第31章与圆有关的位置关系.doc

A B C O 最新最全 2012 年全国各地中考数学解析汇编 按章节考点整理 第三十一章 与圆 有关的位置关系 31 1 直线与圆的位置关系 11 2012 山东省荷泽市 山东省荷泽市 11 3 如图 PA PB 是 o 的切线 A B 为切点 AC 是 o 的直径 若 P 46 则 BAC 解析解析 因为 PA PB 是 o 的切线 所以 PA PB OA PA 又因 P 46 所以 PAB 67 所以 BAC OAP PAB 90 67 23 答案答案 23 点评点评 当圆外一点向圆引两条切线 可以利用切线长定理及切线的性质定理 利用等腰 三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数 14 2012 连云港 14 3 分 如图 圆周角 BAC 55 分别过 B C 两点作 O 的切线 两切线相交于点 P 则 BPC O P B A C 解析解析 连结 OB OC 则 OB PB OC PC 则 BOC 110 在四边形 PBOC 中 根 据四边形的内角和为 360 可得 BPC 70 答案答案 70 点评点评 本题考查了圆周角与圆心角的关系以及切线的性质 14 2012 湖南湘潭 14 3 分 如图 的一边是 O的直径 请你添加一个ABC AB 条件 使是 O的切线 你所添加的条件为 BC 解析解析 根据切线的定义来判断 BC AB 或 ABC 900 答案答案 BC AB 或 ABC 900 点评点评 此题考查此题考查切线的定义 圆的切线垂直于过切点的半径 20 2012 浙江丽水浙江丽水 8 分 分 20 题 题 本题 8 分 如图 AB 为 O 的直径 EF 切 O 于点 D 过点 B 作 BH EF 于点 H 交 O 于点 C 连接 BD 1 求证 BD 平分 ABH 第 14 题图 2 如果 AB 12 BC 8 求圆心 O 到 BC 的距离 解析 1 欲证 BD 平分 ABH 只需证 OBD DBH 连接 OD 则 OBD ODB 为止只需证 ODB DBH 即可 2 过点 O 作 OG BC 于点 G 在 Rt OBG 中 利用勾股定理即可求得 OG 的值 解 1 证明 连接 OD EF 是 O 的切线 OD EF 又 BH EF OD BH ODB DBH 而 OD OB ODB OBD OBD DBH BD 平分 ABH 2 过点 O 作 OG BC 于点 G 则 BG CG 4 在 Rt OBG 中 OG 5246 2222 BGOB 点评 已知圆的切线 常作过切点的半径构造直角三角形 以便于利用勾股定理 求解问题 20 2012 福州 20 满分 12 分 如图 AB 为 O 的直径 C 为 O 上一点 AD 和过 C 点 的切线互相垂直 垂足为 D AD 交 O 于点 E 1 求证 AC 平分 DAB 2 若 B 60 CD 求 AE 的长 2 3 解析 1 由 CD 是 O 的切线 C 是切点 故优先考虑连接 OC 则 OC CD AD OC 因 此易证 AC 平分 DAB 2 由 B 60 可联想到 30 的直角三角形及用解直角三角形 的方法求出 AE 由 B 60 可得 1 3 30 因为 CD 因此可得 AC 从2 34 3 而可求得 AB 的长 连接 OE 易知 OEA 是等边三角形 故可求得 AE 的长 本题还可连接 CE AB 等来求出 AE 答案 1 证明 如图 1 连接 OC CD 为 O 的切线 OC CD OCD 90 AD CD ADC 90 OCD ADC 180 AD OC 1 2 OA OC 2 3 1 3 即 AC 平分 DAB 2 解法一 如图 2 AB 为 O 的直径 ACB 90 又 B 60 1 3 30 在 Rt ACD 中 CD 2 3 AC 2CD 4 3 在 Rt ABC 中 AC 4 3 0 4 3 8 coscos30 AC AB CAB 连接 OE EAO 2 3 60 OA OE EAO 是等边三角形 AE OA 4 1 2 AB 解法二 如图 3 连接 CE AB 为 O 的直径 ACB 90 又 B 60 1 3 30 在 Rt ACD 中 CD 2 3 0 2 3 6 tantan30 CD AD DAC 四边形 ABCE 是 O 的内接四边形 B AEC 180 又 AEC DEC 180 DEC B 60 在 Rt CDE 中 CD 2 3 0 2 3 2 tantan60 DC DE DEC AE AD DE 4 点评 本题通过在圆中构造有关图形 考查了圆的切线等有关性质 平行线的判定及性质 等腰三角形的判定及性质及解直角三角形 考察逻辑思维能力及推理能力 具有较强的综 合性 难度中等 23 2012 贵州铜仁 23 12 分 如图 已知 O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E AB CD O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F 1 求证 CD BF 2 若 O 的半径为 5 cos BCD 5 4 求 线段 AD 的长 分析 1 由 BF 是圆 O 的切线 AB 是圆 O 的直径 根据切线的性质 可得到 BF AB 然后利用平行线的判定得出 CD BF 2 由 AB 是圆 O 的直径 得到 ADB 90 由圆周角定理得出 BAD BCD 再根 据三角函数 