高中数学 3.3三角函数的图像与性质配套课件 北师大版.ppt

第三节三角函数的图像与性质 三年10考高考指数 1 能画出y sinx y cosx y tanx的图像 了解三角函数的周期性 2 理解正弦函数 余弦函数在区间 0 2 的性质 如单调性 最大值和最小值 图像与坐标轴的交点等 理解正切函数在内的单调性 1 三角函数的图像和性质是考查的重点 特别是定义域 值域 周期性 奇偶性和单调性的应用 2 在复习时要充分运用数形结合的思想 把图像与性质结合起来 即利用图像的直观性得出函数的性质 同时既能利用函数的性质来描绘函数的图像 又能熟练地运用数形结合的思想方法 3 主要以选择题 填空题的形式考查 性质的综合应用有时会在解答题中考查 属中档题 1 周期函数及最小正周期 1 周期函数的定义对于函数f x 如果存在非零实数t 对定义域内的任意一个x值 都有 那么把函数f x 称为周期函数 称为这个函数的周期 2 最小正周期如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个 称为f x 的最小正周期 f x t f x t 最小的正数 最小正数 即时应用 1 常函数f x a a r 是否为周期函数 有无最小正周期 提示 是周期函数 但没有最小正周期 2 若函数f x 满足f x 2 f x 函数f x 是周期函数 对吗 提示 对 因为f x 4 f x 2 f x 所以f x 是周期函数 最小正周期是4 3 函数的最小正周期是 解析 由周期函数的定义知原函数的最小正周期是4 答案 4 2 正弦函数 余弦函数 正切函数的图像和性质 x r x r 1 1 1 1 x r且x k k z r 单调性 递增区间是 2k 2k k z 递减区间是 2k 2k k z 递增区间是 2k 2k k z 递减区间是 2k 2k k z 递增区间是 k k k z 无最大值和最小值 最值 x 时 ymax 1 x 时 ymin 1 x 时 ymax 1 x 时 ymin 1 2k k z 2k k z 2k k z 2k k z 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 对称轴 k 0 k z k 0 k z 0 k z x k k z x k k z 无对称轴 最小正周期 2 2 即时应用 1 判断下列命题的正误 请在括号中填 或 y sinx在第一 第四象限是增函数 y sinx在x 上是增函数 y tanx在定义域上是增函数 y sin x 是偶函数 y sin2x的周期为2 y cos2x的对称中心为 k 0 k z 2 若直线y a与函数y sinx x 2 2 的图像有4个交点 则a的取值范围是 3 函数的定义域是 解析 1 由y sinx的递增区间是可知 不正确 正确 由y tanx在上是增函数可知 不正确 由sin x sin x 可知 正确 由y sin2x的周期为知 不正确 由余弦函数y cosx的对称中心为可得所以为y cos2x的对称中心 故 不正确 2 如图所示 y sinx x 2 2 有两个周期 故若y sinx与y a有4个交点 则 1 a 1 3 由x k k z得x k k z 所以y tan x 的定义域为 x x k k z 答案 1 2 1 a 1 3 x x k k z 三角函数的定义域和值域 方法点睛 1 三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 常借助三角函数线或三角函数图像来求解 2 三角函数值域的不同求法 1 利用sinx和cosx的值域直接求 2 把所给的三角函数式变换成y asin x 的形式求值域 3 把sinx或cosx看作一个整体 转换成二次函数求值域 4 利用sinx cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域 例1 1 函数的定义域为 2 已知f x 的定义域为 0 1 则f cosx 的定义域为 3 当x 时 函数y 3 sinx 2cos2x的最小值是 最大值是 解题指南 1 由tanx 1 0 且x k k z求得 2 利用cosx 0 1 求得x 3 利用同角三角函数关系式转化成sinx的二次函数求解 规范解答 1 由tanx 1 0 且x k k z得x k 且x k k z 所以函数的定义域为 答案 x x k 且x k k z 2 0 cosx 1 2k x 2k k z 所求函数的定义域为 2k 2k k z 答案 2k 2k k z 3 因为y 3 sinx 2cos2x 2sin2x sinx 1 所以当时 当sinx 1或时 ymax 2 答案 互动探究 把本例 2 中的cosx改为sinx 如何求解 解析 要使0 sinx 1 则2k x 2k k z 所求函数的定义域为 2k 2k k z 反思 感悟 1 求三角函数的定义域主要是解三角不等式 2 在求三角函数的值域时 很多时候要进行三角变换或三角转化 这时候一定要注意所给的角的范围和有关三角函数式的范围 变式备选 1 函数的定义域为 解析 由得2k x 2k 或2k x 2k k z 答案 2 函数y f cosx 的定义域为 k z 则函数y f x 的定义域为 解析 由得所以函数y f x 的定义域为答案 3 求函数y sinx cosx sinxcosx x 0 的最大值和最小值 解析 设得t 当t 1时 ymax 1 当t 1时 ymin 1 三角函数的单调性 方法点睛 三角函数单调区间的求法 1 代换法所谓代换法 