高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用（回扣主干知识+突破热点题型+提升学科素养）课件 文 苏教版.ppt

第二章函数 导数及其应用第一节函数及其表示第二节函数的定义域和值域第三节函数的单调性与最值第四节函数的奇偶数与周期性第五节二次函数与幂函数第六节指数与指数函数第七节对数与对数函数第八节函数的图像第九节函数与方程第十节函数模型及其应用第十一节导数及其运算第十二节导数的应用 第十三节导数的应用 专家讲坛 备考方向要明了 1 考查方式多为填空题 2 函数的表示方法是高考的常考内容 特别是图象法与解析法更是高考的常客 3 分段函数是高考的重点也是热点 常以求解函数值 由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主 如2010年高考t11 2011年高考t11 1 了解构成函数的要素 了解映射的概念 2 在实际情境中 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图象法 列表法 解析法 表示函数 3 了解简单的分段函数 并能简单应用 怎么考 考什么 归纳知识整合 1 函数与映射的概念 非空集合 惟一 每一个 惟一 探究 1 函数和映射的区别与联系是什么 提示 二者的区别 映射定义中的两个集合是非空集合 可以不是数集 而函数中的两个集合必须是非空数集 二者的联系 函数是特殊的映射 2 函数的有关概念 1 函数的定义域 值域 在函数y f x x a中 所有的输入值x组成的集合a叫做函数y f x 的定义域 与x的值相对应的y值叫做函数值 f x x a 叫做函数的值域 显然 值域是集合b的子集 2 函数的三要素 和 函数值的集合 定义域 值域 对应法则 3 相等函数如果两个函数的相同 并且完全一致 则这两个函数为相等函数 探究 2 若两个函数的定义域与值域相同 它们是否是同一个函数 提示 不一定 如函数y x与y x 1 其定义域与值域完全相同 但不是同一个函数 再如y sinx与y cosx 其定义域都为r 值域都为 1 1 显然不是同一个函数 因为定义域和对应法则完全相同的两个函数的值域也相同 所以定义域和对应法则完全相同的两个函数才是同一个函数 定义域 对应法则 4 函数的表示方法表示函数的常用方法有 和 5 分段函数在定义域内不同部分上 有不同的解析表达式 像这样的函数 通常叫做分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 其值域等于各段函数的值域的 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数 列表法 解析法 图象法 并集 并集 自测牛刀小试 答案 2 教材习题改编 以下给出的对应是从集合a到b的映射的有 填序号 集合a p p是数轴上的点 集合b r 对应法则f 数轴上的点与它所代表的实数对应 集合a p p是平面直角坐标系中的点 集合b x y x r y r 对应法则f 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应 集合a x x是三角形 集合b x x是圆 对应法则f 每一个三角形都对应它的内切圆 集合a x x是新华中学的班级 集合b x x是新华中学的学生 对应法则f 每一个班级都对应班里的学生 解析 由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个 即一个班级对应的学生不止一个 所以 不是从集合a到集合b的映射 答案 答案 2 函数与映射的概念 答案 1 判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系 只需检验 定义域和对应法则是否给出 根据给出的对应法则 自变量x在其定义域中的每一个值 是否都能找到惟一的函数值y与之对应 2 判断两个函数是否为同一函数的方法判断两个函数是否相同 要先看定义域是否一致 若定义域一致 再看对应法则是否一致 由此即可判断 3 f1 y 2x f2 如图所示 解 1 不同函数 f1 x 的定义域为 x r x 0 f2 x 的定义域为r 2 同一函数 x与y的对应法则完全相同且定义域相同 它们是同一函数的不同表示方式 3 同一函数 理由同 2 已知映射f a b 其中a b r 对应法则f x y x2 2x 对于实数k b 在集合a中不存在元素与之对应 则k的取值范围是 解析 由题意知 方程 x2 2x k无实数根 即x2 2x k 0无实数根 所以 4 1 k 1时满足题意 答案 k 1 求函数的解析式 例2 1 已知f x 1 x2 4x 1 求f x 的解析式 2 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 f x 2x 9 求f x 自主解答 1 法一 换元法 设x 1 t 则x t 1 f t t 1 2 4 t 1 1 即f t t2 2t 2 所求函数为f x x2 2x 2 分段函数求值 答案 2 数学思想 分类讨论思想在分段函数中的应用当数学问题不宜用统一的方法处理时 我们常常根据研究对象的差异 按照一定的分类方法或标准 将问题分为 全而不重 广而不漏 的若干类 然后逐类分别讨论 再把结论汇总 得出问题答案的思想 这就是主要考查了分类讨论的数学思想 由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式 在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解 然后整合 这恰好是分类讨论的一种体现 答案 1 0 1 答案 2 2 1 龟兔赛跑 