鲁棒故障检测滤波器设计.doc

本科毕业设计（论文）题目线性系统鲁棒故障检测滤波器的设计学生姓名： 张 强 专 业： 通信工程 指导教师： 周 磊 完成日期： 2013年5月31日 诚 信 承 诺 书本人承诺：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签 名： 日 期： 本论文使用授权说明本人完全了解南通大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。（保密的论文在解密后应遵守此规定）学生签名： 指导教师签名： 日期： 南通大学毕业设计（论文）摘 要几十年来，鲁棒故障诊断已经成为故障诊断领域中重要的研究方向之一。在考虑分析近年来国内外各领域中故障诊断技术的发展和问题处理的基础上，对于在模型匹配的LTI系统故障检测的鲁棒性问题上，选择LMI（线性矩阵不等式）的方法来进行鲁棒故障诊断的研究计算，并应用于不确定线性时不变系统、时滞、等效变换等系统的故障检测中。在LMI方法的基础上，针对系统的不确定因素，使用线性矩阵不等式的方法来设计最优的鲁棒故障诊断观测器，并从中得出残差产生器，然后通过残差评价公式计算出残差评价值，最后将残差评价值与设计的阈值进行比较来判断控制系统是否有故障发生。通常在故障诊断过程中，H范数用来表征残差在外界信号干扰下的鲁棒性，而H-则用于表征故障发生时检测的灵敏度。通过对残差误差的计算和分析，将多个方面的数值统一转换为H范数，从而将故障诊断的设计问题转变为对H范数的优化问题。此次，在不确定线性时不变系统中，研究的是具有未知输入和建模误差的鲁棒故障检测滤波器的设计问题。通过使用一个最佳的残差产生器（假设没有建模误差），在具有建模误差的LTI系统的基础上，作为为其设计的鲁棒故障检测滤波器的基准残差模型，并拟定鲁棒故障诊断滤波器设计作为一个H模型匹配问题。同时，通过使用一些最近的H优化的研究结果，然后由线性矩阵不等式（LMI）制定提交一个优化问题的解决方案。其主要结果包括：一个最佳基准残差模型的发展；鲁棒故障检测滤波器设计问题的制定；基于LMI求解参数上的鲁棒故障诊断滤波器存在的充分条件和它的建设推导；还有故障诊断自适应阈值的测定。一个说明性的设计实例被用来证明提出方法的有效性。关键词：故障诊断滤波器，鲁棒性，线性矩阵不等式，H优化，模型匹配I南通大学毕业设计（论文）ABSTRACT The field of fault diagnosis for control systems has become an important topic of research in the control community over the last few decades. Recently, special attention has been paid to the problem of robustness of fault diagnosis methods based on analytical model for uncertain systems. According to the analysis of current developments and problems on fault diagnosis technologies, this thesis investigates the problem of robust fault diagnosis for uncertain systems based on a linear matrix inequality approach. The main work of this method is to construct an optimal fault detection observer to acquire a residual generator, and then the evaluation value of the residual is calculated by an evaluation function. The observer gain can be obtained by solving a convex minimization problem with a set of linear matrix inequality constrains. Through