cos BAD cos BCD 5 4 AD AB 即可求出 AD 的长 解析 1 证明 BF 是圆 O 的切线 AB 是圆 O 的直径 BF AB CD AB CD BF 2 解 解 AB 是圆 O 的直径 ADB 90 圆 O 的半径 5 AB 10 BAD BCD cos BAD cos BCD 4 5 AD AB 10 5 4 cos ABBADAD 8 AD 8 点评 本题考查了切线的性质 圆周角定理和解直角三角形 此题难度适中 圆是一个 特殊的几何体 它有很多独到的几何性质 知识点繁多而精粹 圆也是综合题中的常客 不仅会联系三角形 四边形来考察 代数中的函数也是它的友好合作伙伴 因此圆在中考 中占有重要的地位 是必考点之一 在近几年各地的中考中 圆的有关性质 如垂径定理 圆周角 切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查 与圆有关的应用题 阅读理 解题 探索存在性问题仍是中考命题的热点 23 2012 湖北随州 23 10 分 如图 已知直角梯形 ABCD B 90 AD BC 并 且 AD BC CD O 为 AB 的中点 1 求证 以 AB 为直径的 O 与斜腰 CD 相切 2 若 OC 8cm OD 6cm 求 CD 的长 23 题图 解析解析 1 过 AB 的中点 O 作 OE CD 于 E 证明 OE 的长等于半径即可 2 证明 COD 900 运用勾股定理求值 答案答案 证明 过 AB 的中点 O 作 OE CD 于 E S梯形 ABCD AD BC AB AD BC OA 2 1 2 AD OA BC OB 2 1 2 1 2 S OAD S OBC 由 S梯形 ABCD S OBC S OAD S OCD S OBC S OAD S OCD AD OA BC OA CD OE 2 1 2 1 2 1 AD BC OA CD OE 又 AD BC CD 2 1 2 1 OA OE E 点在以 AB 为直径的 O 上 又 OE CD CD 是 O 的切线 即 CD 与 O 相切 5 分 2 DA DE 均为 O 的切线 DA DE 则 1 2 同理 3 4 COD 900 CD 5 分 1086 2222 cmOCOD 点评点评 本题考查梯形 直线余与圆的位置关系 勾股定理 根据圆的切线的定义准确的作出 辅助线是解决问题的关键 本题中运用面积法证明 AD BC CD 很巧妙 难度较大 2012 四川成都 27 10 分 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 于 H 过 CD 延长线 上一点 E 作 O 的切线交 AB 的延长线于 F 切点为 G 连接 AG 交 CD 于 K 1 求证 KE GE 2 若 KD GE 试判断 AC 与 EF 的位置关系 并说明理由 2 KG 3 在 2 的条件下 若 sinE AK 求 FG 的长 3 5 2 3 解析 利用切线的性质和等边对等角可以证明 EGK EKG 然后根据等角对等边 即可 证明第 1 小题 对于第 2 小题 可以先由等积式得到比例式 然后得到三角 形相似 根据角的关系可以判断两条直线的位置关系 对于第 3 小题 可以先利 用方程的思想求出相关线段的长 然后利用三角函数求 FG 的长 答案 1 如下图 连接 OG EG 是 O 的切线 OG GE OGK EGK 90 CD AB OAG AKH 90 OG OA OGK OAG EGK AKH EKG KE GE 2 AC EF 理由如下 KD GE GE KE 2 KG KGKE KDKG KGD KGE KGD E KGD C E C AC EF 3 在 2 的条件下 AC EF CAF F E C sinE 3 5 sinC sinF tanE tanC 3 5 4 5 3 4 连接 BG 过 G 作 GN AB 于 N 交 O 于 Q 则弧 BQ 弧 BG BGN BAG 设 AH 3k 则 CH 4k 于是 BH OG 22 1616 33 CHkk AHk 25 26 BH AHk EG 是切线 CD AB OGF 90 FOG F E F FOG E NG OGsin FOG 253 65 k 5 2 k BN OB ON OG OGcos FOG 2545 1 656 kk BG 22 510 6 k NGBN cos BAG cos BGN 5 3 103 2 105 102 3 6 k BNk GBk 30 5 k FG 5 25 2 305 30 2 4 sin8108 5 k NG F Q N 点评 本题的第 3 小题是一道大型综合题 且运算量较大 属于较难题 但是 前两个 小题比较基础 同学们应争取做对 27 2012 江苏泰州市 27 本题满分 12 分 如图 已知直线 l 与 O 相离 OA l 于点 A OA 5 OA 与 O 相交于点 P AB 与 O 相切于点 B BP 的延长线交直线l于点 C 1 试判断线段 AB 与 AC 的数量关系 并说明理由 2 若 PC 2 求 O 的半径和线段 PB 的长 5 3 若在 O 上存在点 Q 使 QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形 求 O 的半径 r 的取 值范围 ll A C P A OO B 第 27 题图 备用图 解析解析 1 由于 AB 是 O 的切线 故连半径 利用切线性质 