讲述了这样的故事 领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟 骄傲起来 睡了一觉 当它醒来时 发现乌龟快到达终点了 于是急忙追赶 但为时已晚 乌龟还是先到达了终点 用s1 s2分别表示乌龟和兔子所行的路程 t为时间 则下图与故事情节相吻合的是 解析 根据故事的描述 乌龟是先于兔子到达终点 到达终点的最后时刻乌龟的路程大于兔子的路程 并且兔子中间有一段路程为零 分析知图象 与事实相吻合 答案 2 下列对应法则是集合p上的函数的是 p z q n 对应法则f 对集合p中的元素取绝对值与集合q中的元素相对应 p 1 1 2 2 q 1 4 对应法则 f x y x2 x p y q p 三角形 q x x 0 对应法则f 对p中三角形求面积与集合q中元素对应 解析 对于 集合p中元素0在集合q中没有对应元素 故 不是函数 对于 集合p不是数集 故 不是函数 正确 答案 备考方向要明了 考什么 怎么考 会求简单函数的定义域和值域 1 函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题中 且多与集合问题相交汇 考查与对数函数 分式函数 根式函数有关的定义域问题 如2012年高考t5 2 函数的值域或最值问题很少单独考查 通常与不等式恒成立等问题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中 如2008年高考t14 归纳知识整合 1 常见基本初等函数的定义域 1 分式函数中分母 2 偶次根式函数被开方式 3 一次函数 二次函数的定义域均为 4 y ax a 0且a 1 y sinx y cosx 定义域均为 5 y logax a 0且a 1 的定义域为 6 y tanx的定义域为 7 实际问题中的函数定义域 除了使函数的解析式有意义外 还要考虑实际问题对函数自变量的制约 不等于零 大于或等于0 r 0 r 2 基本初等函数的值域 1 y kx b k 0 的值域是 2 y ax2 bx c a 0 的值域是 当a 0时 值域为 当a0且a 1 的值域是 5 y logax a 0且a 1 的值域是 6 y sinx y cosx的值域是 7 y tanx的值域是 r y y 0 y y 0 r 1 1 r 2 分段函数的定义域 值域与各段上的定义域 值域之间有什么关系 提示 分段函数的定义域 值域为各段上的定义域 值域的并集 自测牛刀小试 答案 1 1 4 2 下表表示y是x的函数 则函数的值域是 解析 函数值只有四个数2 3 4 5 故值域为 2 3 4 5 答案 2 3 4 5 4 教材改编题 函数y f x 的图象如图所示 则函数y f x 的定义域为 值域为 解析 由图象可知 函数y f x 的定义域为 6 0 3 7 值域为 0 答案 6 0 3 7 0 答案 1 求函数的定义域 答案 1 1 0 0 2 2 1 8 本例 2 改为f x 的定义域为 0 3 求y f x2 1 的定义域 解 y f x 的定义域为 0 3 0 x2 1 3 解得 2 x 1或1 x 2 所以函数定义域为 2 1 1 2 答案 1 0 2 1 1 2 4 求函数的值域 解 1 配方法 y x2 2x x 1 2 1 0 x 3 1 x 1 4 1 x 1 2 16 0 y 15 即函数y x2 2x x 0 3 的值域为 0 15 与定义域 值域有关的参数问题 答案 6 易误警示 与定义域有关的易错问题 答案 1 1 1 答案 0 答案 1 1 答案 0 1 答案 4 0 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 2 会利用函数的图象理解和研究函数的性质 1 函数的单调性 是高考考查的重中之重 主要考查求函数的单调区间 利用函数的单调性比较函数值的大小 利用函数单调性求函数值域或最值 利用函数的单调性解不等式等相关问题 如2009年高考t3 t10 2 函数的最值问题是每年高考的必考内容 一般情况下 不会对最值问题单独命题 主要是结合其他知识综合在一起考查 主要考查求最值的基本方法 如2011年高考t19 归纳知识整合 f x1 f x2 f x1 f x2 逐渐上升的 逐渐下降的 2 如果函数y f x 在区间i上是或 那么就说函数y f x 在区间i上具有 严格的 单调性 单调增区间和单调减区间统称为单调区间 单调增函数 单调减函数 提示 首先函数的单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式的形式表示 如果一个函数有多个单调区间应分别写 分开表示 不能用并集符号 联结 也不能用 或 联结 2 函数f x 在区间 a b 上单调递增与函数f x 的单调递增区间为 a b 含义相同吗 提示 含义不同 f x 在区间 a b 上单调递增并不能排除f x 在其他区间上单调递增 而f x 的单调递增区间为 a b 意味着f x 在其他区间上不可能单调递增 2 函数的最值 f x f x0 ymax f x0 探究 3 函数的单调性 最大 小 值反映在其图象上有什么特征 提示 函数的单调性反映在图象上是上升或下降的 而最大 小 值反映在图象上为其最高 低 点的纵坐标的值 自测牛刀小试 答案 答案 1 0 0 1 5 2012 无锡调研 已知函数y log2 ax 1 在 1 2 上单调递增 则a的取值范围为 答案 1 函数单调性的判断或证明 求函数的单调区间 1 求函数单调区间应注意的问题函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集 求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域 