中10 9 8 7环的概率分别为0 5 3a a 0 1 乙射中10 9 8环的概率分别为0 3 0 3 0 2 1 求 的分布列 2 求 的均值与方差 并以此比较甲 乙的射击技术 思路点拨 利用分布列的概率和为1 求出a 然后分别列出 的分布列 结合分布列分别求出E E D D 解 1 依据题意 0 5 3a a 0 1 1 解得a 0 1 乙射中10 9 8环的概率分别为0 3 0 3 0 2 乙射中7环的概率为1 0 3 0 3 0 2 0 2 的分布列分别为 2 结合 1 中 的分布列可得 E 10 0 5 9 0 3 8 0 1 7 0 1 9 2 E 10 0 3 9 0 3 8 0 2 7 0 2 8 7 D 10 9 2 2 0 5 9 9 2 2 0 3 8 9 2 2 0 1 7 9 2 2 0 1 0 96 D 10 8 7 2 0 3 9 8 7 2 0 3 8 8 7 2 0 2 7 8 7 2 0 2 1 21 由于E E 说明甲平均射中的环数比乙高 又 D D 说明甲射中的环数比乙集中 比较稳定 方法技巧1 求离散型随机变量方差的步骤 1 理解X的意义 写出X的所有可能的取值 2 求X取每一个值的概率 3 写出随机变量X的分布列 4 由方差的定义求E X D X 特别地 若随机变量服从两点分布或二项分布 可根据公式直接计算D X 如例1 例22 均值仅体现了随机变量取值的平均水平 如果两个随机变量的均值相等 还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化 方差大说明随机变量取值较分散 方差小 说明取值较集中 如例3 失误防范1 注