2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学案新人教B版.docx

2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法(重点、难点)3.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质.1.通过由方程研究曲线的性质，培养学生直观想象素养.2.借助由曲线求它的方程，提升学生逻辑推理、数学运算素养.1解析几何研究的主要问题(1)由曲线求它的方程(2)利用方程研究曲线的性质2求曲线的方程的步骤思考：求曲线方程的步骤是否可以省略提示可以省略如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“证明”，如有特殊情况，可以适当说明1已知等腰三角形ABC底边两端点是A(，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是()A一条直线B一条直线去掉一点C一个点 D两个点BC的轨迹是线段AB的垂直平分线去掉AB的中点2已知点A(2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则ABC底边AB的中线的方程是()Ax0 Bx0(0y3)Cy0 Dy0(0x2)答案B3平面上有三点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_y28x(x0)，由得2x0，即y28x(x0)由方程研究曲线的性质【例1】写出方程y24x40的曲线的主要性质解(1)曲线变化情况：y24x40，得x1，y可取一切实数，x逐渐增大时，|y|无限增大曲线在直线x1的右侧，向上向下无限伸展(2)对称性：用y代y方程不变，故曲线关于x轴对称(3)截距：令y0，得x1；令x0得y2，曲线的横截距为1，纵截距为2.(4)画方程的曲线： 列表： x10123y022.833.464描点作图如图所示利用方程研究曲线性质的一般过程1画出到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹图形解到两坐标轴距离之差等于1的点(x，y)，满足的方程是|x|y|1，其中以x代x，或y代y，方程都不变，所以方程的曲线关于坐标轴对称，同时也关于原点对称，需画出x0，y0的图形后，利用对称性完成画图，如图.直接法求曲线方程【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程思路探究由条件可知动点满足的关系已确定，只需坐标化再化简即得方程解如图所示，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M(x，y)是曲线上任意一点，作MBx轴，垂足为B，那么点M属于集合PM|MF|MB|2由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为y2，将式移项后两边平方，得x2(y2)2(y2)2，化简得yx2.因为曲线在x轴的上方，所以y0.虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是yx2(x0)直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成x，y的形式F(x，y)0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少2一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍求动点P的轨迹方程解设P(x，y)，则|8x|2|PA|.则|8x|2，化简，得3x24y248，故动点P的轨迹方程为3x24y248.代入法求曲线的方程探究问题1为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？提示只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题2常见的建系原则有哪些？提示(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系3求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？提示在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”【例3】动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程思路探究所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得解设P(x，y)，M(x0，y0)，P为MB的中点即又M在曲线x2y21上，(2x3)24y21，P点的轨迹方程为(2x3)24y21.1(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“2”，求P点的轨迹方程解设P(x，y)，M(x0，y0)，则(xx0，yy0)，(3x，y)，由2得即又M在曲线x2y21上，(3x6)29y21，点P的轨迹方程为(3x6)29y21.2(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3,0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程解设P(x，y)，M(x0，y0)，M为PB的中点又M在曲线x2y21上，221，即(x3)2y24，P点轨迹方程为(x3)2y24.代入法求解曲线方程的步骤设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；利用条件求出两动点坐标之间的关系代入相关动点的轨迹方程；化简、整理，得所求轨迹方程其步骤可总结为“一设二找三代四整理”1思考辨析(1)依据一个给定的平面图形，选取的坐标系是唯一的()(2)求轨迹就是求轨迹方程()(3)到两坐标轴距离之和为a(a0)的点M的轨迹方程为|x|y|a.()提示(1)不唯一常以得到的曲线方程最简单为标准(2)求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形(3)2在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是()Ax2y24Bx2y24(x0)Cy Dy(0x2)D排除法，第四象限内满足x0，y0.故选D.3已知动点P在曲线2x2y0上移动，则点A(0，1)与点P连线中点的轨迹方程是 ()Ay2x2 By8x2C2y8x21 D2y8x21C设AP中点为(x，y)，则P(2x,2y1)在2x2y0上，即2(2x)2(2