就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角 或t 利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间 这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间 2 图像法函数的单调性表现在图像上是 从左到右 图像上升趋势的区间为单调递增区间 图像下降趋势的区间为单调递减区间 如果能画出三角函数的图像 那它的单调区间就直观明了了 例2 1 2012 咸阳模拟 函数的单调递减区间是 2 求函数y sin x 的单调区间 解题指南 1 将看成整体 然后求解 2 可画出的图像 利用图像求解 规范解答 1 选d 当时 即 当时 y随x的增大而减小 单调减区间为 k z 故选d 2 y sin x 的图像如图 单调递增区间为 k k k z 单调递减区间为 k k k z 反思 感悟 1 熟记正弦 余弦 正切函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础 2 求形如y asin x k的单调区间时 只需把 x 看作一个整体代入y sinx的相应单调区间内求得x的区间即可 求y acos x k和y atan x k的单调区间类似 变式训练 求下列函数的单调递增区间 解析 1 设则y cos 当2k 2k k z 时 y cosu随u的增大而增大 又随x的增大而增大 x r 当即时 y随x增大而增大 的单调递增区间为 2 设则y 3sin 当时 y 3sin 随u增大而减小 又随x增大而减小 x r 当即时 y随x增大而增大 的单调递增区间为 三角函数的奇偶性和周期性 方法点睛 1 三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性 再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性 也可以根据图像判断 2 求三角函数周期的方法 1 利用周期函数的定义 2 利用公式 y asin x 和y acos x 的最小正周期为y tan x 的最小正周期为 3 利用图像 3 三角函数的对称性正 余弦函数的图像既是中心对称图形 又是轴对称图形 正切函数的图像只是中心对称图形 应熟记它们的对称轴和对称中心 并注意数形结合思想的应用 提醒 判断函数的奇偶性时 必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间 要注意以下两种情况 一是没有考虑原函数的定义域 二是化简时没有注意等价变形 例3 设函数f x sin x 0 给出以下四个论断 它的最小正周期为 它的图像关于直线成轴对称图形 它的图像关于点 成中心对称图形 在区间 上是增函数 以其中两个论断作为条件 另两个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 用序号表示即可 解题指南 本题是一个开放性题目 依据正弦函数的图像及单调性 周期性以及对称性逐一判断 规范解答 若 成立 则令且 故k 0 此时f x sin 2x 当x 时 sin 2x sin 0 f x 的图像关于 0 成中心对称 又f x 在 上是增函数 在 上也是增函数 因此 用类似的分析可得 因此填 或 答案 也可填 反思 感悟 三角函数的周期性 对称性是三角函数的特有性质 要切实掌握 而且经常考查 解决时要注意结合三角函数的图像 其中对称性包含轴对称和中心对称 变式训练 2012 西安模拟 函数是 a 最小正周期为 的奇函数 b 最小正周期为 的偶函数 c 最小正周期为的奇函数 d 最小正周期为的偶函数 解析 选a 因为为奇函数 所以选a 易错误区 有关三角函数图像与性质的易错点 典例 2011 安徽高考 设f x asin2x bcos2x 其中a b r ab 0 若对一切x r恒成立 则 f x 既不是奇函数也不是偶函数 f x 的单调递增区间是 存在经过点 a b 的直线与函数f x 的图像不相交 以上结论正确的是 写出正确结论的编号 解题指南 先将f x asin2x bcos2x a b r ab 0 变形为然后根据性质顺次判断命题的正误 规范解答 由f x f 对一切x r恒成立知 直线是f x 的对称轴 又 其中 的周期为 可看作x 的值加了个周期 故 正确 和与对称轴的距离相等 故 不正确 x 是对称轴 sin 2 1或 f x 2 b sin 2x 或f x 2 b sin 2x f x 既不是奇函数也不是偶函数 故 正确 由以上知 f x 2 b sin 2x 的单调递增区间为的单调递增区间为由于f x 的解析式不确定 单调递增区间也不确定 故 不正确 f x asin2x bcos2x 其中 又 ab 0 a 0 b 0 过点 a b 的直线必与函数f x 图像相交 故 不正确 答案 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 陕西高考 设函数f x x r 满足f x f x f x 2 f x 则y f x 的图像可能是 解析 选b 由f x f x 得y f x 是偶函数 所以函数y f x 的图像关于y轴对称 可知b d符合 由f x 2 f x 得y f x 是周期为2的周期函数 选项d的图像的最小正周期是4 不符合 选项b的图像的最小正周期是2 符合 故选b 2 2011 新课标全国卷 设函数则 a y f x 在 0 内单调递增 其图像关于直线x 对称 b y f x 在 0 内单调递增 其