求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行 2 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数 y f u u g x 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数同增或同减 则y f g x 为增函数 若一增一减 则y f g x 为减函数 即 同增异减 函数单调性与最值的应用 易误警示 分段函数单调性中的误区 答案 4 8 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3 了解函数周期性 最小正周期的含义 1 高考对函数奇偶性的考查有两个方面 一是判断函数奇偶性 二是函数奇偶性概念的应用 一般为求参数或求值 如2010年高考t5 2 高考对周期性的考查主要是针对三角函数 一般函数不做要求 归纳知识整合 1 函数的奇偶性 f x f x f x f x y轴 原点 探究 1 奇函数 偶函数的定义域具有什么特点 它是函数具有奇偶性的什么条件 提示 定义域关于原点对称 必要不充分条件 2 若f x 是奇函数且在x 0处有定义 是否有f 0 0 如果是偶函数呢 提示 如果f x 是奇函数时 f 0 f 0 则f 0 0 如果f x 是偶函数时 f 0 不一定为0 如f x x2 1 3 是否存在既是奇函数又是偶函数的函数 若有 有多少个 提示 存在 如f x 0 定义域是关于原点对称的任意一个数集 这样的函数有无穷多个 2 周期性 1 周期函数 对于函数f x 如果存在一个非零的常数t 使得定义域内的每一个x值 都满足 那么函数f x 就叫做周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个的正数 那么这个就叫做f x 的最小正周期 探究 4 若t为y f x 的一个周期 那么nt n z 是函数f x 的周期吗 提示 不一定 由周期函数的定义知 函数的周期是非零常数 当n z且n 0时 nt是f x 的一个周期 f x t f x 最小 最小正数 自测牛刀小试 解析 首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称 然后由奇函数的定义逐个判断可知 为奇函数 答案 2 4 2012 重庆高考 若f x x a x 4 为偶函数 则实数a 5 设函数f x 是定义在r上的奇函数 若当x 0 时 f x lgx 则满足f x 0的x的取值范围是 解析 当x 0 时 f x lgx 当x 0 1 时 f x 0 又 函数f x 为奇函数 当x 1 0 时 f x 0 当x 1 时 f x 0的x的取值范围是 1 0 1 答案 1 0 1 判断函数的奇偶性 2 函数定义域为 0 0 关于原点对称 又当x 0时 f x x2 x 则当x0 故f x x2 x f x 当x0时 x 0 故f x x2 x f x 故原函数是偶函数 函数奇偶性的应用 答案 1 3 2 2 与函数奇偶性有关的问题及解决方法 1 已知函数的奇偶性 求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 2 已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量 转化到已知区间上 再利用奇偶性求出 或充分利用奇偶性构造关于f x 的方程 组 从而得到f x 的解析式 3 已知函数的奇偶性 求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法 利用f x f x 0得到关于待求参数的恒等式 由系数的对等性得参数的值或方程求解 4 应用奇偶性画图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性 2 设f x 为定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x 2x b b为常数 则f 1 解析 因为f x 为定义在r上的奇函数 所以f 0 20 2 0 b 0 解得b 1 所以当x 0时 f x 2x 2x 1 所以f 1 f 1 21 2 1 1 3 答案 3 3 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则f 25 f 11 f 80 的大小关系为 解析 因为f x 满足f x 4 f x 所以f x 8 f x 所以函数是以8为周期的周期函数 则f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 又因为f x 在r上是奇函数 f 0 0 得f 80 f 0 0 f 25 f 1 f 1 而由f x 4 f x 得f 11 f 3 f 3 f 1 4 f 1 又因为f x 在区间 0 2 上是增函数 所以f 1 f 0 0 所以 f 1 0 即f 25 f 80 f 11 答案 f 25 f 80 f 11 函数的周期性及其应用 答案 1 338 2 10 2 已知函数f x 是定义域为r的偶函数 且f x 1 f x 若f x 在 1 0 上是减函数 那么f x 在 1 3 上的单调增区间为 解析 由f x 在 1 0 上是减函数 又f x 是r上的偶函数 所以f x 在 0 1 上是增函数 由f x 1 f x 得f x 2 f x 1 1 f x 1 f x 故函数f x 是以2为周期的周期函数 结合以上性质 模拟画出f x 部分图象的变化趋势 如下图 由图象可以观察出 f x 在 1 2 上为减函数 在 2 3 上为增函数 答案 2 3 