高考数学总复习 第8章 第9节 曲线与方程课件 新人教A版.ppt

第九节曲线与方程 理 了解曲线与方程的对应关系 一 曲线的方程 与 方程的曲线 一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是这个 2 以这个方程的解为坐标的点都是 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 方程的解 曲线上的点 1 若曲线与方程的对应关系中只满足 2 条会怎样 提示 若只满足 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 则这个方程可能只是部分曲线的方程 而非整个曲线的方程 二 求曲线方程的方法1 基本步骤 1 建立的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 用坐标表示条件p m 列出方程 4 化方程f x y 0为最简形式 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在 适当 f x y 0 曲线上 2 求曲线轨迹方程的常用方法 1 直接法 也叫直译法 即根据题目条件 直译为关于动点的几何关系 再利用解析几何有关公式 两点间距离公式 点到直线距离公式 夹角公式等 进行整理 化简 如前面所学的圆锥曲线方程 2 定义法 若动点轨迹满足已知曲线的定义 可先设定方程 再确定其中的基本量 3 代入法 也叫相关点法 其特点是 动点m x y 的坐标取决于已知曲线c上的点 x y 的坐标 可先用x y表示x y 再代入曲线c的方程 即得点m的轨迹方程 4 参数法 选取适当的参数 分别用参数表示动点坐标x y 得出轨迹的参数方程 消去参数 即得其普通方程 选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素 然后再选取合适的参数 因为参数不同 会导致运算量的不同 常见的参数有角度 直线的斜率 点的横纵坐标 线段长度等 2 动点的轨迹方程 与 动点的轨迹 是一回事吗 提示 求动点的轨迹方程 和 求动点的轨迹 是不同的 前者只须求出轨迹的方程 标出变量x y的范围 后者除求出方程外 还应指出方程的曲线的图形 并说明图形的形状 位置 大小等有关的数据 1 方程x2 xy x的曲线是 a 一个点b 一条直线c 两条直线d 一个点和一条直线解析 方程变为x x y 1 0 x 0或x y 1 0 表示两条直线 答案 c 答案 b 3 动点p在曲线y 2x2 1上运动 则点p与定点 0 1 连线的中点m的轨迹方程是 a y 2x2b y 4x2c y 6x2d y 8x2 答案 b 4 已知实数m n满足x2 y2 1 则p m n m n 的轨迹方程是 答案 x2 y2 2 5 已知两定点a 2 0 b 1 0 如果动点p满足 pa 2 pb 则点p的轨迹所包围的图形的面积等于 答案 4 1 用直接法求曲线方程的一般步骤为 1 建立适当的坐标系 设出动点坐标 2 列出等量关系 3 用坐标条件化为方程f x y 0 4 化简方程 5 检验 6 结论 2 运用解析几何中一些常用定义 例如圆锥曲线的定义 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 这种求曲线方程的方法是定义法 用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义 灵活应用定义 设点f 2 0 动点p到y轴的距离为d 求满足条件 pf d 2的点p的轨迹方程 解法二 由题意 pf 2 d 当p在y轴右侧时 可转化为 pf x 2 即点p到定点f的距离等于到定直线l x 2的距离 点p在抛物线y2 8x上 当p在y轴左侧时 pf 2 x 即点p到f 2 0 的距离等于p到直线x 2的距离 从而有y 0 x 0 综上可知所求轨迹方程为y2 8x x 0 和y 0 x 0 活学活用 1 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切 同时过点 3 0 求动圆圆心m的轨迹方程 1 动点所满足的条件不易表述或求出 但形成轨迹的动点p x y 却随另一动点q x y 的运动而有规律的运动 且动点q的轨迹方程为给定或容易求得 则可先将x y 表示为x y的式子 再代入q的轨迹方程 然后整理得p的轨迹方程 代入法也称相关点法 2 用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式 x f x y y g x y 然后代入已知曲线 而求对称曲线 轴对称 中心对称等 方程实质上也是用代入法 相关点法 解题 规范解答 设动点p的坐标为 x y 点q的坐标为 x1 y1 则n点的坐标为 2x x1 2y y1 分别设出主动点 被动点坐标 并表示出n点坐标2分 n在直线x y 2上 2x x1 2y y1 2 由n点位置得到坐标间的关系式4分 用p点坐标表示q点坐标8分又点q在双曲线x2 y2 1上 x y 1 10分 代入 得动点p的轨迹方程是2x2 2y2 2x 2y 1 0 由q点满足的条件 代入求得p点的轨迹方程12分 活学活用 2 已知 abc的两顶点a b的坐标分别为a 0 0 b 6 0 顶点c在曲线y x2 3上运动 求 abc重心的轨迹方程 在一些很难找到形成曲线的动点p x y 的坐标x y所满足的关系式的情况下 往往借助第三个变量t 建立t和x t和y的关系式x t y t 再通过一些条件消掉t就间接找到了x和y所满足的方程 从而求出动点p x y 所形成的曲线的普通方程 已知抛物线y2 4px p 0 o为顶点 a b为抛物线上的两动点 且满足oa ob 如果om ab于m点 求点m的轨迹方程 思路点拨 错源 忽视限制条件求错轨迹方程 纠错 本题可以设出直线l的方程 通过参数法求解 容易忽视的是直线l抛物线交于不同两点时 直线的斜率k是有前提条件的 首先k 0 其次是消元后的一元二次方程的判别式大于0 忽视这些限制条件就扩大了所求轨迹的范围 得出所求的轨迹方程为 y 2 2 4 x 1 的错误结论 心得 求动点的轨迹方程要