comparing the residual evaluation value with a threshold, it is easy to judge whether there is a fault in the control system. In fault detection field, used H norm to describe the robustness of the residual against unknown uncertainties an disturbances, and the H- index described the best sensitivity of the residual to the fault. The main contributions consisted of the formulation of the multi-objective optimization FD problem as a H norm optimization problem by using the residual error instead of residual. This time, the robust fault detection filter design problem in uncertain linear time-invariant systems with both unknown inputs and modeling errors is studied. By using an optimal residual generator (assuming no modeling error), on the basis of the modeling error LTI system, as the basis of its design robust fault detection filter residual model, and formulate robust fault detection filter design as a H model-matching problem. Meanwhile, by using the H optimization results, and then developed by the linear matrix inequality (LMI) submitted an optimized solution to the problem. The main results include: the development of an optimal reference residual model; robust fault detection filter design problem formulation; the derivation of a sufficient condition for the existence of a robust fault detection filer and a construction of it based on the LMI solution parameters; the determination of adaptive threshold for fault Diagnosis. An illustrative design example is used to demonstrate the effectiveness of the method.Keywords: Fault detection filter, Robustness, Linear matrix inequality (LMI), Model matching目 录摘 要IABSTRACTII目 录IV第一章 绪 论11.1本课题研究的意义11.2研究领域现状21.3发展趋势21.4主要工作3第二章 基于LMI的鲁棒故障诊断的理论基础42.1 线性矩阵不等式（LMI）42.1.1 线性矩阵不等式的定义42.1.2 定义线性矩阵不等式的目的42.1.3 线性矩阵不等式的优点52.2 鲁棒故障诊断52.2.1 故障诊断的基本概念52.2.2 故障诊断的任务62.2.3 故障诊断系统的性能指标62.2.4 故障的鲁棒性和自适应性72.3 