开区间也对 创新交汇 与奇偶性 周期性有关的交汇问题 1 函数的奇偶性 周期性以及单调性是函数的三大性质 在高考中常常将它们综合在一起命制试题 其中奇偶性多与单调性相结合 而周期性常与抽象函数相结合 并以结合奇偶性求函数值为主 2 根据奇偶性的定义知 函数的奇偶性主要体现为f x 与f x 的相等或相反关系 而根据周期函数的定义知 函数的周期性主要体现为f x t 与f x 的关系 它们都与f x 有关 因此 在一些题目中 函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到 函数的奇偶性体现的是一种对称关系 而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律 因此 在解题时 往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性 即实现区间的转换 再利用单调性来解决相关问题 答案 6 1 2013 衡阳六校联考 已知函数f x 是 上的偶函数 若对于x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x log2 x 1 则f 2011 f 2012 解析 f x 是 上的偶函数 f 2011 f 2011 当x 0时 f x 4 f x 2 f x 则f x 是以4为周期的函数 注意到2011 4 502 3 2012 4 503 f 2011 f 3 f 1 2 f 1 log2 1 1 1 f 2012 f 0 log21 0 f 2011 f 2012 1 答案 1 2 2012 朝阳模拟 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 且对任意的x r 都有f x 2 f x 当0 x 1时 f x x2 若直线y x a与函数y f x 的图象在 0 2 内恰有两个不同的公共点 则实数a的值是 解析 f x 2 f x t 2 又0 x 1时 f x x2 可画出函数y f x 在一个周期内的图象如图 3 2012 珠海模拟 设定义在r上的函数f x 满足f x f x 2 13 若f 1 2 则f 99 1 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且x 0 2 时 f x x2 1 则f 7 的值为 解析 f 7 f 3 f 1 f 1 12 1 2 答案 2 2 若定义在r上的偶函数f x 和奇函数g x 满足f x g x ex 则g x 等于 3 已知f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 解析 f x 是最小正周期为2的周期函数 且0 x 2时 f x x3 x x x 1 x 1 当0 x 2时 f x 0有两个根 即x1 0 x2 1 由周期函数的性质知 当2 x 4时 f x 0有两个根 即x3 2 x4 3 当4 x 6时 f x 0有两个根 即x5 4 x6 5 x7 6也是f x 0的根 故函数f x 的图象在区间 0 6 上与x轴交点的个数为7 答案 7 备考方向要明了 考什么 1 了解幂函数的概念 2 结合函数y x y x2 y x3 y y x的图象 了解它们的变化情况 3 掌握二次函数的概念 图象特征 4 掌握二次函数的对称性和单调性 会求二次函数在给定区间上的最值 5 掌握二次函数 二次方程 二次不等式之间的密切关系 提高解综合问题的能力 怎么考 1 以二次函数为基本载体考查一元二次方程 一元二次不等式和一元二次函数三者之间关系的运用 如2012年高考t13 2008年高考t18 2 以二次函数的图象为载体 利用数形结合的思想解决二次函数的单调区间 二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题 如2011年高考t19 3 一元二次方程根的分布也是高考考查的重点 归纳知识整合 1 二次函数的解析式 1 一般式 f x 2 顶点式 若二次函数的顶点坐标为 h k 则其解析式为f x 3 两根式 若相应一元二次方程的两根为x1 x2 则其解析式为f x ax2 bx c a 0 a x h 2 k a 0 a x x1 x x2 a 0 2 二次函数的图象和性质 探究 1 ax2 bx c 0 a 0 与ax2 bx c 0 a 0 恒成立的条件分别是什么 其几何意义如何 3 幂函数的定义形如 r 的函数称为幂函数 其中x是 为 y x 自变量 常数 4 五种幂函数的图象 5 五种幂函数的性质 0 0 0 0 0 0 0 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 0 0 增 增 0 0 探究 2 为何幂函数在第四象限没有图象 幂函数的图象最多出现在几个象限内 提示 幂函数y x 当x 0时 根据幂运算 幂函数y x 0恒成立 所以幂函数在第四象限没有图象 幂函数的图象最多只能出现在两个象限内 提示 在区间 0 1 上幂指数越大其图象越靠下 自测牛刀小试 1 已知二次函数f x 的图象的顶点坐标为 2 4 且过点 3 0 则f x 用一般式表示 解析 依题意可设f x a x 2 2 4 a 0 代入点 3 0 可得0 a 3 2 2 4 从而a 4 所以f x 4 x 2 2 4 4x2 16x 12 答案 4x2 16x 12 2 已知函数f x ax2 x 5在x轴上方 则a的取值范围是 3 教材习题改编 已知函数y x2 2x 3在闭区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围为 解析 如图 由图象可知m的取值范围 1 2 