2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积(第2课时)数量积的坐标表示讲义苏教版必修4.docx_第1页
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文档简介

第2课时数量积的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点)2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式(重点)3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、平面向量数量积的坐标运算若两个向量为a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和二、向量的长度、夹角、垂直的坐标表示1向量的模:设a(x,y),则a2x2y2,即|a|.2向量的夹角公式:设两个非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),它们的夹角为,则cos .特别地,若ab,则x1x2y1y20;反之,若x1x2y1y20,则ab.思考:若A(x1,y1),B(x2,y2),如何计算向量的模?提示(x2x1,y2y1),|.1已知a(1,1),b(2,3),则ab()A1B1C5D5Ba(1,1),b(2,3),ab1231.2已知a(2,x),b(0,1),若ab3,则x_.3a(2,x),b(0,1),abx3.3已知a(5,5),b(0,3),则|a|_,a与b的夹角为_5ab15,|a|5,|b|3,cos ,又0,.4已知a(3,1),b(x,5),若ab,则x_.ab,ab0,3x50,x.数量积的坐标运算【例1】已知a(1,3),b(2,5),c(2,1),求(1)ab;(2)(ab)(2ab);(3)(ab)c.思路点拨:先求相关向量的坐标,再代入坐标运算表达式求解解(1)ab123517.(2)ab(3,8),2ab(4,11),(ab)(2ab)1288100.(3)(ab)c17c(34,17)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件,找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算,列出方程组来进行求解.1已知a与b同向,b(1,2),ab10.(1)求a的坐标;(2)若c(2,1),求a(bc)及(ab)c.解(1)设ab(,2)(0),则有ab410,2,a(2,4)(2)bc12210,ab10,a(bc)0a0,(ab)c10(2,1)(20,10)向量的夹角【例2】已知A(2,2),B(5,1),C(1,4),求BAC的余弦值思路点拨:先求,再代入向量夹角公式求BAC的余弦值解(5,1)(2,2)(3,3),(1,4)(2,2)(1,6),3(1)3615.又|3,|,cosBAC.已知a,b的坐标求夹角时,应先求出a,b及|a|,|b|,再代入夹角公式,由夹角的余弦值确定夹角的大小.2已知向量a(1,2),b(2,4),|c|,若(cb)a,则a与c的夹角为_120ab10,(cb)acabaca10,ca.设a与c的夹角为,则cos .又0,180,120.向量平行与垂直的综合应用探究问题1已知a(x1,y1),b(x2,y2),若ab,则其坐标间满足什么等量关系?ab呢?提示:abx1y2x2y10;abx1x2y1y20.2在ABC中,已知点A,B,C的坐标,如何用向量法求BC边上的高的大小?提示:设高AD交边BC于点D,由B,D,C三点共线及0可求点D的坐标,进而可求|.【例3】已知在ABC中,A(2,1),B(3,2),C(3,1),AD为BC边上的高,求|与点D的坐标思路点拨:设D(x,y),由及0可求D,进而求|.解设点D坐标为(x,y),则(x2,y1),(6,3),(x3,y2),D在直线BC上,即与共线,存在实数,使,即(x3,y2)(6,3),x32(y2),即x2y10.又ADBC,0,即(x2,y1)(6,3)0,6(x2)3(y1)0,即2xy30.由可得即D点坐标为(1,1),(1,2),|,即|,D(1,1)1(变条件)本例中将“AD为BC边上的高”换为,且|,求D点坐标解设点D坐标为(x,y),则(x2,y1),(6,3),由得6(y1)3(x2)0,即x2y4,|,由可得或即D点坐标为(4,0)或(0,2)2(变结论)本例条件不变,求与的夹角解由本例解答可知:(1,2),又(1,3),cos ,又0,.向量的垂直问题主要借助于结论:abab0x1x2y1y20,把几何问题转化为代数问题它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握提醒:两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同,不能混淆教师独具1本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题2要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用(1)求平面向量的数量积;(2)解决向量模的问题;(3)解决向量的夹角与垂直问题3本节课的易错点解决两向量的夹角问题时,易忽视夹角为0或的特殊情况.1设向量a(1,0),b,则下列结论中正确的是()A|a|b|BabCab与b垂直 DabC由题知|a|1,|b|,ab10,(ab)bab|b|20,故ab与b垂直2向量m(x5,1),n(4,x),mn,则x_.44(x5)x0,x4.3已知a(1,3),b(2,1),则a与b的夹角为_cos ,又0,2,.4已知三点A(2,1),B(3,2),D(1,4)(1)求证:ABAD;(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度解(1)证明:A(2,1),

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