本章小结7第三章 MATLAB的LMI工具箱基本知识应用73.1 线性矩阵不等式（LMI）问题与求解73.2 LMI工具箱的相关函数使用语法93.3本章小结10第四章 基于LMI方法的不确定LTI系统故障检测114.1 问题描述114.1.1 残差生成114.1.2 残差估计134.2 设计方案144.3 鲁棒故障检测滤波器的综合154.3.1参考模型164.3.2 RFDF设计的解决方案164.3.3自适应阀值的设计184.4 本章小结19第五章 系统的实现与测试195.1 数值算例195.2 本章小结21结束语22参考文献23致 谢24附 录25第一章 绪 论1.1本课题研究的意义事实上，任何一个系统，从某种意义上说，都是一台“故障发生器”。即使采用最严格、最精密的可靠性设计与管理，作为准确合格对立面的故障却是一直存在的，只是故障率的高低，故障发生后的后果轻重而已。因此，研究鲁棒故障检测的问题，对于保证系统的可靠性和精确度来说是非常重要的。自从维纳提出了控制理论至今，经过多年的发展，自动化理论和技术逐步成熟，基层的自动化水平已经能够满足大多数民用和工业生产的需要，随着现代化技术和计算机控制水平的不断提高，如今的控制系统已经逐步向大型化和复杂化的规模靠拢，其自动化的程度也越来越高。虽然，随着自动化程度的提高，社会劳动的生产效率也随之提升，从而使得生产成本降低，但在如此规模化、效率化的生产过程中，系统的故障也随之频发，尤其是在某些工业工程领域中，系统的故障会导致实验或生产失败而带来经济损失，甚至会造成灾难性的后果。因此，为了提高系统的可靠性和安全性，人们迫切需要建立一个监控系统对控制系统进行故障检测，监测控制系统的实时的运行状态，检测出系统发生的故障，并对故障产生的原因、故障发生的频率以及由此而可能引发的危害进行处理分析，通过分析出的结果，实施相关的措施，防止系统灾难性事故的发生。这样就需要我们不断的研究和开发控制系统的故障检测理论和技术。80年代是控制系统故障诊断理论蓬勃发展的一个阶段1。在此期间提出了多种新的理论方法，使用的故障诊断方法主要是基于观测器方法、系统辨识和参数估计方法。不过，这一阶段故障诊断技术的应用主要集中于航天、轮渡、发电厂、核电站等一些专门的领域，普通的民用或小型军用等工业控制领域涉及的不是特别的多。90年代以后，人们对于控制系统故障诊断理论的研究更加的深入，各种方法互相渗透和融合。应用的领域也有了很大的扩展。参数估计和观测器方法仍然是使用最多的故障诊断方法，但近年来使用神经网络、模糊逻辑及多种方法组合的故障诊断方法在明显的增加。鲁棒控制方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。近年来，随着鲁棒控制理论的日益成熟5，鲁棒故障诊断理论也在飞速的发展着，但与鲁棒控制不同的是，鲁棒故障诊断不但要求产生的残差对外部的扰动和不确定性有鲁棒性，还要求其满足残差对于故障有灵敏性，这就要求在设计时，其性能指标要同时满足灵敏性和鲁棒性，因此也产生了许多不同的混合方法。通过三十多年来的不断发展，鲁棒故障诊断技术已经得到了广泛深入的研究，已经提出了众多可行之法。故障诊断技术已经在人造卫星、航天飞机、家用电器、无人飞机自动驾驶、大型的电网系统、汽车、船舶发动、输油输气管线、冶金设备、机械控制机床等各个领域得到了广泛的应用，并从中取得了丰富的研究成果，创造了非常可观的经济效益。1.2研究领域现状当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论主要包括测量、比较和执行三个部分。测量的变量与期望值相比较，用得出的误差纠正调节控制系统的响应。早期，鲁棒控制主要研究的是单变量系统（SISO）在微小摄动下的不确定性，具有代表性的是Zames提出的微分灵敏度分析。然而，在实际的运行过程中系统中参数的变化是由故障导致的，由此产生的变化是有界的摄动。所以，就出现了新的现代鲁棒控制6。在对物理系统进行仿真或控制系统设计时，物理系统的数学模型是必不可少的。所谓的自然科学，实际上就是分门别类地研究各种物理、化学等现象并使用各种形式的模型来描述和再现这些现象的学问。工程学中通常使用的模型是以微分方程、差分方程或者同级数据形式表达的模型。可以说，现代控制系统的设计基本上都是基于实际控制对象数学模型的。然而，用数学模型不可能做到完美的描述实际物理系统的物理现象。