高中数学 1.2.1.1 排列的概念及简单排列问题复习课件 新人教A版选修23.ppt

第1课时排列的概念及简单排列问题 1 理解并掌握排列的概念 2 能正确写出一些简单排列问题的所有排列 1 本节重点是排列的简单应用 2 本节难点是排列概念的理解 1 排列的概念元素 问题中被取出的 排列 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照 排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 相同排列的条件 相同 相同 对象 一定的顺序 元素 顺序 1 a b c与b a c是同一个排列吗 提示 排列与元素的顺序有关 所以a b c与b a c不是同一个排列 2 同一个排列中 同一个元素能重复出现吗 提示 由排列的定义知 在同一个排列中 不能重复出现同一个元素 3 从1 2 3中任取两个数字可组成不同的两位数有 个 解析 12 13 21 23 31 32 共6个 答案 6 对排列定义的理解 1 定义的两个要素 一是 取出元素 二是 将元素按一定顺序排列 这是排列的两个要素 也是与后面将要学习的组合的不同 2 每一个排列不仅与选取的元素有关 而且还与元素的排列顺序有关 选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时都是不同的排列 只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列 关键词 元素及其顺序 3 在定义中规定m n 如果m n 一般称为选排列 如果m n 则称为全排列 排列的概念 技法点拨 排列中元素所满足的两个特性 典例训练 1 给出以下问题 1 从3 5 7 9四个数字中任取两个数作为对数的底数和真数 有多少个不同的值 2 从0到9这十个数字中任取两个数 组成点的坐标 可得到多少个不同的点的坐标 3 某班有50名学生 假期互发一次短信 共需发短信多少条 4 北京 上海 天津三个民航站之间的直达航线有多少种票价 假设来回的票价相同 其中是排列问题的是 只填序号 2 判断下列问题是否为排列问题 1 选2个小组分别去种树和种菜 2 选5个小组分别去种花 3 选10人组成一个学习小组 4 选3个人分别担任班长 学习委员 生活委员 解析 1 1 是 对数值与底数和真数的取值不同有关系 与顺序有关 同理 2 也是排列问题 3 是 通信有来往 且为互发 有顺序 4 中票价只有三种 虽然机票是不同的 但票价是一样的 不存在顺序问题 所以不是排列问题 答案 1 2 3 2 1 种树和种菜是不同的 存在顺序问题 属于排列问题 2 3 不存在顺序问题 不属于排列问题 4 中每个人的职务不同 如甲可能当班长 还是当学习委员是不同的 存在顺序问题 属于排列问题 互动探究 将题1 3 中的 互发一次短信 改为 互通一次电话 如何 解题指南 解决此题要搞清 通话 与 通信 这两个概念 通话是无序的 通信是有序的 解析 不是 互通电话与互通短信不同 与顺序无关 故不是排列问题 思考 判断所给问题是否为排列问题的依据是什么 提示 判断一个问题是否为排列问题的依据是是否有顺序 有顺序且是从n个不同的元素中任取m m n 个不同的元素的问题就是排列 否则就不是排列 如题1中的 4 若提到的是机票便是排列问题 若是票价则不是排列问题 简单的排列问题 技法点拨 利用 树形图 法解决简单排列问题 1 树形图 在解决排列元素个数不多的问题时 是一种比较有效的表示方式 2 在操作中先将元素按一定顺序排出 然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类 再安排第二个元素 并按此元素分类 依次进行 直到完成一个排列 这样能做到不重不漏 然后再按树形图写出排列 典例训练 1 由1 2 3 4这四个数字组成的首位数字是1 且恰有三个相同数字的四位数有 a 9个 b 12个 c 15个 d 18个2 北京 上海 香港 台北四个民航站之间的直达航线 需要准备多少种不同的飞机票 将它们列出来 解析 1 选b 本题要求首位数字是1 且恰有三个相同的数字 用树形图表示为 由此可知共有12个 2 先确定起点 有4种方法 再确定终点 有3种方法 由分步乘法计数原理知 共需要4 3 12种不同的机票 列举如下 起点站终点站飞机票 北京 上海香港台北 上海 北京香港台北 香港 北京上海台北 台北 北京上海香港 思考 解决题2时的易错点是什么 提示 解决题2时 易忽视两个概念 飞机票和票价 如北京到上海 与上海到北京 行程不一样 但票价是相同的 解决这类问题要先搞清是有序的还是无序的 然后再利用树形图进行解决 变式训练 将玫瑰花 月季花 莲花各一束分别送给甲 乙 丙三人 每人一束 共有多少种不同的分法 请将它们列出来 解析 按分步乘法计数原理的步骤 