小学数学学习的过程.doc

第三章 小学数学学习的过程小学数学教学作为一种教师指导下的以学生为主体的数学认知活动，它要解决的根本问题是如何引导学生高效率、高质量地进行数学学习。本章主要阐述小学数学学习及其特点；介绍现代学习理论及其对小学数学学习的影响；较为详细地探讨小学数学知识、技能和问题解决的学习。3.1 小学数学学习概述一、小学数学学习及其特点小学数学学习是学生在小学阶段对数学学科的学习，是学生在教师指导下，由于获得数学知识经验而引起的比较持久的行为变化过程。它是一个有目的、有计划、有组织、有步骤的获得数学知识、掌握数学技能、形成数学问题解决能力、发展个性品质的过程。小学数学学习是一个复杂的心理活动。它不仅是一个认识过程，而且交织着情感、意志以及个性心理特征等。除原有的数学认知结构外，学生现有的思维水平与学习能力，都对数学学习起着直接的作用，影响着数学知识与技能的掌握。另一方面，学生的情感、意志、动机、兴趣、个性品质等也都对数学学习起着推动、增强、坚持、调节控制等作用。学生在学习数学时，要受到自身的认知因素与非认知因素的影响；同时，数学学习又促进认知因素与非认知因素的发展。小学数学学习作为一门具体学科的学习过程，一方面具有人类学习和学生学习的共同特点；另一方面又必然还有一些反映其个性的特点。具体来讲，小学数学学习具有以下一些主要特点。1小学数学学习需要感性材料的支持由于数学学科严密的逻辑性和高度的抽象性特点以及小学生的年龄特征，决定了小学数学学习比其他学科学习更需要感性材料的支持。因此，充分运用感性材料的直观形象性去帮助学生理解学习内容是小学数学学习特别明显的特点。小学生在学习中要通过观察、操作等活动从感性上认识教材内容，建立表象，才能将教材中的数学知识内化成自己的数学认知结构。2小学数学学习需要较强的抽象思维能力数学具有内在的逻辑体系和抽象性，数学学习和数学思维密切相关，学习数学需要较强的抽象思维能力。思考是学生数学学习过程的本质特点。小学生学习数学过程中的思考，既有直观思维，又有具体形象思维和抽象逻辑思维。学生在学习数学时，需要不断地对数学对象进行分析与综合、抽象与概括、判断和推理。3小学数学学习是在人类发现基础上的再发现小学数学学习是教师指导下学生对人类已有数学知识再发现的过程。在这个过程中，学生要采用多种途径，把教材中的数学知识转化成自己的数学认知结构。其中，数学活动是一种重要途径。它不仅可以帮助学生建立起所学数学知识的表象，从而更好地内化。而且还有利于学生切实经历数学知识的形成过程，感受数学与生活的密切联系。在数学学习过程中，教师要让学生动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段收集材料，获得体验，并且类比、分析、归纳，逐渐形成自己的数学知识与技能，发展自己的数学能力。为了降低学生“发现”的难度，教师应对人类的发现过程适当“加工”，把它“剪接”成缩短的、简化的过程。4小学数学学习是在教师的指导下，依据课程和教材进行的在小学数学学习过程中，学生要通过分析、综合、比较、抽象、概括等思维方法和概念、判断、推理等思维形式去实现对抽象数学知识的理解和掌握。而小学生由于受自身思维发展水平的制约，在数学学习中常出现思维过程不流畅甚至中断的现象，这在客观上就需要教师对学生的学习作必要的引导。主要体现在以下三个方面。（1）启发和引导学生把握好思考的起点，让学生面对具体的学习任务，知道应该从什么地方想起。（2）引导学生把握好数学思维发展的方向。知道朝什么方向去思考才能顺利完成学习任务。从而帮助学生克服思维过程中出现的种种障碍，保证思维过程的顺利进行。（3）启发学生对自己的学习过程作必要的反思。5小学数学学习要把握住主要的学习目的小学数学学习的主要目的，是获得现成的、系统的知识，掌握间接的经验，经历缩短的、简化的“发现”过程。掌握数学技能，发展数学能力和个性品质。为今后的学习奠定基础。二、小学数学学习的分类 对数学学习进行分类，能够揭示不同类型的学习规律，便于搞清影响学习的因素，并揭示出该类学习的心理过程。