即使能做到，也只会使模型更加复杂，从而难以抓住主要矛盾。工程实践尤其如此。因为大多数工程系统不是与外界隔绝的，它们不断受到来自周围环境的影响。这些外界影响很难用模型准确的描述。这就是说，实际系统与其数学模型之间存在着差距。这个差距叫做模型不确定性。，鲁棒控制的目就是，提炼出模型不确定性的特征性质，并把有关模型不确定性的信息充分运用到控制系统的设计中，以求最大限度的提高实际控制系统的性能。经过多年的研究，鲁棒控制理论已经比较成熟，在时域和频域方面都取得了令人瞩目的成就，其代表性的研究方法有多项式代数方法，H控制理论，理论方法及基于状态空间的时域法等。而对于鲁棒故障检测滤波器的设计，则存在多种研究方法，例如：基于LMI的、基于多目标约束的、基于观测器的、关于一类时滞系统等效变换的、一类切换线性系统的、还有卡尔曼滤波的等等。1.3发展趋势故障诊断技术发展几十年来，在工业领域得到了广泛的应用。从诊断技术的个分支技术来看，美国占有领先地位。美国的一些公司，如Bently、HP等，他们的监测产品基本上代表了当今诊断技术的最高水平，不仅具有完善的监测功能，而且具有较强的诊断功能，在宇宙、军事、化工、能源、汽车等方面具有广泛的应用。美国西屋公司的三套人工智能诊断软件（汽轮机、发电机和水化学）对其所产机组的安全运行发挥了巨大的作用。还有美国通用电器公司研究的用于内燃电力机车故障排除的专家系统DELTA、美国NASA研制的用于动力系统诊断的专家系统、Delio Products公司研制的用于汽车发动机冷却系统噪声原因诊断的专家系统ENGING COOLING ADCISOR等。近年来，由于微型计算机特别是便携机的迅速发展，基于便携机的在线、离线监测与诊断系统日益普及，如美国生产的M6000系列产品。1.4主要工作 第一章为绪论，主要介绍鲁棒控制和故障检测的发展背景和意义、研究现状以及发展趋势。第二章为理论知识，主要了解鲁棒故障检测中基于LMI的设计相关的理论基础。着重给出了线性矩阵不等式及相关知识、鲁棒故障诊断。第三章为MATLAB中LMI工具的介绍，还包括一些主要相关函数的使用。第四章是基于LMI方法设计的不确定LTI系统的故障检测滤波器，主要讲述初始问题的公式化、残差的产生和评价、设计方案、模型匹配等。第五章为算例的仿真设计，对理论的有效性进行验证。 2第二章 基于LMI的鲁棒故障诊断的理论基础2.1 线性矩阵不等式（LMI）2.1.1 线性矩阵不等式的定义线性矩阵不等式的表达式如下 （2-1）其中：是n个实数向量称为决策变量；是实对称矩阵，即。式（2-1）中不等式小于零的意思是负定的，即，u为非零实向量。因为实对称矩阵的所有特征值均为实数。式（2-1）等价于所有的特征值均是负的。也就是说，最大特征值。LMI的求解问题就是要找到一组决策变量使得（2-1）成立。若式（2-2）成立 （2-2）则称之为非严格LMI。定义2.1.1：线性矩阵不等式是一个如下所示的不等式 （2-3）其中，F是一个仿射函数的有限维向量空间的映射到H或S上。2.1.2 定义线性矩阵不等式的目的线性矩阵不等式（2-3）定义了x上的一个凸约束，即线性矩阵不等式的解是凸集。事实上，如果，那么 其中，F是仿射集且不等式满足。 虽然凸约束看起来比较特殊，但是可以证明凸集壳用这种表达方式。这些集合具有比一般凸集更多的性质。比如其中一个就是Schur补性质： 给定对称矩阵：其中，则以下三个条件是等价的：（1） ；（2） ，；（3） ，。2.1.3 线性矩阵不等式的优点控制论中，识别信号处理的许多优化问题可用线性矩阵不等式表示。显然，如果这些不等式可用高效可靠的方式来求解，那么唯一的问题在于求解线性矩阵不等式集。由于线性矩阵不等式定义了一个凸约束变量x，所以小勇函数f的最优化问题包含最小化（或者最大化）问题。且属于凸优化问题。由上面说的，构造这些线性矩阵不等式可以显示出：如果性能函数f是凸的，那么优化理论的优势是可行的。 2.2 鲁棒故障诊断2.2.1 故障诊断的基本概念所谓的故障诊断，广义上通常作为故障检测、分离和辨识的通称；狭义上特指故障分离和故障辨识。故障检测是指利用一定的技术手段，确定系统是否发生故障。故障检测根据被诊断对象的性质，可以采用不同的故障检测方法。对于同一个故障采用不同的方法，诊断效果往往很不一样，这就需要根据一定的性能指标对不同的方法进行评价。故障分离是指在故障检测之后，确定故障的种类和故障发生的部位。