人教版高中数学正弦函数+余弦函数图像专题复习.doc

正弦函数、余弦函数的图象【要点梳理】要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法 1描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。2几何法利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象。3五点法先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是要点诠释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。（2）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象。（3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到。要点二：正弦曲线、余弦曲线（1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。（2）图象要点诠释：（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如，方程根的个数。要点三：函数图象的变换图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。【典型例题】类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象例1用五点法作出下列函数的图象。（1），；（2），。【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、（2，2）。（2）取上五个关键的点。【解析】 （1）找出五点，列表如下：x001010y=2u21232描点作图（如下图）。 （2）找出五点，列表如下：0xy=cos u10101描点作图（如下图）。 【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的。举一反三：【变式1】用“五点法”作出下列函数的简图：（1）y=sin x（0x2）；（2）y=1+cos x（0x2）【解析】（1）列表：x0sin x01010sin x01010 描点作图，如图（1）： （2）列表：x0cos x101011+cos x21012 描点作图，如图（2）。类型二：利用图象变换作出函数的图象例2（1）作函数的图象；（2）作函数的图象。【思路点拨】（1）要善于利用函数的图象来作及的图象。（2）函数的定义域为x|xk，kZ，因此作出函数的图象后，要把x=k（kZ）对应的点去掉。【解析】 （1）将化为，其图象如下图。 （2）当，即xk（kZ）时，有，即（xk，kZ）。其图象如下图。 【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称。举一反三：【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：。【解析】 先作出的图象，然后利用对称作出的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图。 类型三：利用函数图象解简单的三角不等式例3画出正弦函数（xR）的简图，并根据图象写出：（1）时x的集合；（2）时x的集合。【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x的简图。【解析】 （1）过点作x轴的平行线，从图象中看出：在0，2区间与正弦曲线交于、两点，在0，2区间内，时x的集合为。当xR时，若，则x的集合为。（2）过、两点分别作x轴的平行线，从图象中看出：在0，2区间，它们分别与正弦曲线交于，点和，点，那么当时，x的集合为或。【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。举一反三：【变式1】已知，解不等式。【解析】画出函数y=sin x，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，故满足的x的取值范围是。 类型四：三角函数图象的应用例4（1）方程的解的个数为（ ）A0 B1 C2 D3（2）若，则与3的大小关系为（ ）A B C D与的取值有关【思路点拨】（1）作出的函数图象，观察图象交点个数。（2）作出与的函数图象，利用数形结合可得。【答案】（1）D （2）D【解析】（1） 作出与的图象，当时，当时，与再无交点。如下图所示，由图知有三个交点，方程有三个解。（2）作图（如下图），观察函数，在内的图象可知与的大小关系与的取值有关。举一反三：【变式1】下列各式中正确的为( )A. B.C. D.【答案】D正弦函数、余弦函数的性质【要点梳理】要点一：周期函数的定义函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.要点诠释：1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数正弦函数ysinx余弦函数y=cosx定义域RR值域-1，1-1，1奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期最小正周期单调区间kZ增区间减区间增区间减区间最值点kZ最大值点最小值点最大值点最小值点对称中心kZ对称轴kZ要点诠释：（1）正弦函数、余弦函数的值域为，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域要点三：正弦型函数和余弦型函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间（4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数要点诠释：判断函数，的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出要点诠释：若，则函数和函数不一定有对称轴和对称中心【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1求函数的定义域；【答案】【解析】 为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x10，即2cos2xcos x10，解得画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示 定义域为【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围举一反三：【变式1】求函数的定义域【解析】依题意得2sin x10，即，（kZ），函数的定义域为例2求下列函数的值域：（1）y=32sin x（2），；（3）【答案】（1）1，5（2）0，2（3）【解析】 （1）1sin x1，22sin x2，22sin x2，132sin x5，函数的值域为1，5（2），0y2函数的值域为0，2（3），当cos x=1时，函数的值域为【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质举一反三：【变式1】 求y=cos2x+4sin x2的值域【解析】y=cos2x+4sin x2=sin2x+4sin x1=(sin x2)2+31sin x1，当sin x=1时，ymin=6；当sin x=1时，ymax=2函数的值域为6，2类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例3求的单调区间【思路点拨】要将原函数化为再求之.【解析】，函数的递增区间就是函数的递减区间（kZ），得（kZ）函数的递增区间为（kZ）【总结升华】函数的单调区间的确定，基本思想是把 看作一个整体举一反三：【变式1】求函数的递减区间【解析】已知函数欲求该函数的单调递减区间，只需求的单调递增区间由（kZ），解得（kZ）所以原函数的单调递减区间为（kZ）类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性例4判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）； 【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为，再按步骤去判断（2）先求函数的定义域，然后判断【解析】（1）函数定义域为R，且，显然有恒成立函数为偶函数（2）由2sin x10，即，得函数定义域为（kZ），此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数【总结升华】 判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数举一反三：【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：对任意的，都是非奇非偶函数；不存在，使既是奇函数，又是偶函数；存在，使是奇函数；对任意的，都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_.因为当=_时，该命题的结论不成立.【思路点拨】当=2k，kZ时，=sinx是奇函数.当=2(k+1)，kZ时仍是奇函数.当=2k+，kZ时，=cosx，当=2k-，kZ时，=-cosx，都是偶函数.所以和都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.和都是假命题.【解析】，k(kZ)；或者，+k(kZ)；或者，+k(kZ)类型四：正弦函数、余弦函数的对称性例5求函数的对称轴方程【解析】 令，则的对称轴方程是（kZ），即（kZ），解得（kZ）函数的对称轴方程是（kZ）【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0举一反三：【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心（1）；（2）.【解析】（1）令，则的对称轴方程是（kZ），即（kZ），解得（kZ）函数的对称轴方程是（kZ） 同理，对称中心的横坐标为，即对称中心为（2）令，则的对称轴方程是（kZ），即（kZ），解得（kZ）函数的对称轴方程是（kZ） 同理，对称中心的横坐标为，即对称中心为（kZ）类型五：正弦函数、余弦函数的周期例6求下列函数的周期：（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）令，而，即T=2令z=2x，则，即，T=令，则，T=4原式，举一反三：【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）是 （2）不是 （3）类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用例7已知函数（1）求其定义域和值域；（2）判断奇偶性；（3）判断周期性，若是周期函数，求周期；（4）写出单调区间【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法在（4）中，可以将看成是由，u=|t|，t=sin x复合而成【解析】 （1）由，得，xk，kZ函数的定义域为x|xk，kZ，函数的值域为y|y0（2），函数是偶函数（3），函数是周期函数，且周期是（可结合图象验证）（4）设t=|sin x|，当时