圆半径相等 对顶角相 等 余角性质 推出 AB AC 两底角相等 2 设圆半径为 r 利用勾股定理列方程求半径 再利用三角形相似求 PB 3 先作出线段 AC 的垂直平分线 MN 作 OD 垂直于 MN 再利用勾股定理计算即可 答案答案 1 AB AC 连接 OB 则 OB AB 所以 CBA OBP 900 又 OP OB 所以 OBP OPB 又 OPB CPA 又 OA l 于点 A 所以 PCA CPA 900 故 PCA CBA 所以 AB AC 2 设圆半径为 r 则 OP OB r PA 5 r AB2 OA2 OB2 52 r2 AC2 PC2 AP2 2 2 5 5 r 2 从而建立等量关系 r 3 AB AC AB2 AC2 利用相似 求出 PB 4 3 作出线段 AC 的垂直平分线 MN 作 OD 垂直于 MN 则可推出 OD 11 22 ACAB 由题意 圆 O 要与直线 MN 有交点 所以 又 22 1 5 2 r 22 1 5 5 2 ODrr r 因为圆 O 与直线 l 相离 所以 rr 圆心距为 d 则 1 d R r 时 两圆外离 2 d R r 时 两圆外切 3 R r d R r 时 两圆相交 4 d R r 时 两 圆内切 5 dr 圆心距为 d 则 1 d R r 时 两圆外离 2 d R r 时 两圆外切 3 R r d R r 时 两圆相交 4 d R r 时 两 圆内切 5 d4 R r 1 4 满足 R r d R r 两圆相交 点评 本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法 6 2012 年四川省巴中市 6 3 已知两圆的半径分别为 1 和 3 当这两圆内含时 圆心距 d 的范 围是 A 0 d 2 B 1 d 2 C 0 d 3 D 0 d 2 解析解析 内含时 满足关系 0 d R r 得 d 2 答案答案 D 点评点评 本题易错选为 A 即忽略同心圆是内含的特例 10 2012 湖南衡阳市 10 3 已知 O 的直径等于 12cm 圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm 则直线 l 与 O 的交点个数为 A 0B 1C 2D 无法确定 解析 首先求得该圆的半径 再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行解析判 断 若 d r 则直线与圆相交 若 d r 则直线于圆相切 若 d r 则直线与圆相离 进而利用直线与圆相交有两个交点 相切有一个交点 相离没有交点 即可得出答案 答案 解 根据题意 得 该圆的半径是 6cm 即大于圆心到直线的距离 5cm 则直线和圆相交 故直线 l 与 O 的交点个数为 2 故选 C 点评 此题主要考查了直线与圆的位置关系 这里要特别注意 12 是圆的直径 掌握直线和 圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键 16 2012 山东东营 16 4 分 某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架 如图 1 若不计木条的厚度 其俯视图如图 2 所示 已知 AD 垂直平分 BC AD BC 48cm 则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm B D C A 第 16 题图 2 第 16 题图 1 解析解析 当圆柱形饮水桶的底面半径最大时 圆外接于 ABC 连接外心与 B 点 可通过 勾股定理即可求出圆的半径 连接 OB 如图 当 O 为 ABC 的外接圆时圆柱形饮水桶 的底面半径的最大 AD 垂直平分 BC AD BC 48cm O 点在 AD 上 BD 24cm 在 Rt OBD 中 设半径为 r 则 OB r OD 48 r r2 48 r 2 242 解得 r 30 即圆柱形 饮水桶的底面半径的最大值为 30cm 答案答案 30 点评点评 此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及垂径定理和勾股定理的综合应用 8 2012 贵州黔西南州 8 4 分 如图 3 O 的半径为 2 点 A 的坐标为 2 2 直线 3 AB 为 O 的切线 B 为切点 则 B 点的坐标为 A B 1 8 53 C D 1 4 5 9 53 解析解析 设 O 与 x 轴的正半轴交于 C 点 与 x 轴的负半轴交于 D 点 连接 AC 由于 O 的半径为 2 且 A 2 2 所以 AC OC 则 AC 2 tan AOC 所以 333 AOC 60 由于 AB 也为 O 的切线 所以 AOC AOB 60 所以 BOD 60 作 BE OD 于 F 点 OB 2 可以求得 OF 1 BF 所以 B 点的坐标为 1 33 答案 D 点评 本题在平面直角坐标系中考查圆的切线性质的运用 一般出现圆的切线时 考虑 作 过切点的半径 必垂直于切线 另外本题还运用了图形的对称性解题 9 2012 山西 山西 9 2 分 分 如图 AB 是 O 的直径 C D 是 O 上一点 CDB 20 过 点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 E 则 E 等于 A 40 B 50 C 60 D 70 解析解析 解 