第一步 分给甲 有3种分法 第二步 分给乙 有2种分法 第三步 分给丙 有1种分法 故共有3 2 1 6种不同的分法 列出这6种分法 如下甲乙丙玫瑰花月季花莲花玫瑰花莲花月季花月季花玫瑰花莲花月季花莲花玫瑰花莲花玫瑰花月季花莲花月季花玫瑰花 有限制的排列问题 技法点拨 用树形图法解有限制条件的计数问题 1 限制条件的排列问题一般表现为 某些元素不能在某个 或某些 位置 某个 或某些 位置只能放某些元素 2 解有限制条件的排列问题时 要优先处理特殊元素或优先处理特殊位置 做到 想透 排够 不重不漏 3 根据题意合理构造树形图 再根据树形图写出所求内容 典例训练 1 在1 2 3 4的排列a1a2a3a4中 满足a1 a2 a3 a2 a3 a4的排列个数是 2 a b c d四名同学重新换位 每个同学都不能坐其原来的位子 试列出所有可能的换位方法 解析 1 首先注意a1位置的数比a2位置的数大 可以借助树形图进行筛选 从而得出满足题意的排列 2143 3142 3241 4132 4231 共5个排列 答案 5 满足a1 a2的树形图是 2 假设a b c d四名同学原来的位子分别为1 2 3 4号 列出树形图如下 换位后 原来1 2 3 4号座位上坐的同学的所有可能排法有 badc bcda bdac cadb cdab cdba dabc dcab dcba 1234 b a d c c d a d a c c a d b d a b c 想一想 如何理解题2中的限制条件 解答有限制条件的排列问题应注意什么 提示 1 本题是一个有限制条件的排列问题 假设a b c d四名同学原位子分别为1 2 3 4号 则有如下限制条件 解答本题可以按位置排法的可能性分类 列树形图解决 2 解答有限制条件的排列问题应注意限制条件是 位置 还是 元素 解决这类问题时应注意特殊位置 特殊元素优先考虑的原则 做到不重不漏 有些非数学化的问题 可以转化为数学问题后再求解 为了形象直观 可借助树形图 变式训练 甲 乙 丙 丁四位同学站成一排照相 试写出甲不站在两端的所有站法 解析 先画出树形图 由树形图知 所有可能的站法为 乙甲丙丁乙甲丁丙乙丙甲丁乙丁甲丙丙甲乙丁丙甲丁乙丙乙甲丁丙丁甲乙丁甲乙丙丁甲丙乙丁乙甲丙丁丙甲乙 规范解答 树形图法在解决简单排列问题中的应用 典例 12分 从0 1 2 3这四个数字中 每次取出三个不同数字排成一个三位数 1 能组成多少个不同的三位数 并写出这些三位数 2 若组成这些三位数中 1不能在百位 2不能在十位 3不能在个位 则这样的三位数共有多少个 并写出这些三位数 解题指导 规范解答 1 组成三位数分三个步骤 第一步 选百位上的数字 0不能排在首位 故有3种不同的排法 第二步 选十位上的数字 有3种不同的排法 第三步 选个位上的数字 有2种不同的排法 由分步乘法计数原理得共有3 3 2 18 个不同的三位数 4分 画出下列树形图 7分由树形图知 所有的三位数为102 103 120 123 130 132 201 203 210 213 230 231 301 302 310 312 320 321 8分 2 直接画出树形图 11分由树形图知 符合条件的三位数有8个 201 210 230 231 301 302 310 312 12分 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的失分警示和解题启示总结如下 注 此处的 见规范解答过程 规范训练 12分 四人a b c d坐成一排 a不坐在排头有多少种不同的坐法 写出所有的坐法 解题设问 1 本题的限制条件是什么 2 解决本题的方法是什么 a不坐在排头 树形图法 规范答题 6分 每一个图形2分 由 树形图 可知 所有坐法为bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cbda cdab cdba dacb dabc dbac dbca dcab dcba 12分 1 下列问题属于排列问题的是 从10个人中选2人分别去种树和扫地 从10个人中选2人去扫地 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 从数字5 6 7 8中任取两个不同的数作幂运算 a b c d 解析 选a 由排列的定义知 为排列问题 2 从4 5 6三个数字中任取两个数字 组成两位数 组成不同的两位数共有 a 4个 b 5个 c 6个 d 8个 解析 选c 从3个数字中选取2个数字组成两位数 共有3 2 6个两位数 3 a b c三名同学照相留念 成 一 字形排队 所有排列的方法种数为 a 3 b 4 c 6 d 12 解析 选c 所有的排法有 a b c a c b b a c b c a c a b c b a 共6种 4 有5名男生和2名女生 从中选出5人分