2015年北京八中怡海分校八年级下期中数学试卷含答案解析.doc

2014-2015学年北京八中怡海分校八年级（下）期中数学试卷一、精心选一选（每小题3分，共24分）1已知x=2是一元二次方程x2+mx8=0的一个解，则m的值是（）A2B2C4D2或42将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（）A（x+4）2=2B（x+2）2=2C（x+4）2=3D（x+2）2=53直角三角形两边长分别是3、4，第三边是（）A5BC5或D无法确定4四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）AAB=CDBAC=BDCAB=BCDACBD5下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（）Aa=3，b=4，c=5Ba=5，b=12，c=13Ca=1，b=3，c=Da=，b=，c=6若关于x的方程（m2）x22x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm3且m2Dm3且m27如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A线段EF的长逐渐增大B线段EF的长逐渐减少C线段EF的长不变D线段EF的长与点P的位置有关8如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，对角线交于点O，连结AO，如果AB=4，AO=4，那么AC的长等于（）A12B16C4D8二、细心填一填（每空2分，共24分）9方程x2=2x的解是10如图，等边BCP在正方形ABCD内，则APD=度11矩形的两条对角线所夹的锐角为60，较短的边长为12，则对角线长为12若关于x的方程x22xm=0有一个实数根为x=3，则方程的另一个根为；m的值为13菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的周长为cm，面积为cm214如图，正方形网格的边长为1，点A，B，C在网格的格点上，点P为BC的中点，则AP=15如图，已知正方形ABCD的边长为，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，且AE=DF=CG=BH，则四边形EFGH的形状为，它的面积的最小值为16如图，ADBC，ABBC，动点E从点A开始沿AD运动，动点F从点B开始沿BC运动，AM=10cm，BN=8cm（1）若动点E的速度为2cm/s，动点F的速度为1cm/s时，当运动时间为秒时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形；（2）若AB=4cm，当点E、F的运动速度比=时，在某一时刻，四边形EMFN为菱形三、作图题（3分）17现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请在图1中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图2中拼接成一个正方形（标上相应的序号）四、耐心算一算（每小题4分，共16分）18用配方法解方程：2x2+2x1=019用适当的方法解关于x的一元二次方程：（1）x（3x+4）=2（公式法） （2）（2x+1）23（2x+1）+2=0（3）mx2（4m1）x+3m1=0（m0）五、解答与证明（共33分）20已知：如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF求证：四边形BFDE是平行四边形21已知：如图，四边形ABCD中，ABBC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积22如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知AB=8cm，BC=10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC23已知：关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值24如图，已知在ABC中，DEBC交AC于点E，交AB于点D，DE=BC求证：D、E分别是AB、AC的中点25如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG（1）求证：BE=DG，BEDG；（2）连接BD、EG、DE，点M、N、P分别是BD、EG、DE的中点，连接MP，PN，MN，求证：MPN是等腰直角三角形；（3）若AB=4，EF=2，DAE=45，直接写出MN=26如图，在正方形ABCD外侧作直线DQ，点C关于直线DQ的对称点为P，连接DP、AP，AP交直线DQ于点F，交BD于点E（1）依题意补全图形；（2）若QDC=25，求DPA的度数；（3）探究线段AE、EF、FP的等量关系并加以证明六、附加题：思维拓展（本题6分，计入总分）27已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B（1）求BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由2014-2015学年北京八中怡海分校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（每小题3分，共24分）1已知x=2是一元二次方程x2+mx8=0的一个解，则m的值是（）A2B2C4D2或4【考点】一元二次方程的解【专题】计算题【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可【解答】解：x=2是一元二次方程x2+mx8=0的一个解，22+2m8=0，m=2故选A【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根2将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（）A（x+4）2=2B（x+2）2=2C（x+4）2=3D（x+2）2=5【考点】解一元二次方程-配方法【专题】计算题【分析】方程常数项移到右边，两边加上2变形即可得到结果【解答】解：将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（x+2）2=2故选B【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键3直角三角形两边长分别是3、4，第三边是（）A5BC5或D无法确定【考点】勾股定理【分析】此题要考虑两种情况：当第三边是斜边时；当第三边是直角边时【解答】解：当第三边是斜边时，则第三边=5；当第三边是直角边时，则第三边=故选C【点评】熟练运用勾股定理，注意此题的两种情况4四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