连接 OC 如图所示 圆心角 BOC 与圆周角 CBD 都对 BOC 2 CBD 又 CDB 20 BOC 40 又 CE 为圆 O 的切线 OC CE 即 OCE 90 则 E 90 40 50 故选 B 答案答案 B 点评点评 本题主要考查了圆的切线的性质 同圆中同弧所对的圆周角相等及等边对等角等 性质 解决本题的关键是熟悉圆中常见辅助线作法及相关性质 难度中等 9 2012 年广西玉林市 9 3 如图 Rt ABC 的内切圆 O 与两直角边 AB BC 分别相 切于点 D E 如图 Rt ABC 的内切圆 O 与两直角边 AB BC 分别相切于点 D E 过劣弧 DE 不包括端点 D E 上任一点 P 作 O 的切线 MN 与 AB BC 分别交于点 M N 若 O 的 半径为 r 则 Rt MBN 的周长为 A r B r C 2r D r 2 3 2 5 分析 连接 OD OE 求出 ODB DBE OEB 90 推出四边形 ODBE 是正方形 得出 BD BE OD OE r 根据切线长定理得出 MP DM NP NE 代入 MB NB MN 得出 BD BE 求出即 可 解 连接 OD OE O 是 Rt ABC 的内切圆 OD AB OE BC ABC 90 ODB DBE OEB 90 四边形 ODBE 是矩形 OD OE 矩形 ODBE 是正方形 BD BE OD OE r O 切 AB 于 D 切 BC 于 E 切 MN 于 P MP DM NP NE Rt MBN 的周长为 MB NB MN MB BN NE DM BD BE r r 2r 故选 C 点评 本题考查的知识点是矩形的判定 正方形的判定 三角形的内切圆和内心 切线长 定理等 主要考查运用这些性质进行推理和计算的能力 题目比较好 难度也适中 23 2012 年广西玉林市 23 8 分 如图 已知点 O 为 Rt ABC 斜边 AC 上一点 以点 O 为圆心 OA 长为半径的 O 与 BC 相切于点 E 与 AC 相交于点 D 连接 AE 1 求证 AE 平分 CAB 2 探求图中 1 与 C 的数量关系 并求当 AE EC 时 tanC 的值 分析 1 连接 OE 则 OE BC 由于 AB BC 故可得出 AB OE 进而可得出 2 AEO 由于 OA OE 故 1 AEO 进而可得出 1 2 2 由三角形外角的 性质可知 1 AEO EOC 因为 1 AEO OEC 90 所以 2 1 C 90 当 AE CE 时 1 C 再根据 2 1 C 90 即可得出 C 的度数 由特殊角的三角 函数值得出 tanC 即可 解 1 证明 连接 OE O 与 BC 相切于点 E OE BC AB BC AB OE 2 AEO OA OE 1 AEO 1 2 即 AE 平分 CAB 2 解 2 1 C 90 tanC EOC 是 AOE 的外角 3 3 1 AEO EOC 1 AEO OEC 90 2 1 C 90 当 AE CE 时 1 C 2 1 C 90 3 C 90 C 30 tanC tan30 3 3 点评 本题考查的是切线的性质 三角形外角的性质及等腰三角形的性质 在解答此类题 目时要熟知 若出现圆的切线 必连过切点的半径 构造定理图 得出垂直关系 13 2012 四川泸州 13 3 分 两个圆的半径分别为 5 和 7 圆心距为 2 则两个圆的位 置关系 A 内含 B 内切 C 相交 D 外切 解析 圆与圆的几种位置关系中 可以根据两圆半径 圆心距的数量关系来判断 解答 因为 7 5 2 满足 R r d 两圆内切 故选 B 点评 熟悉圆与圆的五种位置关系是解题关键 需要简单计算两圆半径和 差 再与圆心距 比较判断 4 2012 山东省青岛市 山东省青岛市 4 3 已知 O1与 O2的半径分别是 4 和 6 O1O2 2 则 O1与 O2的位置关系是 A 内切 B 相交 C 外切 D 外离 解析解析 两圆半径差为 6 4 2 圆心距为 2 因此两圆相切 故选 A 答案答案 A 点评点评 本题主要考查两圆的位置关系 两圆的位置关系有 相离 d R r 相切 外 切 d R r 或内切 d R r 相交 R r d R r 15 2012 江苏省淮安市 15 3 分 如图 M 与 N 外切 MN l0cm 若 M 的半径 为 6cm 则 N 的半径为 cm 解析 M 与 N 外切 圆心距 MN l0cm M 的半径为 6cm 则 N 的半径为 10 6 4 cm 答案 4 点评 此题考查了圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R 和 r 且 R r 圆心距为 d 外离 d R r 外切 d R r 相交 R r d R r 内切 d R r 内含 d R r 难度适 中 掌握两圆位置关系与圆心距 d 两圆半径 R r 的数量关系间的联系是解此题的关键 21 2012 山东省滨州中考 21 8 分 如图 PA PB 是 O 的切线 A B 为切点 AC 是 O 的直径 P 50 求 BAC 的度数 解析解析 由于切线的性质可得 PAC 切线长定理得 PA PB P 50 PAB 和 PBA 的 大小 进而求出 BAC 的大小 解 PA PB 分别切 O 于 A B 点 AC 是 O 的直径 PAC 90 PA PB 又 P 50 PAB PBA 65 BAC PAC PAB 90 65 25 点评点评 本题考查切线的性质和切线长定理 