（试题 试卷 真题）第5讲 数列的综合应用

第5讲 数列的综合应用一、考纲要求1掌握数列性质的应用；2、掌握等比数列的应用（增长率、贷款等）；3、掌握等差数列、等比数列的综合应用二、基础过关1（2004年全国）等差数列中，则此数列前20项和等于（ ）A160 B C200 D2202等差数列的前n项和记为，若为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）A B C D3一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a元/m2，再根据楼层的不同上下浮动一层的价格为（a-d）元/m2，二层的价格为，三层的价格为，第层（）的价格为，其中，则该商品房的各层房的各层房价的平均值是（ ）A BC D4已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为 5（2001年上海）设数列的通项为（），则 6若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列是等比数列，且，则有 也是等比数列三、典型例题例1 （2002年河南广东广西）设为等差数列，为等比数列，分别求出及的前10项的和例2 设数列的首项，前n项和满足关系式：（1）求证:数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，求数列的通项；（3）求和：例3 假设A型汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2001年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证在2006年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元?（2）某人在2001年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为18%（五年内不变)，且每年按复利计算(例如，第一年的利息计入第二年的本金)，那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按(1)中所述降价后的B型汽车?例4 已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为（）求证：点的纵坐标是定值；（）若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；（）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围四、 热身演练1 1（2003年北京）在等差数列中，已知，那么等于（ ）A4 B C6 D72(1993年全国卷)在各项均为正数的等比数列中，若，则+（ ）A12 B C8D2log353（2001年全国）设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A1 B C4 D64已知1是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是( ) A1或 B1或 C1或 D1或5根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量（万件）近似地满足，按此预测在本年度内，需求量超过15万件的月份是( ) A5月、6月 B6月、7月 C7月、8月 D8月、9月6（2002年北京）等差数列中，公差不为零，且恰好是等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 7（04年全国）已知数列an满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+-+(n-1)an-1 (n1)，则an的通项an=_ 8某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从1989年到1998年这10年间每两年上升2%，1997年和1998年这两年种植植被815万平方米，当地政府决定今后四年内仍按这一比例发展下去，那么从1999年到2002年种植植被面积为 (保留整数) 9（04年天津）设an是一个公差为的等差数列，它的前10项和且、成等比数列（1）证明：；（2）求公差的值和数列an的通项公式10(2004年全国)已知等差数列，（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前n项和11(2004年全国)数列的前n项和记为，已知证明：（1）数列是等比数列；（2）12(2001年全国)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1）设n年内(本年度为第一年)总收入为万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总收入?答案二基础过关 1、B 2、B 3、C 4、 5、153 6、三案例探究1解: 为等差数列，为等比数列，已知，得，由知的公差为，由知的公比为或，当时，;当时， 2解: (1)由得当3时，又 -，得 ，所以是一个首项为1，公比为的等比数列(2)由，得可见， 是一个首项为1，公差为的等差数列于是 (3) 由，可知和是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是， 3解：（1）由题意减少的关税税款为（万元），所以2006年A型车价格为64-24=40万元因为五年后B型车价格应不高于A型车价格的90%，所以有B型车价格（万元），2001年B型车价格为46万元，故五年中至少要降10万元，所以平均每年至少降价2万元（2）根据题意，2001年存入的33万元五年后到期时连本带息可得万元因（万元）所以够买一辆（1）中所述五年后降价为36万元以下得B型车4解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题对于（），直接验证即可；对于（），观察的构成：，可知（）的结论又为（）作了铺垫；对于（），则应在（）的基础上，充分利用“恒成立”，结合函数、不等式的知识去解决总之，本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键（）由题可知：，所以，点的纵坐标是定值，问题得证（）由（）可知：对任意自然数，恒成立由于，故可考虑利用倒写求和的方法即由于：所以，所以，（）， 等价于 依题意，式应对任意恒成立（1） 当时，式显然不成立，因此不合题意（2） 当时， ，所以，只需对任意恒成立，而当为偶数时，不成立，因此，不合题意（3）当时，因为（），所以，需且只需对任意恒成立即：对恒成立记（） ， （）的最大值为， 四热身练习 1、A 2、B 3、B 4、D 5、C 6、4 7、8、1679万平方米9解： （1）证明：因、成等比数列，故 而是等差数列，于是，即，化简得（2）解：由条件和，得到，因，代入得， 故，所以10解：（1）设数列的公差为d，依题意，得方程组解得，所以的通项公式为（2）由，得所以是首项公比的等比数列于是得的前n项和11解：（1），整理，得故是以2为公比的等比数列（2）由（1），知，于是又，因此对于任意正整数，都有12解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为万元，第n年