）AAB=CDBAC=BDCAB=BCDACBD【考点】矩形的判定【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论【解答】解：需要添加的条件是AC=BD；理由如下：四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键5下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（）Aa=3，b=4，c=5Ba=5，b=12，c=13Ca=1，b=3，c=Da=，b=，c=【考点】勾股定理的逆定理【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形【解答】解：A、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、12+32=（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、（）2+（）2（）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形故选D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断6若关于x的方程（m2）x22x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm3且m2Dm3且m2【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【专题】计算题【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m20且=（2）24（m2）0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可【解答】解：根据题意得m20且=（2）24（m2）0，解得m3且m2故选C【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义7如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A线段EF的长逐渐增大B线段EF的长逐渐减少C线段EF的长不变D线段EF的长与点P的位置有关【考点】三角形中位线定理【专题】压轴题【分析】因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变故选C【点评】主要考查中位线定理在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变8如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，对角线交于点O，连结AO，如果AB=4，AO=4，那么AC的长等于（）A12B16C4D8【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】在AC上截取CG=AB=4，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出ABO=ACO，证BAOCGO，推出OA=OG=4，AOB=COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC【解答】解：在AC上截取CG=AB=4，连接OG，四边形BCEF是正方形，BAC=90，OB=OC，BAC=BOC=90，B、A、O、C四点共圆，ABO=ACO，在BAO和CGO中，BAOCGO（SAS），OA=OG=4，AOB=COG，BOC=COG+BOG=90，AOG=AOB+BOG=90，即AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG=8，即AC=AG+CG=8+4=12故选A【点评】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键二、细心填一填（每空2分，共24分）9方程x2=2x的解是x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法【专题】计算题【分析】先移项得到x22x=0，再把方程左边进行因式分解得到x（x2）=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x2=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=2【解答】解：x22x=0，x（x2）=0，x=0或x2=0，x1=0，x2=2故答案为x1=0，x2=2【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解10如图，等边BCP在正方形ABCD内，则APD=150度【考点】正方形的性质；等边三角形的性质【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出AB=BP=CP=CD，ABP=DCP=30，由三角形内角和定理求出BAP=BPA=CDP=CPD=75，再求出PAD=PDA=15，然后由三角形内角和定理求出APD即可【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，BAD=ABC=BCD=CDA=90，BCP是等边三角形，BP=CP=BC，PBC=BCP=BPC=60，AB=BP=CP=CD，ABP=DCP=9060=30，BAP=BPA=CDP=CPD=（18030）=75，PAD=PDA=9075=15，APD=1801515=150；故答案为：150【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键11矩形的两条对角线所夹的锐角为60，较短的边长为12，则对角线长为24【考点】矩形的性质【分析】由矩形的性质得出OA=OB，证明AOB是等边三角形，得出OA=OB=AB=12，即可得出对角线的长【解答】解：如图所示：四边形ABCD是矩形，OA=AC，OB=BD，AC=BD，OA=OB，AOB=60，AOB是等边三角形，OA=OB=AB=12，AC=BD=24故答案为：24【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键12若关于x的方程x22xm=0有一个实数根为x=3，则方程的另一个根为1；m的值为3【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解【分析】根据两根之和为，两根之积为，求解即可【解答】解：设方程的另一个根为a，则a+3=2，3a=m，解得：a=1，m=3故答案为：1，3【点评】本题考查了根与系数的关系，解答本题的关键是掌握两根之和为，两根之积为13菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的周长为