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文档简介

已知 一点a和平面 求证 经过点a只能有一条直线和平面 垂直 证明过程 根据点a和平面 的位置关系 分两种情况证明 1 如图 点a在平面 内 假设经过点a至少有平面 的两条垂线ab ac 那么ab ac是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于经过点a的一条直线a 图 因为ab 平面 ac 平面 a 所以ab a ac a 在平面 内经过点a有两条直线都和直线a垂直 这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 2 如图 点a在平面 外 假设经过点a至少有平面 的两条垂线ab和ac b c为垂足 那么ab ac是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于直线bc 因为ab 平面 ac 平面 bc 所以ab bc ac bc 图 在平面 内经过点a有两条直线都和bc垂直 这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 综上 经过一点a只能有平面 的一条垂线 2 求证 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行 证明 点p在直线外 点p和直线a确定一个平面 设该平面为 在平面 内 过点p作直线b 使得b a 则过点p有一条直线与a平行 假设过点p还有一条直线c与a平行 a b a c b c 这与b c相交于一点p矛盾 故假设不成立 原命题正确 设a b c d r 且ad bc 1 求证 a2 b2 c2 d2 ab cd 1 由条件不能正面证明结论 采用反证法假设结论不成立 将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾 证明过程 假设a2 b2 c2 d2 ab cd 1 因为ad bc 1 所以a2 b2 c2 d2 ab cd bc ad 0 即 a b 2 c d 2 a d 2 b c 2 0 所以a b 0 c d 0 a d 0 b c 0 所以a b c d 0 这与已知
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