答案 1 2 4 教材习题改编 下列函数是幂函数的序号是 答案 5 下列命题 幂函数的图象都经过点 1 1 和点 0 0 幂函数的图象不可能在第四象限 n 0时 函数y xn的图象是一条直线 幂函数y xn 当n 0时是增函数 幂函数y xn 当n 0时 在第一象限内函数值随x值增大而减小 其中正确的是 解析 幂函数y xn 当n 0时 不过 0 0 点 错误 当n 0时 y xn中x 0 故其图象是去掉 0 1 点的一条直线 错 y x2在 0 上是减函数 0 上是增函数 错 答案 二次函数的解析式 例1 已知二次函数f x 同时满足以下条件 1 f 1 x f 1 x 2 f x 的最大值为15 3 f x 0的两根的立方和等于17 求f x 的解析式 自主解答 依条件 设f x a x 1 2 15 a 0 即f x ax2 2ax a 15 令f x 0 即ax2 2ax a 15 0 在本例条件下 若g x 与f x 的图象关于坐标原点对称 求g x 的解析式 解 设p x y 是函数g x 图象上的任意一点 它关于原点对称的点p x y 必在f x 的图象上 则 y 6 x 2 12 x 9 即y 6x2 12x 9 故g x 6x2 12x 9 1 已知二次函数f x 的图象经过点 4 3 它在x轴上截得的线段长为2 并且对任意x r 都有f 2 x f 2 x 求f x 的解析式 解 f 2 x f 2 x 对x r恒成立 f x 的对称轴为x 2 又 f x 图象被x轴截得的线段长为2 f x 0的两根为1和3 设f x 的解析式为f x a x 1 x 3 a 0 又 f x 的图象过点 4 3 3a 3 a 1 所求f x 的解析式为f x x 1 x 3 即f x x2 4x 3 二次函数的图象和性质 例2 2012 盐城模拟 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 1 当a 2时 求f x 的最值 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 3 当a 1时 求f x 的单调区间 自主解答 1 当a 2时 f x x2 4x 3 x 2 2 1 又 x 4 6 函数f x 在 4 2 上为减函数 在 2 6 上为增函数 f x max f 4 4 2 2 1 35 f x min f 2 1 2 函数f x x2 2ax 3的对称轴为x a 且f x 在 4 6 上是单调函数 a 6或 a 4 即a 6或a 4 2 已知f x 4x2 4ax 4a a2在区间 0 1 内有最大值 5 求a的值及函数表达式f x 幂函数的图象和性质 答案 3 1 幂函数y xm2 2m 3 m z 的图象如图所示 则m的值为 2 当0 x 1时 f x x1 1 g x x0 9 h x x 2的大小关系是 解析 1 从图象上看 由于图象不过原点 且在第一象限下降 故m2 2m 3g x f x 答案 1 1 2 h x g x f x 数学思想 分类讨论在求二次函数最值中的应用 二次函数在闭区间上的最值问题 一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值 当函数解析式中含有参数时 要根据参数的最值情况进行分类讨论 典例 2013 青岛模拟 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 2 2013 玉林模拟 是否存在实数a 使函数f x x2 2ax a的定义域为 1 1 时 值域为 2 2 若存在 求a的值 若不存在 说明理由 1 已知函数f x ax2 3 a x 1 g x x 若对于任一实数x f x 与g x 至少有一个为正数 则实数a的取值范围是 答案 0 9 2 已知函数f x m2 m 1 x 5m 3 m为何值时 f x 是幂函数 且在 0 上是增函数 解 函数f x m2 m 1 x 5m 3是幂函数 m2 m 1 1 解得m 2或m 1 当m 2时 5m 3 13 函数y x 13在 0 上是减函数 当m 1时 5m 3 2 函数y x2在 0 上是增函数 m 1 3 已知f x x2 3x 5 x t t 1 若f x 的最小值为h t 写出h t 的表达式 4 设f x 是定义在r上的偶函数 当0 x 2时 y x 当x 2时 y f x 的图象是顶点为p 3 4 且过点a 2 2 的抛物线的一部分 1 求函数f x 在 2 上的解析式 2 在下面的直角坐标系中直接画出函数f x 的草图 3 写出函数f x 的值域 解 1 设顶点为p 3 4 且过点a 2 2 的抛物线的方程为y a x 3 2 4 将 2 2 代入可得a 2 所以y 2 x 3 2 4 即x 2时 f x 2x2 12x 14 又f x 为偶函数 当x2时 f x f x 2 x 2 12x 14 即f x 2x2 12x 14 故函数f x 在 2 上的解析式为f x 2x2 12x 14 2 函数f x 的图象如图 3 由图象可知 函数f x 的值域为 4 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念 理解指数函数的单调性 掌握指数函数图象通过的特殊点 4 知道指数函数是一类重要的函数模型 1 主要以填空题的形式考查指数函数的值域以及指数函数的单调性 图象三个方面的问题 如2009年高考t10 2 常与其他问题相结合进行综合考查 如与对数的运算 数值的大小比较等相结合 归纳知识整合 1 根式 1 根式的概念 xn a 正数 负数 相反数 2 两个重要公式 a a a a 提示 当n为奇数时 a r 当n为偶数时 a 0 2 有理数指数幂 1 幂的有关概念 正分数指数幂 