小学数学学习，按学习的深度划分，可以分为机械学习和有意义的学习；按学习的方式划分，可以分为接受学习和发现学习。1机械学习与有意义的学习学生学习数学，主要是掌握前人积累的数学知识，而这些知识是用语言文字符号来表示的。学生只有经过积极的思考，正确理解这些符号所代表的数学内容，才能将其转化为自身的精神财富。如果学生在学习时，不理解一些语言文字符号所表示的意义或方法，仅仅记住这些符号的组合或词句，那么这种学习就是机械学习。例如：有的小学生在解应用题时，见“多”就加，见“少”就减，不理解其实质意义，往往导致解答错误。有意义的学习指学生理解由符号或词句所代表的实际内容，新知识与学生头脑中已有的知识建立了非人为（非任意）的和实质性（非字面）的联系。例如：对于“23”，学生不仅知道结果等于6，而且知道这是3个2连加，符号“”表示求相同加数和的运算。这就是有意义的学习。小学数学学习基本上应该是有意义的学习。但机械学习就像机械识记一样不可避免，有时甚至是必要的。因为小学生知识、经验少，寻求新知识与原有的认知结构的结合点较困难。他们在学习中对很多材料最初只能建立非实质性的人为联系，只能是一知半解。只有在以后不断增长知识经验的过程中，才能逐步深化对学过的材料的理解。2接受学习与发现学习接受学习指学习的全部内容是以定论的形式呈现给学生，即把问题的条件、结论以及推导过程等都叙述清楚，不需要学生独立发现，只要他们积极主动地将所学的新知识与旧知识相联系，进行思维加工，就可以与旧知识融为一体。以这种方式获得的知识容易贮存，而且过程较科学，程式较稳定，时间较经济。发现学习的主要特征是不把学习的主要内容以定论的形式提供给学生，而要让学生自己去独立发现，然后内化。这些经过自己发现而组织到认知结构中去的材料最容易保持。所以发现学习对于激发内部动机、掌握学习方法和培养创造精神都是有益的。不过，小学数学学习中的发现学习，只能就少数课题进行，并且一般都是在教师指导下进行的。发现学习显然比接受学习复杂得多，所花的时间也较多。一般地说，学生的数学知识，大量是通过接受学习获得的，而各种数学问题的解决，则往往通过发现学习来实现。3两种划分的关系有意义学习和机械学习、发现学习和接受学习是划分学习的两个维度。这两个维度之间存在着交叉，即接受学习可以是机械学习，也可以是有意义学习；发现学习同样可以是机械学习或有意义学习。在讨论发现学习与接受学习时，往往有这样一种认识，即接受学习会导致机械学习，只有发现学习才能导致有意义学习。这种认识是片面的。因为学习有无意义，并不决定于学习形式，而是由学习内容和学习者决定的。只要教师能将具有逻辑意义的学习材料，同学生已有的认知结构联系起来，使学生理解材料的真正含义，不管采用发现学习，还是采用接受学习，都是有意义学习。如果学生无学习的心向，就是采用发现学习的形式，结果仍然导致机械学习。例如：在采用发现法学习圆周率时，如果一些学生无意去探索，最后只记住了=3.14这个结论，那么这些学生所进行的学习还是机械学习。在小学数学学习过程中，有意义的接受学习是学生获得数学知识的主要途径。因为学生不可能也没有必要对前人积累起来的数学知识，再经过自己的重新发现。但是，我们也必须看到，发现学习有利于培养学生的实践操作能力、探索能力和创新能力。对于接受前人已发现的知识，还是应该以有意义的接受学习为主，辅之以有意义的引导发现学习。如果按照学习的内容划分，小学数学学习还可以分为数学知识的学习、数学技能的学习和数学问题解决的学习，我们将在3.33.5对此进行探讨。三、小学数学学习的一般过程 1数学认知结构感知到的信息在人脑中被转移、简化、储存、恢复和运用的全过程，就是认知。在认知活动中，输入的信息被加工和改造，人脑中的知识便按照各人的理解深度和广度，结合自己的认知特点，形成了一个具有内部规律的整体结构，这就是认知结构。数学认知结构是学生关于数学学习内容的认知结构。实际上，就是学生头脑中的数学知识结构。数学认知结构是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物。对于学生来说，数学知识结构是前人研究数学的经验总结，是客观的、外在的东西。