高考数学总复习 第六章第七节 数学归纳法及其应用课件 理.ppt

第七节数学归纳法及其应用 1 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 第一个值n0 n0 n n k 1 2 数学归纳法的框图表示 1 数学归纳法的第一步n取第一个值n0 n n 是否一定为1呢 提示 不一定 n0的取值应取命题成立的第1个值 不一定是1 2 数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么 提示 数学归纳法中两个步骤体现了递推思想 第一步是递推基础 也叫归纳奠基 第二步是递推的依据 也叫归纳递推 两者缺一不可 另外 在第二步中证明n k 1时命题成立 必须利用归纳假设 否则就不是数学归纳法 解析 三角形是边数最少的凸多边形 故第一步应检验n 3 答案 c 解析 k为偶数 则k 2为偶数 选b 答案 b 答案 c 思路点拨 1 第一步验证n 1时等式成立 2 第二步假设n k k n 时等式成立 证明n k 1时 等式成立 用数学归纳法证明等式 1 用数学归纳法证明等式问题 首先应弄清等式的结构特征 即弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 2 用数学归纳法证明等式的关键是由n k时命题成立 递推出n k 1时 命题也成立 为此可写出目标式n k 1时 命题是什么 并找出与n k时 命题的差别 明确变形的目标 充分利用假设 进行合理变形 正确写出证明过程 用数学归纳法证明不等式 当n k 1时 不等式成立 根据 1 2 知不等式对n n 都成立 1 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 猜想出结论 并用数学归纳法证明 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时命题成立得n k 1时命题也成立 在归纳假设使用后可运用比较法 综合法 分析法 放缩法等来加以证明 思路点拨 根据求出的前n项 抽象出一般性的规律 然后利用数学归纳法证明 归纳 猜想 证明 1 猜想 an 的通项公式是一个由特殊到一般的过程 通过计算a1 a2 a3发现规律 有时可能要多算几项才行 2 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 这种方法在解决探索性问题 存在性问题时起着重要作用 它的模式是先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理证明结论的正确性 这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式 从近两年的高考试题来看 用数学归纳法证明与正整数有关的命题以及与数列有关的命题是高考的热点 题型为解答题 主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力 分析问题 解决问题的能力 难度为中 高档 在求解时 应注意答题步骤的规范化 12分 2012 汕尾模拟 已知 abc的三边长是有理数 1 求证 cosa都是有理数 2 求证 对任意正整数n cosna是有理数 规范解答之十一巧用数学归纳法证明三角问题 2 用数学归纳法证明cosna和sina sinna都是有理数 当n 1时 由 1 知cosa是有理数 从而有sina sina 1 cos2a也是有理数 6分 假设当n k k 1 时 coska和sina sinka是有理数 当n k 1时 则cos k 1 a cosa coska sina sinka sina sin k 1 a sina sina coska cosa sinka sina sina coska sina sinka cosa 10分由 和归纳假设 知cos k 1 a与sina sin k 1 a都是有理数 即当n k 1时 结论成立 综合 可知 对任意正整数n cosna是有理数 12分 解题程序 第一步 利用余弦定理证明cosa是有理数 第二步 证明n 1时 cosna sina sinna是有理数 第三步 假设n k时 coska sina sinka是有理数 证明n k 1时 cos k 1 a是有理数 易错提示 1 不能将cosa与三角形边长联系起来 无法证明第 1 小题 2 在用数学归纳法证明第 2 小题时 对sina sinka束手无策 思维受阻 无法求解 防范措施 1 角a是 abc的内角 且 abc的三边长是有理数 可联想到用边长表示cosa 即余弦定理 2 在证明cos k 1 a是有理数时 需要用到结论 sina sinka是有理数 但此结论需要证明 解析 当n k时 左边 1 2 3 k2 当n k 1时 左边 1 2 3 k2 k2 1 k2 2 k 1 2 选d 答案 d 2 2012 珠海模拟