a a 0 m n n 且n 1 负分数指数幂 a a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2 有理数指数幂的性质 aras a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q 无意义 0 ar s ars arbr 探究 2 如图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 底数a b c d与1之间的大小关系如何 你能得到什么规律 提示 图中直线x 1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值 即c1 d1 1 a1 b1 所以 c d 1 a b 即无论在y轴的左侧还是右侧 底数按逆时针方向变大 3 指数函数的图象与性质 0 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 自测牛刀小试 答案 7 答案 0 解析 由题意可知f x 为减函数 而f m f n 所以m n 答案 m n 5 若函数f x ax 1 a 0 a 1 的定义域和值域都是 0 2 则实数a 指数幂的运算 指数函数的图象及应用 例2 1 已知函数f x x a x b 其中a b 若f x 的图象如图所示 则函数g x ax b的图象是 2 若曲线 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b的取值范围是 自主解答 1 由已知并结合图象可知0 a 1 b 1 对于函数g x ax b 它一定是单调递减的 且当x 0时g 0 a0 b 1 b 0 即图象与y轴交点在负半轴上 2 曲线 y 2x 1与直线y b的图象如图所示 由图象可得 如果 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b应满足的条件是b 1 1 答案 1 2 1 1 若将本例 2 中 y 2x 1 改为 y 2x 1 且与直线y b有两个公共点 求b的取值范围 解 曲线y 2x 1 与直线y b的图象如图所示 由图象可得 如果曲线y 2x 1 与直线y b有两个公共点 则b的取值范围是 0 1 2 2012 四川高考 函数y ax a a 0 且a 1 的图象可能是 解析 当x 1时 y a1 a 0 函数y ax a的图象过定点 1 0 结合图象可知答案填写 答案 3 2012 盐城模拟 已知过点o的直线与函数y 3x的图象交于a b两点 点a在线段ob上 过a作y轴的平行线交函数y 9x的图象于c点 当bc平行于x轴时 点a的横坐标是 答案 log32 指数函数的性质及应用 4 设a 0且a 1 函数y a2x 2ax 1在 1 1 上的最大值是14 求a的值 2 解指数不等式形如ax ab的不等式 借助于函数y ax的单调性求解 如果a的取值不确定 需分a 1与0b的不等式 需先将b转化为以a为底的指数幂的形式 3个注重点 指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题 1 在进行指数幂的运算时 一般用分数指数幂的形式表示 并且结果不能同时含有根号和分数指数幂 也不能既有分母又含有负指数 2 指数函数y ax a 0 a 1 的图象和性质跟a的取值有关 要特别注意区分a 1与0 a 1来研究 3 对可化为a2x b ax c 0或a2x b ax c 0 0 的指数方程或不等式 常借助换元法解决 但应注意换元后 新元 的范围 创新交汇 指数函数与不等式的交汇问题 1 高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体 考查指数的运算和函数图象的应用 且常与函数性质 二次函数 方程 不等式等内容交汇命题 2 解决此类问题的关键是根据已知 或构造 指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解 典例 2012 浙江高考 设a 0 b 0 则下列说法中正确的是 若2a 2a 2b 3b 则a b 若2a 2a 2b 3b 则a b 若2a 2a 2b 3b 则a b 若2a 2a 2b 3b 则a b 解析 a 0 b 0 2a 2a 2b 3b 2b 2b 令f x 2x 2x x 0 则函数f x 为单调增函数 a b 答案 1 本题有以下创新点 1 命题方式的创新 本题没有直接给出指数函数模型 而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式 2 考查内容的创新 本题将指数函数 一次函数的单调性与放缩法 导数法的应用巧妙结合 考查了考生观察分析问题的能力及转化与化归的数学思想 2 解决本题的关键有以下两点 1 通过放缩 将等式问题转化为不等式问题 2 构造函数 并利用其单调性解决问题 答案 3 1 答案 2 函数y 2 x 的定义域为 a b 值域为 1 16 当a变动时 函数b g a 的图象可以是 解析 函数y 2 x 的图象如图 当a 4时 0 b 4 当b 4时 4 a 0 答案 3 比较下列各题中两个值的大小 1 1 72 5 1 73 2 0 8 0 1 0 8 0 2 3 1 70 3 0 93 1 解 1 考查函数y 1 7x 因为1 7 1 所以指数函数y 1 7x在r上是增函数 因为2 5 0 2 所以0 8 0 11 70 1 0 93 10 93 1 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 了解对数在简化运算中的作用 2 理解对数函数的概念 理解对数函数的单调性 