而数学认知结构是学生学习数学时在头脑中逐步形成的智能活动模式，是主观的、内在的东西。不同的学生，其数学认知结构的特点也不同。同一知识内容，可以形成不同的认知结构。数学认知结构有正误优劣之分，在一定程度上，体现了学习数学的能力。所以，单纯的数学知识积累，并不等于良好的数学认知结构的形成。但是，数学认知结构不可能离开数学知识结构而产生，它是从教科书及课堂教学的知识结构转化而来的，体现了数学知识与数学认知的统一。形成了一定的数学认知结构后，一旦大脑接受到新的数学信息，学生就能不自觉地、甚至是自动地用相应的认知结构对信息进行处理和加工。所以，数学认知结构在数学认知活动中发挥着积极的作用，是不断学习新知识的基础。同时，随着数学认知活动的进行，学生的数学认知结构又会不断分化改组，扩大加深，变得更加精确和完善。所以，数学认知结构是在数学认知活动中形成的，并经历了由简单到复杂、由低级到高级的发展过程。2小学生数学认知的基本方式 现代认知心理学的研究表明：学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中学生在教师的指导下，把教材的知识结构转化成自己的数学认知结构。小学生的数学认知结构主要是通过同化和顺应两种方式去建构的，同化和顺应是小学生数学认知的基本方式。（1）同化如果新知识与原有认知结构中的某些知识有着适当的联系，学生就把新知识纳入原有的认知结构中，从而扩大原有的认知结构，这一过程叫做同化。很明显，同化主要适用于那些与旧知识有密切联系的新知识的学习。例如，如果原有的认知结构中已有了乘数是一位数、两位数的乘法运算知识，那么再学习乘数是三位数的乘法时，就可以根据“用乘数哪一位上的数去乘被乘数，所得积的末位就与哪一位对齐”这一联系点，将新知识纳入原有的数学认知结构。（2）顺应如果在原有的认知结构中没有适当的知识与新知识相联系，那么就要对原有的数学认知结构进行改组，使之能接纳新的知识，这一过程称为顺应。例如，小学生开始学习分数时，由于分数与原有的整数认知结构不一致，所以，就不能简单地依靠同化方式在原有的整数认知结构基础上学习，而要对整数认知结构进行改造，通过分数的初步认识的学习，使计数单位在个、十、百、 的基础上，增添各种分数单位，逐步顺应分数的学习。我们说同化和顺应是两种不同的认知方式，这主要是为了研究的方便，其实在实际运用中，两者是辩证统一的，甚至是密不可分的，它们往往同时存在于某个学习过程中。就其活动方式和发挥的作用来讲，同化主要是改造新的学习内容使其与原有认知结构相吻合，便于新知识直接纳入原有认知结构；顺应则是改造原有认知结构以适应新知识的学习。小学数学学习中，同化和顺应总是相辅相成、互为补充的。3小学数学学习的一般过程小学数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的认知结构的过程。这个过程包括三个阶段：输入阶段，新旧知识相互作用（同化或顺应）阶段和操作阶段。其一般模式如图31所示：新的学习内容输入阶段原有的数学认知结构相互作用作用阶段产生新的数学认知结构操作阶段形成新的数学认知结构预期目标情境图31（1）输入阶段学习起源于学习情境。输入阶段实际上就是给学生创设学习情境，提供新的学习内容，激发学习动机，使学生在心理上产生学习新知识的需要（即心向），这是输入阶段的关键。在此阶段，教师所提供的学习内容应适应学生的能力和兴趣。（2）相互作用阶段产生学习需要后，学生以原有的数学认知结构为基础，对新的学习内容进行加工，以便进入相互作用阶段，即同化或顺应阶段。这一阶段要么改造新的数学知识，使之能纳入原有的认知结构（同化），或者改造原有的认知结构，以适应新的学习内容的需要（顺应），从而产生新的数学认知结构。（3）操作阶段操作，是指用新的数学认知结构去解决问题。使刚产生的新的数学认知结构臻于完善。数学学习过程的三个阶段是紧密相联的。任一阶段的学习出了问题都会影响数学学习的质量。从上面的分析可以看出：学生原有的数学认知结构总是学习新知识的基础。