20cm，面积为24cm2【考点】菱形的性质【分析】由菱形对角线互相垂直平分，可得ACBD，BO=4cm，AO=3cm，然后由勾股定理求得边长，进而可求出其周长；再由菱形的面积=对角线乘积的一半则可求出其面积【解答】解：四边形ABCD是菱形，ACBD，BO=OD=BD=8=4（cm），AO=OC=AC=6=3（cm），AB=5（cm），菱形的周长为20cm；菱形的面积=86=24cm2，故答案为：20，24【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分以及数据菱形的面积公式：对角线乘积的一半14如图，正方形网格的边长为1，点A，B，C在网格的格点上，点P为BC的中点，则AP=【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理【分析】首先根据网格计算出AC2=12+32=10，AB2=22+62=40，CB2=12+72=50，进而可得CAB=90，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案【解答】解：AC2=12+32=10，AB2=22+62=40，CB2=12+72=50，10+40=50，AC2+AB2=CB2，CAB=90，点P为BC的中点，AP=BC=故答案为：【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形15如图，已知正方形ABCD的边长为，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，且AE=DF=CG=BH，则四边形EFGH的形状为正方形，它的面积的最小值为【考点】正方形的判定与性质；二次函数的最值【分析】先证明AEHDFECGFBHG，从而得到HE=EF=FG=HG，然后证明EFGH四边形有一个角是直角，从而可判断出四边形EFGH的形状，设AE=x，则AH=（x），依据正方形的面积公式以及勾股定理可得到四边形EFGH的面积与x的函数关系式，依据二次函数的性质求得二次函数的最小值即可【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，A=B=C=DAE=DF=CG=BH，AH=ED=FG=BG在AEH、DFE、CGF、BHG中，AEHDFECGFBHGHE=EF=FG=HG四边形EFGH是菱形AEHDFE，AEH=DFEAHE+AEH=90，DEF+AEH=90HEF=90EHGF为正方形设AE=x，则AH=（x）正方形EFHG的面积=HE2=AE2+AH2=x2+（x）2=2x22x+5，当x=时，正方形的面积有最小值正方形EFHG的面积的最小值=（）2+（）2=故答案为：正方形；【点评】本题主要考查的正方形的判定与性质、二次函数的最值，全等三角形的判定和性质、正方形的面积公式、勾股定理等知识，列出四边形EFGH的面积与x的函数关系式是解题的关键16如图，ADBC，ABBC，动点E从点A开始沿AD运动，动点F从点B开始沿BC运动，AM=10cm，BN=8cm（1）若动点E的速度为2cm/s，动点F的速度为1cm/s时，当运动时间为2或6秒时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形；（2）若AB=4cm，当点E、F的运动速度比=时，在某一时刻，四边形EMFN为菱形【考点】菱形的判定；平行四边形的判定【专题】动点型【分析】（1）当EM=FN时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形，分类讨论：当点E，F在MN的左侧时，EM=102t，FN=8t，则102t=8t；当点F在MN的左侧时，点E在MN的右侧时，EM=2t10，FN=8t，则2t10=8t，然后分别解方程即可得到对应的t的值；（2）作MN的垂直平分线交AD于M，交BC于N，交MN于O点，作MQBC于Q，如图，先证明OMEONF得到EM=FN，则可判断四边形MENF为平行四边形，加上MNEF，则四边形MENF为菱形，接着在RtMNQ中利用勾股定理计算出MN=2，通过RtOEMRtQMN，利用相似比可计算出EM=5，则NF=5，于是得到AE=AMEM=5，BQ=BN+NF=13，然后得到点E和点F的速度比【解答】解：（1）ADBC，EMFN，当EM=FN时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形，当点E，F在MN的左侧时，AM=10cm，BN=8cmEM=102t，FN=8t，102t=8t，解得：t=2，当点F在MN的左侧时，点E在MN的右侧时，AM=10cm，BN=8cmEM=2t10，FN=8t，2t10=8t，解得：t=6，综上所述：当t=2s或6s时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形；（2）作MN的垂直平分线交AD于M，交BC于N，交MN于O点，作MQBC于Q，如图，ADBC，OEM=OFN，OME=ONF，在OME和ONF中，OMEONF，EM=FN，而EMFN，四边形MENF为平行四边形，MNEF，四边形MENF为菱形，在RtMNQ中，MQ=AB=4，NQ=BQBN=AMBN=108=2，MN=2，OM=，NMQ=OEM，RtOEMRtQMN，=，即=，解得EM=5，NF=5，AE=AMEM=5，BQ=BN+NF=13，=故答案为：2或6；【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）也考查了相似三角形的判定与性质三、作图题（3分）17现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请在图1中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图2中拼接成一个正方形（标上相应的序号）【考点】作图应用与设计作图【分析】利用正方形的性质可得出其边长，进而得出符合题意的答案【解答】解：如图所示：【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键四、耐心算一算（每小题4分，共16分）18用配方法解方程：2x2+2x1=0【考点】解一元二次方程-配方法【专题】计算题【分析】方程整理后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解【解答】解：方程变形得：x2+x=，配方得：x2+x+=，即（x+）2=，开方得：x+=，解得：x1=+，x2=【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键19用适当的方法解关于x的一元二次方程：（1）x（3x+4）=2（公式法） （2）（2x+1）23（2x+1）+2=0（3）mx2（4m1）x+3m1=0（m0）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法【专题】计算题【