掌握对数函数图象通过的特殊点 3 知道对数函数是一类重要的函数模型 1 以对数运算法则为依据 考查对数运算 求函数值 对数式与指数式的互化等 2 以考查对数函数的单调性为目的 考查函数值的大小比较 解简单的对数不等式等 如2008年高考t20 2011年高考t2 3 以对数函数为载体 与导体相结合考查函数的综合性质 归纳知识整合 1 对数的定义一般地 如果a a 0 a 1 的b次幂等于n 即ab n 那么就称b是以a为底n的对数 记作logan b 其中 a叫做对数的底数 n叫做真数 2 对数的性质与运算 1 对数的性质 a 0且a 1 loga1 logaa alogan 0 1 n logam logan logam logan 3 对数函数的图象与性质 0 1 0 r 增函数 减函数 探究 2 对数logab为正数 负数的条件分别是什么 3 如何确定图中各函数的底数a b c d与1的大小关系 你能得到什么规律 提示 图中直线y 1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数 0 c d 1 a b 在x轴上方由左到右底数逐渐增大 在x轴下方由左到右底数逐渐减小 自测牛刀小试 1 2012 安徽高考 log29 log34 解析 log29 2log23 log34 2log32 原式 4log23 log32 4 答案 4 3 教材习题改编 不等式log0 3 2x 1 log0 3 x 5 的解集为 答案 x 2 x 5 4 2009 江苏高考 已知集合a x log2x 2 b a 若a b 则实数a的取值范围是 c 其中c 解析 a x 04 即a的取值范围为 4 c 4 答案 4 对数式的化简与求值 保持本例 2 条件不变 求loga24的值 解 loga24 loga3 loga8 loga3 3loga2 n 3m 对数函数的图象及应用 例2 已知函数f x loga 2x b 1 a 0 a 1 的图象如图所示 则a 1 b 1三者的大小关系是 自主解答 令g x 2x b 1 这是一个增函数 而由图象可知函数f x logag x 是单调递增的 所以必有a 1 又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于 1和0之间 即 1 f 0 0 所以 1 logab 0 故a 1 b 1 答案 a 1 b 1 答案 a b c 对数函数的性质及应用 例3 已知函数f x loga 3 ax 1 当x 0 2 时 函数f x 恒有意义 求实数a的取值范围 2 是否存在这样的实数a 使得函数f x 在区间 1 2 上为减函数 并且最大值为1 如果存在 试求出a的值 如果不存在 请说明理由 若将本例中 3 ax 改为 ax 1 试讨论f x 的单调性 解 要使函数f x loga ax 1 有意义 则ax 1 0 当a 1时 由ax 1 0 得x 0 当00 得x1时 函数的定义域为 x x 0 当0 a 1时 函数的定义域为 x x 0 任取x1 x2 0 0 则f x1 f x2 loga ax1 1 loga ax2 1 4 2012 上海高考改编 已知函数f x lg x 1 1 若0 f 1 2x f x 1 求x的取值范围 2 若g x 是以2为周期的偶函数 且当0 x 1时 有g x f x 求函数y g x x 1 2 的解析式 4种方法 解决对数运算问题的方法解决对数的运算问题 主要依据是对数的运算性质 常用的方法有 1 将真数化为底数 或已知对数的数 的幂的积 再展开 2 将同底对数的和 差 倍合并 3 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式 要注意换底公式的正用 逆用及变形应用 4 利用常用对数中的lg2 lg5 1 2个应用 对数函数单调性的应用 1 比较对数式的大小 若底数为同一常数 则可由对数函数的单调性直接进行判断 若底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 若底数不同 真数相同 则可以先用换底公式化为同底后 再进行比较 若底数与真数都不同 则常借助1 0等中间量进行比较 2 解对数不等式 形如logax logab的不等式 借助y logax的单调性求解 如果a的取值不确定 需分a 1与0b的不等式 需先将b化为以a为底的对数式的形式 数学思想 利用数形结合思想求解对数不等式问题 中学数学研究的对象可分为两大部分 一部分是数 一部分是形 但数与形是有联系的 这个联系称之为数形结合 数 与 形 反映了事物两个方面的属性 我们认为 数形结合 主要指的是数与形之间的一一对应法则 数形结合就是把抽象的数学语言 数量关系与直观的几何图形 位置关系结合起来 通过 以形助数 或 以数辅形 即通过抽象思维与形象思维的结合 可以使复杂问题简单化 抽象问题具体化 从而起到优化解题途径的目的 1 已知函数f x lgx 若a b 且f a f b 则a b的取值范围是 答案 2 答案 c b a 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 掌握函数图象画法 2 会利用变换作函数图象 3 会运用函数图象理解和研究函数的性质 解决方程解的个数与不等式的解的问题 4 会用数形结合思想 转化与化归思想解决函数问题 1 由于题型的限制江苏没有单独对图象的画法进行考查 但不单独考查 并不意味基本作图的方法不用掌握 2 函数图象的考查主要是其应用如求函数的值域 单调区间 求参数的取值范围 判断非常规解的个数等 以此考查数形结合思想的运用 在每一年的江苏高考中大量存在 如2012高考t13 t18等 归纳知识整合 1 利用描点法作函数图象其基本步骤是列表 描点 连线 