在有些实际应用中，故障被检测到后，就可以满足实际要求，维修人员经过复查后就可以对元器件的故障进行维修或直接更换元器件。但在有些自动化程度要求较高的系统中，只检测出系统的故障往往是不够的，还需要进一步确定是哪个部位发生了故障，以便在线的故障容错系统对其进行补偿或者维修人员可以准确地找到发生故障的元部件。相对于故障检测来讲，故障分离具有更大的难度，因为各种不同的故障都可以引起残差度量值超出阈值，要区分开始哪一个故障引起的，往往需要更多的工作。故障辨识是指在故障分离后，确定故障的大小以及故障发生的时间、位置和故障性质，并对故障加以评价等。故障辨识是故障诊断中最难和最复杂的一个问题，一般在故障检测和分离后，主要完成故障的幅值大小等的确定和识别。对于一些可参数化的故障，其故障幅值大小的识别可以用一些滤波方法和估计方法加以确定。残差是指故障检测单元对系统被监测量的预测值和系统的实际输出值之间的差值。监测残差是故障检测的主要方法之一，采用一定的残差度量指标（如残差信号的范数），并设立相应的阈值，就可以进行故障检测。当系统中没有故障发生时，它的变化主要反映了系统外界干扰、模型不确定性对系统输出的影响，此时残差的度量输出值小于设定的阈值；当想发生故障时，系统的实际输出发生明显变化，而故障检测单元预测输出仍然为无故障时的输出，残差会有明显的变化，残差的度量输出值会大于无故障是的情形，当其值大于阈值时，认为系统发生了故障。2.2.2 故障诊断的任务当系统发生故障时，如何找出故障的特性描述，并利用它进行故障检测、预报、分离、辨识，进而实现故障决策是故障诊断的主要任务。它包括故障特征提取、故障建模、故障检测、故障分离与辨识、故障预报和故障评价与决策等几个方面的内容，其中故障的检测、预报、分离和辨识可以包含在故障诊断方法的研究中。2.2.3 故障诊断系统的性能指标故障检测系统性能指标包括：对故障的灵敏程度；故障检测的准确性；故障检测的快速性。故障诊断的性能指标包括：故障分离能力和故障辨识的准确性。2.2.4 故障的鲁棒性和自适应性故障诊断系统的鲁棒性是指故障诊断系统在存在噪声、干扰、建模误差的情况下。正确的完成故障诊断任务，同时保持满意的误报率和漏报率的能力，保证对故障的敏感性。一个故障诊断系统的鲁棒性越强，表明它受噪声、干扰、建模误差的影响越小，其可靠性也就越高。自适应性是指故障诊断系统对于变化的被诊断对象所具有的自适应能力，并且能够充分利用由变化产生的新信息来改善自身，如设计相应的故障诊断系统、时变的故障检测阈值等。引起这些变化的原因可以是被诊断对象的外部输入的变化、结构的变化或由诸如生产数量、原材料质量等原因引起的工作条件的变化。对时变系统，保证良好的适应性是非常重要的。只有有了适应性，才可以保证系统的故障检测的“精、准、快”指标，才可以对故障进行可行的分离和辨识。2.3 本章小结本章主要介绍线性矩阵不等式相关概念知识，并从中说明定义的目的和线性矩阵不等式的相关优点和有关性质，加深对线性矩阵不等式的认识和了解。同时也讲述了鲁棒故障诊断的概念、任务、性能指标以及其鲁棒性和自适应性。由此来认识基于LMI方法的鲁棒故障诊断。第三章 MATLAB的LMI工具箱基本知识应用3.1 线性矩阵不等式（LMI）问题与求解在控制、辨识和信号处理等领域中，许多问题都可以转化为用线性矩阵不等式来描述的优化问题。这里介绍三类标准的线性举证不等式问题及求解：一是可行性问题（LMIP）；二是特征值问题（EVP）；三是广义特征值问题（GEVP）。在MATLAB软件的线性矩阵不等式工具箱中给出了三类难题的求解器。控制系统的一些性能指标、稳定性判据可以转化为LMI的三类标准问题，其原因是由于一方面Lyapunov方法易得到凸的或拟凸的条件，另一方面LMI本身能表示范围广泛的不同类凸约束。基于内点法提供的与上述相对应的三类标准线性矩阵不等式问题求解函数：feasp，mincx，gevp 9。每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题，例如：A(x)B(x)。mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题，例如最小化cx，在限制条件A(x)B(x)下。gevp：解决广义特征值最小化问题。例如：最小化lambda，在0B(x),A(x)lamba*B(x)限制条件下。要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。