2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程学案新人教B版必修2.docx

2.3.1圆的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征(重点)2能根据所给条件求圆的标准方程(重点)3掌握点与圆的位置关系(重点)4圆的标准方程的求解(难点)1通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养2借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养.1圆的标准方程(1)以C(a，b)为圆心，r(r0)为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2y2r2.2点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系drdrdr思考：若点P(x0，y0)在圆C：(xa)2(yb)2上，需要满足(x0a)2(y0b)2r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？提示若点P在圆C内，则有(x0a)2(y0b)2r2.若点P在圆C外，则有(x0a)2(y0b)2r2.1已知圆的方程是(x2)2(y3)24，则点P(3,2)()A是圆心B在圆上C在圆内 D在圆外C圆心M(2,3)，半径r2，|PM|r，点P在圆内2点P(m,5)与圆x2y216的位置关系是()A在圆外B在圆内C在圆上D不确定A圆心为(0,0)，半径r4，P到圆心的距离d4，所以P在圆外3圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是()A(2,3)，1B(2，3)，3C(2,3)，D(2，3)，D由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，3)，半径为.4经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是_(x2)2y24圆心是(2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x2)2y24.直接法求圆的标准方程【例1】(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21(2)已知一圆的圆心为点(2，3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是()A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252D(x2)2(y3)252思路探究(1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程(1)A(2)A(1)设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2.故圆的方程为x2(y2)21.(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，3)，所以a4，b6，所以圆的半径r，从而所求圆的方程是(x2)2(y3)213.1确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程2确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等提醒：当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系1以点A(5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A(x5)2(y4)225B(x5)2(y4)216C(x5)2(y4)216D(x5)2(y4)225C因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x5)2(y4)216.待定系数法求圆的标准方程【例2】求圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的标准方程思路探究解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径解法一：设点C为圆心，点C在直线：x2y30上，可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a2.圆心坐标为C(1，2)，半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.法二：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由条件知解得故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.法三：线段AB的中点为(0，4)，kAB，所以弦AB的垂直平分线的斜率k2，所以线段AB的垂直平分线的方程为：y42x，即y2x4.故圆心是直线y2x4与直线x2y30的交点，由得即圆心为(1，2)，圆的半径为r，所以所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.1待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程(xa)2(yb)2r2)列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)解方程组(解方程组，求出a、b、r)得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)2充分利用圆的几何性质，可使问题计算简单2求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，2)的圆的标准方程解法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)则解得所以所求圆的方程为(x4)2y25.法二：因为圆过A(5,2)，B(3，2)两点，所以圆心一定在线段AB的中垂线上AB中垂线的方程为y(x4)，令y0，得x4.即圆心坐标为C(4,0)，所以r|CA|.所以所求圆的方程为(x4)2y25.与圆有关的最值问题探究问题1若P(x，y)为圆C(x1)2y2上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值提示原点到圆心C(1,0)的距离d1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1.2若P(x，y)是圆C(x3)2y24上任意一点，请求出P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值提示P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线xy10的距离d2，所以点P到直线xy10的距离的最大值为22，最小值为22.【例3】已知实数x，y满足方程(x2)2y23.求的最大值和最小值思路探究的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得解原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设k，即ykx，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.1在本例条件下，求yx的最大值和最小值解设yxb，即yxb，当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.2在本例条件下，求x2y2的最大值和最小值解x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：1形如u形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题2形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线yx截距的最值问题3形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题1本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系难点是根据所给条件求圆的标准方程2本节课要重点掌握的规律方法(1)直接法求圆的标准方程，(2)待定系数法求圆的标准方程，(3)求与圆有关的最值的方法3本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定()(2)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆()(3)圆(x2)2(y3)29的圆心坐标是(2,3)，半径是9.()答案(1)(2)(3)提示(1)正确确定圆的几何要素就是圆心和半径(2)错误当m0时，不表示圆(3)错误圆(x2)2(y3)29的圆心为(2，3)，半径为3.2圆(x3)2(y2)213的周长是()AB2C2D2B因为圆的半径为，所以圆的周长为2.3点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，则a的取值范围是()A1a1B0a1C1aDa1D因为(2a，a1)在圆x2(y