首先 确定函数的定义域 化简函数解析式 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 对称性等 其次 列表 尤其注意特殊点 零点 最大值点 最小值点 与坐标轴的交点等 描点 连线 探究 1 函数y f x 的图象关于原点对称与函数y f x 与y f x 的图象关于原点对称一致吗 提示 不一致 前者是本身的对称 而后者是两个函数图象间的对称 2 一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称有何区别 提示 一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称不是一回事 函数y f x 的图象关于y轴对称是自身对称 说明该函数为偶函数 而函数y f x 与函数y f x 的图象关于y轴对称 是两个函数的图象对称 3 若函数y f x 的图象关于点 a 0 a 0 对称 那么其图象如何变换才能使它变为奇函数 其解析式变为什么 提示 向左平移a个单位即可 解析式变为y f x a 自测牛刀小试 1 函数y x x 的图象经描点确定后的形状大致是 填序号 答案 2 函数y ln 1 x 的图象大致为 解析 y ln 1 x ln x 1 其图象可由y lnx关于y轴对称的图象向右平移一个单位得到 答案 3 已知下图 1 中的图象对应的函数为y f x 则下图 2 中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中 可能是 填序号 y f x y f x y f x y f x 解析 由图 1 和图 2 的关系可知 图 2 是由图 1 在y轴左侧的部分及其关于y轴对称图形构成的 故 符合 答案 4 2012 盐城调研 若y f x 是定义在r上周期为2的周期函数 且f x 是偶函数 当x 0 1 时 f x 2x 1 则函数g x f x log5 x 的零点有 个 解析 分别作出函数y f x 和y log5 x 的图象 由此观察知 在y轴右侧 有4个交点 它们的横坐标分别位于区间 1 2 2 3 3 4 之中 第四个零点恰好为5 同理在y轴左侧 也有4个交点 故共有8个 答案 8 作函数的图象 例1 分别画出下列函数的图象 1 y lg x 1 2 y 2x 1 1 3 y x2 x 2 自主解答 1 首先作出y lgx的图象c1 然后将c1向右平移1个单位 得到y lg x 1 的图象c2 再把c2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象 即为所求图象c3 y lg x 1 如图 1 所示 实线部分 识图与辨图 2 已知定义在区间 0 2 上的函数y f x 的图象如图所示 则y f 2 x 的图象为 答案 1 2 解析 当x 0时 y 0 故 错 当x 2 时 y 0 故 错 答案 3 2012 杭州模拟 已知函数f x 的图象如图所示 则f x 的解析式可能是 f x x2 2ln x f x x2 ln x f x x 2ln x f x x ln x 答案 函数图象的应用 答案 0 1 1 4 若将 y kx 2 改为 y kx k的取值范围是什么 5 已知a 0 且a 1 f x x2 ax 当x 1 1 时 均有f x 则实数a的取值范围是 易误警示 作图不准确或数与形不吻合致误 答案 8 4 解决此类问题 避免在解题过程中出现失误 应关注以下几点 平时涉及函数图象的问题时 要规范准确地画出图象 切忌不用尺规草草完成 加强通过解析式分析其图象的对称性 周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力 训练由图分析其函数性质的解题技巧 答案 0 1 解析 由2x x 0 得2x x 分别作出y 2x y x的图象 如图 1 两图象交点的横坐标即为a 可得a 0 同理 对于方程log2x 2 x 可得图 2 得1 b 2 答案 a c b 1 为了得到函数y 4 2x的图象 可以把函数y 2x的图象上所有的点向左平移 个单位长度 解析 y 4 2x 2x 2 把y 2x的图象向左平移2个单位长度 可以得到y 2x 2的图象 答案 2 2 已知a是实数 则函数f x 1 asinax的图象不可能是 答案 3 作出下列函数的图象 1 y x 2 x 1 2 y x2 2 x 3 2 y x2 2x 3 y x2 2 x 3 y x2 2 x 3 图象变换如图 2 所示 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 高考对本节内容的考查主要体现在以下几个方面 1 结合函数与方程的关系 求函数的零点 2 结合根的存在性定理或函数的图象 对函数是否存在零点及零点个数 方程是否存在实数根及方程根的个数 进行判断 3 利用零点 方程实根 的存在性求相关参数的值或范围 如2012年高考t18 归纳知识整合 1 函数的零点 1 定义 使函数y f x 的值为0的实数x称为函数y f x 的零点 2 函数的零点与相应方程的根 函数的图象与x轴交点间的关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 有 x轴 零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条不间断的曲线 且 则函数y f x 在区间上有零点 探究 1 函数的零点是函数y f x 与x轴的交点吗 是否任意函数都有零点 提示 函数的零点不是函数y f x 与x轴的交点 而是y f x 与x轴交点的横坐标 也就是说函数的零点不是一个点 而是一个实数 并非任意函数都有零点 只有f x 0有根的函数