及等腰三角形的性质和三角形的内角和定理 此题考查的知识点较多 但是难度不大 21 2012 珠海 珠海 21 9 分 分 已知 AB 是 O 的直径 点 P 在弧 AB 上 不含点 A B 把 AOP 沿 PO 对折 点 A 的对应点 C 恰好落在 O 上 1 当 P C 都在 AB 上方时 如图 1 判断 PO 与 BC 的位置关系 只回答结果 2 当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时 如图 2 1 中结论还成立吗 证明你的结 论 3 当 P C 都在 AB 上方时 如图 3 过 C 点作 CD 直线 AP 于 D 且 CD 是 O 的 切线 证明 AB 4PD 21 3 21 2 21 1 C AB D C BA C B A OOO P P P 解析解析 1 PO BC 证 POC OCB 即可 2 1 中结论成立 证明 CPO PCB 或 OPB B 即可 3 先证 OC AP 再证 CPD CPO OPA 60 最后证 AB 4PD 答案答案 1 PO BC 2 1 中结论成立 证明 由对折 得 APO CPO AO PO APO A A PCB CPO PCB PO BC PBPB 3 证明 CD 为切线 OC CD CD AP OCD CDP 90 OC AP CPD OCP 由对折 得 A OCP CPD A 又 A OPA OPC OCP APD 是平角 CPD CPO OPA 60 CP OP AB 1 2 在 Rt CPD 中 PD CP cos60 PC 1 2 AB 4PD 点评点评 这是一道与圆与关的几何综合题 主要考点有圆的有关性质 切线的性质 图形变换 直角三角形的性质 锐角三角函数等 属中档题 16 2012 湖北武汉 16 3 分 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 3 0 点 B 为 y 轴正半轴上的一点 点 C 是第一象限内一点 且 AC 2 设 tan BOC m 则 m 的取值范围是 解析 解答本题可先画出图形 以 A 为圆心 2 为半径作圆 过 O 作 A 切线 AC 显然当 C 与 C 重合时 m 取最小值 此时 m tan BOC tan OAC 故 m 2 5 2 5 答案 m 2 5 点评 本题看似考察三角函数 由于 C 为一动点 解题时需掌握其运动规律 故需 构建相应的圆 题目实质是对圆与切线以及三角函数的综合考察 难度较大 24 2012 呼和浩特 24 8 分 8 分 如图 已知 AB 为 O 的直径 PA 与 O 相切 于点 A 线段 OP 与弦 AC 垂直并相交于点 D OP 与弧 AC 相交于点 E 连接 BC 1 求证 PAC B 且 PA BC AB CD 2 若 PA 10 sinP 求 PE 的长 3 5 E D P O B A C 解析 切线的性质 三角形相似 对应边成比例 锐角三角函数 答案 1 证明 PA 是 O 的切线 AB 是直径 PAO 90 C 90 PAC bac 90 且 B BAC 90 PAC B 又 OP AC ADP C 90 PAD ABC AP AB AD BC 在 O 中 AC OD AD CD AP AB CD BC PA BC AB CD 2 解 sinP 且 PA 10 3 5 3 5 AD AP AD 6 AC 2AD 12 在 Rt ADP 中 PD 22 8APAD 又 AP AB PD AC AB 10 12 15 8 AO 15 2 OP 25 2 PE OP OE 5 25 2 15 2 点评 本题 1 考查了利用切线的性质求得直角 利用直径所对圆周角是 90 得到直角 并得出一对相似三角形 利用相似三角形对应边成比例得出要证明的结论 2 中利用现有 的直角三角形三角函数求出线段的长 3 2012 甘肃兰州 3 4 分 已知两圆的直径分别为 2 和 4 圆心距为 3 则这两 个圆的位置关系是 A 相交 B 外切 C 外离 D 内含 解析 本题直接告诉了两圆的半径及圆心距 根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便 可直接得出答案 由题意知 两圆圆心距 d 3 R r 2 且 d 3 R r 6 故两圆相交 答案 A 点评 本题主要考查两圆之间的位置关系 两圆外离 则 d R r 外切 则 d R r 相交 则 R r d R r 内切 则 d R r 内含 则 0 d R r d 表示圆心距 R r 分别表示 两圆的半径 19 2012 甘肃兰州 19 4 分 如图 已知 O 是以坐标原点 O 为圆心 1 为半径的圆 AOB 45 点 P 在 x 轴上运动 若过点 P 且与 OA 平行的直线与 O 有公共点 设 P x 0 则 x 的取值范围是 第 19 题图 解析 解析 由题意得 x 有两个极值点 过点 P 的直线与 O 相切时 x 取得极值 作出切线 利用切线的性质求解即可 如图 设过点 P 且与 OA 平行的直线与 O 相切于点 D 连接 OD 由题意得 OD 1 DOP 45 ODP 90 故可得 OP 即 x 的极大值为 同理当点 P 在 x 轴左边时也有一22 个极值点 此时 x 取得极小值 x 2 综上可得 x 的范围为 22x 答案 答案 22x 点评 点评 此题主要考查了直线与圆的位置关系 分别求出直线与圆相切时 OP 的长是解决问 题的关键 注意两个极值点的寻找 