对于以下类型的任意的LMI问题N*L(X1,.,XK)*NM*R(X1,.,XK)*M其中X1,.,XK是结构已经事先确定的矩阵变量。左侧和右侧的外部因子N和M是给定的具有相同维数的矩阵。左侧和右侧的内部因子L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。每一个块由X1,.,XK以及它们的转置组合而成形成的。解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1,.,XK。2、描述每一个LMI的每一项内容，此处介绍两个术语：矩阵变量：例如你要求解X满足A(x)B(x)，那么X就叫做矩阵变量。项：项是常量或者变量。常项是确定的矩阵。可变项是哪些含有矩阵变量的项，例如：X*A,X*C。如果是X*A+X*C，那么记得要把它当成两项来处理。此外，该工具箱还可用于以下几个方面。（1） 多目标控制器综合，包括LQG综合，H综合和极点配置综合。（2） 系统鲁棒性的分析测试，包括检测时不变线性系统的二次稳定性，带有参数的Lyapunov稳定性，混合的分析以及带有非线性成分的Popov准则。（3） 系统的辨识、滤波、结构设计、图形理论、线性代数以及加权值等问题，LMI工具箱还提供了两个交互的图形用户界面（GUI）：LMI编辑器和Magshape界面。用户可以在LMI编辑器中很方便地描述线性矩阵不等式9。3.2 LMI工具箱的相关函数使用语法需要特别注意的是，Matlab中LMI工具并不在鲁棒控制工具箱boxrobust中，而是在专门的工具箱boxlmi中12。其中主要有几个重要的函数。（1）setlmis(lmisys0)：初始化新的LMI系统。方法：键入setlmis（ ）。（2）X=lmivar(type,struct)：增加新的矩阵变量x到当前的LMI系统中。type=1:定义块对角的对称矩阵。每一个对角块或者是全矩阵，标量，或者是零阵。如果X有R个对角块，那么后面这个struct就应该是一个Rx2阶的的矩阵，在此矩阵中，struct(r,1)表示第r个块的大小，struct(r,2)表示第r个块的类型0（0）来表示其正（负）定性。同样，M0（0）表示其正（负）半定。所有的矩阵，如果他们的尺寸没有被明确陈述，则被认为是兼容的。我表示，近似尺寸的单位矩阵，对于一个向量函数h(t)L2(0;)，我们定义为：.传递函数G(s)的H范数表示为，我们也可以定义，这里和分别表示的最大和最小奇异值。 在本文中，我们研究的RFDF线性时不变系统（LTI）的设计问题描述为 ， （4-1）， （4-2）其中，是状态向量，是控制输入向量，测量输出向量，是未知的输入向量（包括干扰，无关故障以及一些模有界的非结构模型的不确定性），是被检测和分离的故障。A、B、C、D，是已知的具有适当维数的矩阵。不失一般性，假设是常模有界。是由下是给出的建模误差，其中是已知矩阵，且。表示 。以下的假设也用在（A1） 是渐近稳定的， （A2） (C,A)是可检测的，（A3） 对所有的行满秩。4.1.1 残差生成 一般而言，一个故障检测系统包括两个部分：一个残差产生器和残差求值程序包括一个阀值与一个决策逻辑单元。为了残差生成，我们将在下列形式中使用所谓的故障检测滤波器： ， （4-3） ， （4-4） ， （4-5）其中，和分别表示状态和输出估计向量，r是所谓的残差信号。RFDF的设计参数是取得增益矩阵H和残差加权矩阵V的观测器。为了描述RFDF（4-3）-（4-5）的动态，我们首先考虑和r。可以表示为： （4-6） （4-7）需要注意的是，对残差信号的动力学依赖不只对f，d和u，同时也对状态x。因此，设计基于观测器的RFDF的问题是这项工作的主要目标之一，可以被描述为设计矩阵H，V使得：l 是渐近稳定的，l 所生成的残差r对故障f尽可能灵敏，对于未知输入d、控制输入u和模型不确定性尽可能坚实。 在FDI中有许多计划实现鲁棒性。其中之一是引入一个参考模型，然后制定设计的残差发生器作为一个标准的模型匹配问题。另一个广泛采用的方式是介绍一个性能指标并制定FDF设计问题作为下面的优化问题的其中一个:其中的，其中的或者，此外 其中的 ， （4-8） 和分别是从、到的传递函数矩阵。表示的第个非零奇异值。制定性能指数在（4-8）中表示所有的传递函数矩阵的非零奇异值都考虑了全频域。