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程【解答】解：（1）3x2+4x2=0=4243（2）=40，x=所以x1=，x2=；（2）（2x+11（2x+12=0，2x+11=0或2x+12=0，所以x1=0，x2=；（3）mx（3m1）（x1）=0，mx（3m1）=0或x1=0，所以x1=，x2=1【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）也考查了公式法解一元二次方程五、解答与证明（共33分）20已知：如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF求证：四边形BFDE是平行四边形【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之【解答】证明：连接BD，交AC于O，四边形ABCD是平行四边形，OB=OD，OA=OC，AE=CF，OAAE=OCCF，OE=OF，四边形BFDE是平行四边形【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况21已知：如图，四边形ABCD中，ABBC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可【解答】解：连接ACABC=90，AB=1，BC=2，AC=，在ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，ACD是直角三角形，S四边形ABCD=ABBC+ACCD，=12+2，=1+故四边形ABCD的面积为1+【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出ACD的形状是解答此题的关键22如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知AB=8cm，BC=10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】由翻折的性质可知AF=AD=10，由勾股定理可先求得BF的长，然后在FEC中，依据勾股定理、翻折的性质进行求解即可【解答】解四边形ABCD为矩形，AD=BC=10，CD=AB=8B=C=90由翻折的性质可知；AF=AD=10，EF=ED设EC=x，则EF=8x在RtABF中，BF=6FC=4在RtEFC中，EF2=FC2+EC2，（8x）2=16+x2解得：x=3EC=3【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键23已知：关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元二次方程-因式分解法【分析】（1）分类讨论m=0和m0两种情况下方程根的个数；（2）把mx2+（3m+1）x+3=0因式分解得到x1=，x2=3，根据题意可知是整数，据此求出正整数m的值【解答】（1）证明：当m=0时，x=3，当m0时，b24ac=（3m1）20，所以 该一元二次方程有两个实根，综上不论m为何实数，此方程总有实数根；（2）解：mx2+（3m+1）x+3=0，（mx+1）（x+3）=0，x1=，x2=3，方程有两个不同的整数根，且m为正整数，m=1【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根24如图，已知在ABC中，DEBC交AC于点E，交AB于点D，DE=BC求证：D、E分别是AB、AC的中点【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】如图，作BFAC交ED的延长线于点F，构建平行四边形BCEF，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定定理AAS得到ADEBDF，则该全等三角形的 对应边相等：AD=BD，AE=BF=EC，即证得结论【解答】证明：作BFAC交ED的延长线于点F，DEBC，四边形BCEF是平行四边形，BC=EF=2ED，ACBF，EC=BF，ED=DF，A=DBF，在ADE与BDF中，ADEBDF（AAS）AD=BD，AE=BF=EC，即D、E分别是AB、AC的中点【点评】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质注意：本题中辅助线的作法，通过作辅助线构建全等三角形是解题的难点25如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG（1）求证：BE=DG，BEDG；（2）连接BD、EG、DE，点M、N、P分别是BD、EG、DE的中点，连接MP，PN，MN，求证：MPN是等腰直角三角形；（3）若AB=4，EF=2，DAE=45，直接写出MN=2【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；正方形的性质【分析】（1）根据SAS证明BEA与DAG全等，再利用全等三角形的性质证明即可；（2）利用三角形中位线定理证得MPN是等腰直角三角形；（3）过点G作GH垂直于DA的延长线于点H，利用勾股定理得出DG，进一步得出PN，利用勾股定理得出结果【解答】（1）证明：正方形ABCD和正方形AEFG，AB=AD，AE=AG，BAD=EAG=90，BAD+DAE=EAG+DAE，BAE=DAG，在BEA与DAG中，BEADAG（SAS），BE=DG，ADG=ABE，BOD=BAD=90，BEDG；（2）证明：如图，由三角形中位线定理可得：MPBE，MP=BE，PNDG，PN=DG，PM=PN，MPN=BOD=90，即MPN是等腰直角三角形；（3）解：如图，过点G作GH垂直于DA的延长线于点H，DAE=45，EAG=90，HAG=45，EF=2，AH=HG=2，AB=4，DH=6，DG=2，NP=MP=，MN=2【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，结合图形和数据，灵活作出辅助线解决问题26如图，在正方形ABCD外侧作直线DQ，点C关于直线DQ的对称点为P，连接DP、AP，AP交直线DQ于点F，交BD于点E（1）依题意补全图形；（2）若QDC=25，求DPA的度数；（3）探究线段AE、EF、FP的等量关系并加以证明【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理【分析】（1）根据题意直接画出图形得出即可；（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；（3）由轴对称的性质可得：EC=EA，FC=FP，DPA=DAP=DCF，进而利用勾股定理得出答案【解答】解：（1）如图1所示：（2）QDP=QDC=25，DP=DC=AD，四边形ABCD是正方形，BAD=90，QDP=QDC=25，PDA=140，DPA=20；（3）AE2=EF2+FP2，DAEDCE，DFPDFC，可得：EC=E