难度一般 23 2012 湖北省恩施市 题号 23 分值 12 如图 11 AB 是 O 的弦 D 是半径 OA 的中 点 过 D 作 CD OA 交弦 AB 于点 E 交 O 于 F 且 CE CB 1 求证 BC O 是的切线 2 连接 AF BF 求 ABF 的度数 3 如果 CD 15 BE 10 sinA 求 O 的半径 13 5 解析 1 连接 OB 证 OB BC 即证 OBE EBC 90 通过 OA OB CE CB AED BEC 可将 OBE EBC 分别转化为 A AED 结合 CD OA 可 证 OBE EBC 90 2 连接 OF 由 CD 垂直平分 OA 得 AF OF OA 再结合圆心角与圆周角关系易求 ABF 的 度数 3 作 CG BE 于 G 得 A ECG CG 是 BE 垂直平分线 由 CD 15 BE 10 sinA 13 5 可求 EG CE CG DE 长度 通过 ADE CGE 可求 AD 从而计算半径 OA 答案 1 证明 连接 OB OA OB A OBE CE CB CEB EBC AED EBC AED EBC 又 CD OA A AED OBA EBC 90 BC O 是的切线 2 CD 垂直平分 OA OF AF 又 OA OF OA OF AF O 60 ABF 30 3 作 CG BE 于 G 则 A ECG CE CB BD 10 EG BG 5 sinECG sinA CE 13 CG 12 又 13 5 CD 15 DE 2 ADE CGE 即 AD OA 即 EG DE CG AD 5 2 12 AD 5 24 5 48 O 的半径是 5 48 点评 本题将多个知识点结合在一起 问题设计层层递进 梯度鲜明 是一道中档偏上 的题 有一定区分度 我们必须学会由已知条件寻找相应的定理 性质的基本图形 以及 在不能直接根据已知条件解决问题时 要学会运用转化的思想 26 2012 甘肃兰州 26 10 分 如图 Rt ABC 中 ABC 90 以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D E 是 BC 的中点 连结 DE OE 1 判断 DE 与 O 的位置关系并说明理由 2 求证 BC2 2CD OE 3 若 tanC DE 2 求 AD 的长 5 2 第 26 题图 解析 1 连接 OD BD 求出 ADB BDC 90 推出 DE BE CE 推出 EDB EBD OBD ODB 推出 EDO EBO 90 即可 2 由题意可得 OE 是 ABC 的中位线 即 AC 2OE 易证 ABC BDC 可得 BC2 CD AC 把 AC 2OE 代入即可 3 由 tanC 可设 BD CD 2x 在 Rt BCD 中 由勾股定理得出 5 2 5x 求出 x 求出 BD 再根据 tan ABD tanC 求出 代 22 5 2 16xx 5 2 ADBD 入求出即可 解 1 DE 与 O 相切 理由如下 连接 OD BD AB 是直径 ADB BDC 90 E 是 BC 的中点 DE BE CE EBD EDB OD OB OBD ODB EDO EBO 90 用三角形全等也可得到 DE 与 O 相切 2 由题意可得 OE 是 ABC 的中位线 AC 2OE ABC BDC 90 C C ABC BDC 即 BC2 CD AC 另 用射影定理直接得到也可 BCAC CDBC BC2 2CD OE 3 tanC 可设 BD CD 2x 5 2 5x 在 Rt BCD 中 BC 2DE 4 BD2 CD2 BC2 2 2x 2 16 解得 x 负值舍去 5x 4 3 BD 5x 4 5 3 ABD C tan ABD tanC 55410 5 2233 ADBD 答 AD 的长是 10 3 点评 本题综合考查了解直角三角形 等腰三角形的性质 直角三角形斜边上中线性质 切线的判定等知识点 主要培养学生分析问题和解决问题的能力 注意 证切线的方法 方程思想的运用 24 2012 贵州遵义 24 分 如图 OAC 中 以 O 为圆心 OA 为半径作 O 作 OB OC 交 O 于 B 垂足为 O 连接 AB 交 OC 于点 D CAD CDA 1 判断 AC 与 O 的位置关系 并证明你的结论 2 若 OA 5 OD 1 求线段 AC 的长 解析 1 根据已知条件 CAD CDA 对顶角 BDO CDA 可以推知 BDO CAD 然后根据等腰三角形 OAB 的两个底角相等 直角三角形的两个锐角互余的性质推知 B BDO OAB CAD 90 即 OAC 90 所以线段 AC 是 O 的切线 2 根据 等角对等边 可以推知 AC DC 所以由图形知 OC OD CD 然后利用 1 中切线的性质可以 在在 Rt OAC 中 根据勾股定理来求 AC 的长度 答案 解 1 线段 AC 是 O 的切线 理由如下 CAD CDA 已知 BDO CDA 对顶角相等 BDO CAD 等量代换 又 OA OB O 的半径 B OAB 等边对等角 OB OC 已知 B BDO OAB CAD 90 即 OAC 90 线段 AC 是 O 的切线 2 设 AC x CAD CDA 已知 DC AC x 等角对等边 OA 5 OD 1 OC OD DC 1 x 由 1 知 AC 是 O 的切线 在 Rt OAC 中 根据勾股定理得 OC2 AC2 OA2 即 1 x 2 x2 52 解得 x 