2019_2020学年高中数学第3章圆锥曲线与方程33.2双曲线的简单性质学案北师大版.docx

3.2双曲线的简单性质学习目标：1.结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质(重点).感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想(难点)双曲线的简单性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线yxyx标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)思考：双曲线开口大小与离心率存在怎样的对应关系？提示因为e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大1.判断正误(1)双曲线是轴对称图形()(2)双曲线的离心率越大，它的开口越小()(3)双曲线1的虚轴长为4.()答案(1)(2)(3)2双曲线2x2y28的实轴长是()A2B4C2D4B双曲线标准方程为1，故实轴长为2a4.3双曲线1的渐近线方程是()Ayx ByxCyx DyxC焦点在x轴上，a2，b3，渐近线方程为：yx，即yx.4双曲线x2y23的离心率为_x2y23可化为1，ab，c2a2b26，e.已知双曲线的标准方程求其简单性质【例1】(1)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等(2)双曲线4x2y24的顶点坐标为_，离心率为_，渐近线方程为_(1)A(2)(1，0)，(1，0)y2x(1)0k9，1的实轴长为10，虚轴长为2，焦距为2，离心率.1的实轴长为2，虚轴长为6，焦距为2，离心率.焦距相等(2)将4x2y24变形为x21，a1，b2，c，顶点坐标为(1，0)，(1，0)，e，渐近线方程为yx2x.1由双曲线的方程研究性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的性质2把双曲线标准方程等号右边的1换成0，化简即可得到双曲线的渐近线方程1求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解把方程nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e，顶点坐标为(，0)，(，0)，所以渐近线方程为yx，即yx.利用双曲线的性质求双曲线的标准方程【例2】(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为23，且经过点P(，2)，求双曲线方程；(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(3，2)，求双曲线方程；(3)若双曲线的渐近线方程为2x3y0，且两顶点间的距离是6，求双曲线方程解(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由题意知.又双曲线过点P(，2)，1，依题意可得，解得.故所求双曲线方程为y2x21.(2)设所求双曲线方程为1(a0，b0)e，e21，.由题意得，解得.所求的双曲线方程为1.(3)设双曲线方程为4x29y2(0)，即1(0)，由题意得a3.当0时，9，36，双曲线方程为1；当0，b0)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20，b0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a，0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程解(1)设所求双曲线的方程为(0)点M(3，2)在双曲线上，即2.双曲线的标准方程为1.(2)e，a23b2.又直线AB的方程为bxayab0，d，即4a2b23(a2b2)解组成的方程组，得a23，b21.双曲线的标准方程为y21.与离心率、渐近线有关的性质问题探究问题1若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？提示当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线yx的双曲线可设为(0，R)，当0时，焦点在x轴上，当0时，焦点在y轴上2已知双曲线的渐近线为y2x，如何求出该双曲线的离心率？提示由双曲线的渐近线为y2x可知，该双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，故离心率为或.【例3】(1) 双曲线的渐近线方程为yx，则离心率为()A.B.C.或 D.或(2)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是_思路探究(1)分焦点在x轴上或在y轴上分别求出离心率；对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有tan 60.(1)C(2)2，)(1)当焦点在x轴上时，e，当焦点在y轴上时，e，故选C.(2)因为双曲线渐近线的斜率为k，直线的斜率为k1tan 60，故有，所以e2，所以所求离心率的取值范围是e2.1.(变条件)本例(1)的条件换成：已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范围是()A(1，)B(，2)C(1，2) D(2，2)B双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为yx，则tan .，1tan ，即1，13，求得0，b0)，则.因为点A(2，3)在双曲线上，所以1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)