然而，大多数第二方案的现有方法只适用于带有未知输入的LTI系统，而用他们的一个扩展来处理建模误差的不确定系统却是困难的。一般来说，不存在这样的解决方案（H，V）的性能指标J在（4-8）中对所有的，是最小化的。与此不同，前者方案可行，由于标准的模型匹配问题的制定，也可用于处理不确定系统的使用优化工具，如LMI技术。在这里，我们建议使用一个参考残差模型来描述期望的行为的残余矢量r，即，其中，。RFDF设计的优化准则是醉话的情况之间的距离生成的残余和理想化的参考残差信号，而在最坏情况下的距离最小化意义上的是设计规范提供的故障检测滤波器的鲁棒性。然后，RFDF（4-3）（4-5）的设计被制定作为一个模型匹配问题，那就是去找到合适的H和V，AHC是渐近稳定的且以下的性能指标被变小了： （4-9）其中，。4.1.2 残差估计FDF的设计之后，剩下的FDI重要任务是残差估计。一个广泛采用的方法是选择一个所谓的阀值，在此基础上，使用下面的逻辑关系对故障进行检测， （4-10） ， （4-11） 其中所谓的残差估计函数是由， （4-12）来确定，是有限时间窗口，注意时间窗口长度是有限的（即，T代替）。因为一个残差信号的估计在整个时间范围内是不确定的，所以期望他的故障能尽可能的被检测出来。4.2 设计方案设计RFDF的想法基于使用性能（4-9）。很明显，这种方法的主要困难在于从FDI观点上选择一个合适的具有重要物理意义的参考模型。选择不当参考模型（一个具有不切实际性能属性的参考模型）会导致残差发生器在FDF中具有较差的鲁棒性。在大多数的早期的工作中，参考残差模型通常是给定的形式 （4-13）传递函数可以设置为满秩向量，对角线或单位矩阵。这样表示的解释是，所谓的参考残差，只有敏感故障，u和d是分离的。然而，在许多情况下甚至没有建模误差，产生的残差没有完全从未知输入d中解耦。因此，对于未知输入耦合情况下，这样一个参考残差模型形式在（4-13）中时不可能完成的。我们的设计方案是结合早期提到的两个方案。它包括两个步骤：1、系统（4-1）-（4-2）的一个最佳FDF设计，假设，旨在于最大的故障检测率和最小的误警率之间的最佳折中方案。2、设定最佳的FDF作为在步骤1中的参考模型和为系统（4-1）-（4-2）设计的RFDF（也都考虑在内），通过使用LMI技术求解标准H模型匹配问题。该设计方案背后的基本想法是参考模型对应于一个理想的解决方案，从而确保最大故障检测率和最小误报率之间的最佳折中，以防止系统模型是完全已知的（即没有建模错误， ）。因此，一个RFDF的设计目标是找到一个在参考模型（理想的解决方案）和已被设计的FDF（实际解决方案）之间致使最小差别的FDF。根据假设（A1）-（A3）中，第一步骤是确定通过施加一个优化的基准残差模型的方法来设计的额定的FDF。不失一般性，我们假设实现一个标称的最佳故障检测滤波器（）在第一个设计步骤之后，通过 （4-14） （4-15）因此，整个系统可以描述为 （4-16） （4-17） 其中， 在第二步中，我们由式（4-3）-（4-5）设计一个稳定的RFDF，通过选择H和V，以这样的方式产生的残差r在H规范意义上尽可能靠近跟踪残差。换句话说，这样的目的是确定一个观测器增益矩阵H和权重矩阵V，这样就会出现：1、系统（4-16）-（4-17）是渐近稳定的2、被变小了。在这里，选择的参考残差模型是一个标称案例（）FDF设计的最佳残差发生器，一般来说，在涉及的模型不确定性案例中不是最佳的一个。RFDF设计的主要思想是最小化未知输入的影响和残差控制信号的同时保持在残差中的故障灵敏度。这里使用的优化准则对RFDF设计是在最差的情况下残差r和理想残差间的距离，定义的参考模型，对于非零。4.3 鲁棒故障检测滤波器的综合在此有三个问题有待解决，即：（a） 确定的基准残差模型，（b）RFDF设计的解决方案，（c）自适应阀值的设计。4.3.1参考模型考虑到LTI系统（4-1）-（4-2）和基于观测器FDF的设计（4-3）-（4-5）。在和的情况下，已经开发了一个优化的设计方法，通过基于观测器FDF求解最小化问题（4-8）。在此基础上，我们制定标称情况下最佳FDF设计问题作为下面的优化问题：，其中，。 （4-18）假设（A1）-（A3）被满足时，最优的FDF问题的状态空间分析的解决方案可以在下面的定理中通过直接利用定理2来获得。