12 即 AC 12 点评 本题综合考查了勾股定理 切线的判定与性质 欲证某线是圆的切线 只需证明连接圆心与此线过圆上的 点的线段 圆的半径 与该直线垂直即可 22 2012湖北黄冈 22 8 如图 在 ABC 中 BA BC 以AB为直径作半圆 O 交AC于 点D 连结DB 过点D作DE BC 垂足为点E 1 求证 DE 为 O 的切线 2 求证 DB2 AB BE 解析 1 连接 OD 根据切线的判定定理来证明 2 证明 ABD DEB 推得 DB2 AB BE 答案 证明 1 连接 OD AB 为半圆 O 的直径 ADB 90 AB BC D 为 AC 中点 又 O 为 AB 的中点 OD BC DE BC OD DE DE 是 O 的切线 2 AB BC ADB 90 CBD DBA 又 ADB DEC 90 ABD DEB 即 ABDB DBEB 2 DEAB EB 点评 本题考查了圆周角定理的推论 等腰三角形的 三线合一 切线的判定定理 相 似三角形的判定和性质 三角形的中位线定理 平行线的性质等 较为综合 但 属于常规题 难度中等 22 2012 湖北武汉 22 8 分 在锐角 ABC 中 BC 5 sinA 5 4 1 如图 1 求 ABC 的外接圆的直径 2 如图 2 点 I 为 ABC 的内心 若 BA BC 求 AI 的长 解析 第 1 小题要求直径 可过点 或 B 作直径 根据同弧所对圆 周角相等 以及题目所给三角函数关系即可求解 第 2 小题点 I 是内 心 即角平分线的交点 又 BA BC 故可作 B 的角平分线即 BI 得到 Rt ABH 借助角平分线性质及勾股定理求解 解 1 过 C 作外接圆直径 CD 连接 BD 则 CBD 90 D A sinD sinA CD BC 5 4 BC 5 CD 即 ABC 的外接圆的直径为 4 25 4 25 2 连接并延长 BI 交 AC 于 H 过 I 作 IE AB 于 E 点 I 为内心 平分 BAC BI 平分 ABC 又 BA BC BI AC IH IE AE AH 在 Rt ABH 中 BH AB sin BAH 4 AH BE AB AH 23 22 BHAB 令 IE IH x 则 BI 4 x 在 Rt BIE 中 有 BI2 BE2 IE2 即 4 x 2 x2 22 解得 x 1 5 在 Rt AIH 中 AI 5 2 3 22 IHAH 注 其他解法依据情况酌情给分 点评 本题以基本图形 三角形与圆相结合为背景 综合考查了圆周角的性质 在三角函数的 性质 角平分线性质 等腰三角形三线合一 勾股定理等知识 也可以利用三角形面积计算求 解 知识点丰富 考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力 2 个小题设 问方式较常规 所考察知识点也是平时学生用得较多的知识点 难度都不大 但把这些放在一 起综合考虑 对学生综合思维能力要求较高 对于在几何图形的证明与求解中 辅助线的添加 成为部分学生的一大难题 本题中的 2 条辅助线添法是关键 就这 2 条辅助线就可以将中下 层面的学生拒之题外 难度较大 24 2012 湖南省张家界市 24 题 10 分 如图 O 的直径 AB 4 C 为圆 周上一点 AC 2 过点 C 作 O 的切线 DC P 点为优弧上一动点 不与 A C 重合 CBA 1 求 AEC 与 ACD 的度数 2 当点 E 移动到 CB 弧的中点时 求证 四边形 OBEC 是菱形 3 P 点移动到什么位置时 AEC 与 ABC 全等 请说明理由 分析 1 显然 ACO 是等边三角形 结合切线性质可求 2 只要证明 AC CP OA OP 即可 解答 解 1 AC OA OC 2 ACO 为等边三角形 AOC ACO OAC 60 APC AOC 30 2 1 又 DC 切 O 于点 C OC DC DCO 90 ACD DCO ACO 90 60 30 2 AB 为直径 AOC 60 COB 120 当点 P 移动到 CB 的中点时 COP POB 60 COP 为等边三角形 AC CP OA OP 四边形 AOPC 为菱形 3 当点 P 与 B 重合时 ABC 与 APC 完全重合 ABC APC 当点 P 继续运动到 CP 经过圆心时 也有 ABC CPA 因为此时 AB CP AC 为公共边 ACB CAP 90 根据直角三角形斜边直角 原理即得 点评 本题是是一道与圆有关的动态试题 综合考查了圆的切线性质 等边三角形 的判定性质 菱形的判定 全等三角形等知识 2012 北海 25 10 分 25 如图 AB 是 O 的直径 AE 交 O 于点 E 且与 O 的切线 CD 互相垂直 垂足为 D 1 求证 EAC CAB 2 若 CD 4 AD 8 D C P O B A 求 O 的半径 求 tan BAE 的值 解析解析 1 在圆中遇到切线 经常做的辅助线是连接过切点的半径 连 在圆中遇到切线 经常做的辅助线是连接过切点的半径 连 OC OC CD CD AE 易得 易得 OC AD 两直线平行 内错角相等 两直线平行 内错角相等 1 3 又有 又有 OAC 是等腰三角形 是等腰三角形 2 3 所以结论成立 所以结论成立 2 在圆中 遇到直径 经常作直径所对圆周角 连在圆中 遇到直径 经常作直径所对圆周角 连 BC 则 则 ACB 90 利用勾股 利用勾股 定理求出定理求出 AC2 80 易得 易得 ACD ABC 得到 得到 