定理1：对于给定的系统（4-1）-（4-2）且，假设假设的（A1）-（A3）成立，那么 （4-19） ， （4-20）解决优化问题（4-18），其中是代数方程黎卡提微分的一个解决方案 使用定理1，我们得到了一个为没有建模错误的LTI系统设计的最佳FDF（故障检测滤波器）的解决方案，可以作为RFDF设计的基准残差模型。推论1：在（4-19）-（4-20）中给定的和为LTI系统（4-1）-（4-2）解决了最佳故障检测滤波器的设计问题，且。相应的参考残差模型有下式给出：， （4-21）， （4-22）4.3.2 RFDF设计的解决方案下面是制定RFDF（鲁棒故障检测滤波器）设计问题作为一个模型匹配问题，并通过LMI制定来解决它。为此，下面的引理是必要的，可以轻松的建立基于有界的实引理。引理1：考虑到不确定的LTI系统，。鉴于，如果存在标量和矩阵，正如LMI （4-23）所持有，然后对任何，系统是渐近稳定的，且满足。现在，RFDF设计问题提早制定可以利用引理1来解决。具体来说就是：1、 为一个足够大的，找到一个合适的观测器增益矩阵H和加权矩阵V，使系统（4-16）-（4-17）是渐近稳定的，且满足性能 （4-24）2、获得解决方案H和V正如是（4-24）的可行性的最大下届。 对于给定的一个充分条件，以满足性能（4-24）可以通过应用引理1来获得，正如下面定理所表达的。因为这个定理可以通过考虑系统（4-16）-（4-17）很容易的被建立，其证据被省略了。 定理2.给定，如果存在标量和矩阵，这样的LMI （4-25） 持有，然后系统（4-16）-（4-17）是渐近稳定的，性能（4-24）是满轶的。此外，由 （4-26）给出了观测器增益矩阵，其中 注2.鉴于，,定理2不仅提供了一个充分条件不确定的配置线性定常能控系统(4-1)-(4-2)来满足H性能(4-24)，它也给出了一个数值有效和可靠地方法来确定一个观测器增益矩阵H和加权矩阵V，使用现成的软件比如Matlab LMI工具箱。为了实现使RFDF的尽可能小的（4-24）可行性，定理2的重复应用是必需的。4.3.3自适应阀值的设计 考虑到残差生成系统的设计 ， （4-28） （4-29） （4-30） 通过（4-12）选择作为残差评价函数，我们有 其中和如下定义： 此外，无故障情况下，残差评价函数是，其中 我们选择阀值作为，其中是常数，可以评估为离线，然而u是假定为已知上线，可以评估为上线，通过，其中，可以通过使用定理1来确定。在的假设下，我们可以进一步有。因此，阀值可以通过以下来确定 ， （4-31）请注意，所定义的阀值，有两部分组成：不变部分和，它取决于设备输入u和可在线计算。因此，改变设备输入u意味着一种新的阀值的确定。在这个意义上说，该阀值是自适应的。4.4 本章小结本章进行了问题的描述，残差生成、残差评价的计算，鲁棒故障检测滤波器的设计，鲁棒故障检测滤波器的综合及其三个主要问题的解决方案，自适应阀值的确定，参考模型 的选择等，并在其中穿插各种定理和引理的使用，以完成问题解决的目标证明。通过一系列的步骤和验证，逐步实现不确定LTI系统基于LMI方法的鲁棒故障检测滤波器的设计。主要通过式（4-1）（4-5）来得出残差信号r，并由此来决定残差评价函数，得出其函数图象，与在此情况下得出的阈值进行比较从而得出是否有故障发生，故障发生多长时间后被检测到，由此来验证此滤波器的设计。第5章 系统的实现与测试5.1 数值算例为了说明建议的故障检测的有效性的计划，在本节中给出了一个算例。考虑不确定LTI系统被（4-1）-（4-2）参数支配 使用定理1和推论1，我们可以参考残差模型（4-21）-（4-22） 基于定理2的重复应用，被减小到0.75，这对应于（4-26）的可行性的限制值。相应的观测器增益矩阵H和权重矩阵V是 为了演示设计的有效性，一个未知输入d被假定为带限白噪声功率0.0005（零阶保持与采样时间0.1s），输入u被取为单位阶跃信号。故障信号f是模拟为单位幅值的脉冲，发生5秒至10秒（否则为0）。利用引理1，我们有。假设的上限是0.15，则阀值可以被确定为，。5.2 本章小结基于观测器的RFDF设计问题被用于研究不确定LTI系统的两个未知输入和建模误差。我们研究的主要贡献是引入最佳参考残差模型，编制RFDF设计作为一个模型匹配问题。此外，LMI求解过程得到有效和可靠的合成理想RFDF滤波器。基准残差模型，它可以被用来描述所需的行为残差的故障和干扰，在没有造型错误的FDF情况下，是最佳的解决方案。本文所示基础上所获得的基准残差模型中，RF