ADAC ACAB 求出 求出 AB 10 圆的半径为 圆的半径为 5 若求若求 tan BAE 的值 必须把的值 必须把 BAE 放在直角三角形中 连放在直角三角形中 连 BF CF 利用 利用 DCF DAC 求出求出 DF 2 所以 所以 AF 6 再利用勾股定理求出 再利用勾股定理求出 BF 的长度 在的长度 在 Rt ABF 中 中 求出求出 tan BAE 的值 的值 答案答案 1 证明 连接 证明 连接 OC 1 分分 CD 是是 O 的切线的切线 CD OC 又又 CD AE OC AE 1 32 分分 OC OA 2 3 1 2 即即 EAC CAB 3 分分 2 解 解 连接连接 BC AB 是是 O 的直径 的直径 CD AE 于点于点 D ACB ADC 90 1 2 ACD ABC ADAC ACAB 5 分分 AC2 AD2 CD2 42 82 80 AB 2 AC AD 80 8 10 O 的半径为的半径为 10 2 5 6 分分 连接连接 CF 与与 BF 四边形四边形 ABCF 是是 O 的内接四边形的内接四边形 F 3 2 1 O E D C B A ABC AFC 180 DFC AFC 180 DFC ABC 2 ABC 90 DFC DCF 90 2 DCF 1 2 1 DCF CDF CDF DCF DAC CDDF ADCD 8 分分 DF 22 CD AD 4 8 2 AF AD DF 8 2 6 AB 是是 O 的直径的直径 BFA 90 BF 2222 ABAF106 8 tan BAD BF AF 84 63 10 分分 点评点评 本题是关于圆的大题 综合性比较强 涉及到的知识点有 圆中两条关键性的辅本题是关于圆的大题 综合性比较强 涉及到的知识点有 圆中两条关键性的辅 助线 相似三角形的判定和性质 勾股定理 三角函数等 难度偏大 在教学过程中 多助线 相似三角形的判定和性质 勾股定理 三角函数等 难度偏大 在教学过程中 多 训练 注重指导学生解题的方法 弄问题的来龙去脉 训练 注重指导学生解题的方法 弄问题的来龙去脉 26 2012 贵州省毕节市 26 14 分 如图 AB 是 O 的直径 AC 为弦 D 是 的中 点 过点 D 作 EF AC 的延长线于 E 交 AB 的延长线于 E 交 AB 的延长线于 F 1 求证 EF 是 O 的切线 2 若 F AE 4 求 O 的半径和 AC 的长 sin 3 1 解析 1 连接 OD 根据圆周角定理 可得 BOD A 则 OD AC 从而得出 ODF 90 即 EF 是 O 的切线 2 先解直角 AEF 由 sin F 得出 AF 3AE 12 3 1 再在直角 ODF 中 由 sin F 得出 OF 3OD 设 O 3 1 的半径为 R 由 AF 12 列出关于 R 的方程 解方程即可求出 O 的半径 连接 BC 证明 BC EF 根据平行线分线段成比例定理得出 AC AE AB AF 即可求出 AC 的长 解答 1 证明 连接 OD D 是 的中点 BOD A OD AC OD AC EF AC E 90 ODF 90 即 EF 是 O 的切线 2 解 在 AEF 中 E 90 sin F AE 4 3 1 AF 12 sin F AE 设 O 的半径为 R 则 OD OA OB R AB 2R 在 ODF 中 ODF 90 sin F OF 3OD 3R 3 1 OF OA AF 3R R 12 R 3 连接 BC 则 ACB 90 E 90 BC EF AC AE AB AF AC 4 2R 4R AC 2 故 O 的半径为 3 AC 的长为 2 点评 本题考查了切线的判定 圆周角定理 解直角三角形及平行线分线段成比例定理 难度中等 综合性较强 24 2012 山东日照 24 10 分 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 BC 4 AB 5 探究新知 如图 O 是 ABC 的内切圆 与三边分别相切于点 E F G 1 求证 内切圆的半径 r1 1 2 求 tan OAG 的值 结论应用 1 如图 若半径为 r2的两个等圆 O1 O2外切 且 O1与 AC AB 相切 O2 与 BC AB 相切 求 r2的值 2 如图 若半径为 rn的 n 个等圆 O1 O2 On依次外切 且 O1与 AC AB 相切 On与 BC AB 相切 O1 O2 On均与 AB 相切 求 rn的值 解析 1 运用切线长定理可得 2 连接 OA OG 构造直角三角形求解 1 联想 2 的解题方法 用 r2表示 AB 的长列方程求解 2 寻找规律 用 rn表示 AB 的长列方程求解 解 1 证明 在图 中 连结 OE OF OA 四边形 CEOF 是正方形 CE CF r1 又 AG AE 3 r1 BG BF 4 r1 AG BG 5 3 r1 4 r1 5 即r1 1 2 连结 OG 在 Rt AOG 中 r1 1 AG 3 r1 2 tan OAG AG OG 2 1 1 连结 O1A O2B 作 O1D AB交于点D O2E AB交于点E AO1 BO2分别平分 CAB ABC 由 tan OAG 知 tan O1AD 2 1 2 1 同理可得 tan O2BE BE EO2 3 1 AD 2r2 DE 2r2 BE 3r2 AD DE BE 5 r2 7 5 2 如图 连结 O1A OnB 作 O1D AB交于点D O2E AB交于点