所以，数学教师首先要考虑学生已经知道了什么，掌握到何种程度，然后再考虑教学内容的深度和广度、呈现序列等问题，确保学生原有的认知结构和新的数学知识相互作用的顺利进行。复习思考题 3.11什么是小学数学学习？它有哪些特点？2接受学习和发现学习各有什么特点？3什么叫“认知”、“认知结构”？数学认知结构与数学知识结构有什么区别？4小学数学认知有哪几种基本形式？各有什么特点？ 5简要叙述小学数学学习的一般过程。3.2 现代学习理论及其对小学数学学习的影响研究数学学习，离不开一定的理论指导， 20世纪以来，国外学习理论的研究空前活跃，出现了不少新的理论。改革开放以后，这些理论陆续被介绍到国内来，也对我国的小学数学学习产生了较大的影响。一、 行为主义的学习理论对数学教育具有影响的行为主义学习理论主要是桑代克的“联结说”。桑代克是美国心理学家，他做了许多动物学习的实验，提出了联结主义的试误说。他认为学习是刺激和反应的联结。所谓联结是指学习者对情境所引起的反应，而这种反应又是学习者在情境中经过不断地尝试和改正错误的结果。在桑代克的这种观点的倡导下，用训练和练习的方式学习数学可以说是20世纪30年代数学教育观念的主流。桑代克在总结他早期实验的基础上提出了三条学习定律：准备律、练习律和效果律。后来，他又对准备律和练习律作了修改，把它们看成是效果律的从属性原则。效果律的基本涵义是：决定学习的最重要因素是机体的行为后果，凡是导致满意后果的行为就会被加强，而带来烦恼的行为则会被削弱或淘汰。这些学习定律导致在数学教学中把算术内容一小块一小块地分裂成许多组成部分，以便于独立地教授和考查。其中重要的联结被精心设计，经常加以训练，而不太重要的联结则较少训练。教师的作用在于鉴别各种联结，然后精心组织。其指导原则是保证小联结的学习，这样有助于学生在以后的学习序列中学习更困难的联结。一些基于计算机辅助教学的软件包也反映出桑代克的学习原则。学习材料以较小的单元呈现，通过所设计的活动把强化的效果最大化。由于桑代克的学习理论不少是将动物实验推及人类，因而他的理论存在着机械主义的倾向，忽视了人类学习的社会性、主观能动作用和学习过程中理解的作用。尽管如此，桑代克的学习理论对数学教育的影响是很大的，它在培养学生的学习情绪、引起学生的学习动机、引导学生在尝试的过程中应用推理和批判的方法、在概念、原理、法则学习之后予以必要的重复练习等方面，值得我们借鉴。二、认知主义的学习理论1皮亚杰的发生认识论著名的瑞士心理学家皮亚杰是当代认知学派的主要代表人物，他一生最大的贡献就是创立了发生认识论的理论体系，研究了人类特别是儿童认识的发展，提出了认知发展阶段。皮亚杰借用数学和逻辑的概念对个体认知发展的阶段作了深刻地说明，他把儿童认知发展分为四个主要阶段。（1）感知运动阶段（02岁）处于这一时期的儿童主要是靠感觉和动作来认知周围的事物。（2）前运算阶段（27岁）这一时期的儿童能凭借语言或某些示意手段描述事物的特征，但这一时期的儿童还不具备运算的可逆性和守恒性。（3）具体运算阶段（712岁）儿童在这一阶段已出现逻辑思维，他们的思维已具有可逆性和守恒性，但离不开具体事物的支持。（4）形式运算阶段（1214、15岁）儿童在12岁左右开始在头脑里把内容和形式分开，能进行抽象逻辑思维和命题运算。皮亚杰认为，在儿童认知发展历程中，各阶段出现的一般年龄特征可能有一定的个体差异，但各个阶段出现的先后顺序是固定不变的。同时，这四个阶段是一个连续不断的发展过程，后一阶段是前一阶段的延伸，前一阶段是后一阶段发展的前提和条件。根据皮亚杰的认知发展阶段理论，小学生正处于具体运算阶段，他们也已经能够进行初步的逻辑思维，但这种思维要在感性材料支持下才能顺利进行。因此，小学数学学习特别要注意以下两点。（1）要重视动作和感知等直观活动，让学生先形成丰富的数学知识表象，然后再进行抽象概括。（2）作为小学数学学习的数学知识内容不要急于符号化，要防止学生的学习陷入缺乏真正理解的徒有其表面的符号把握局面。2布鲁纳的认知发现学习理论布鲁纳是美国著名教育心理学家，也是当代认知心理学派的主要代表人物，他创立的认知发现学习理论对小学数学学习有着广泛的影响。（1）学科结构论的思想布鲁纳在他的教育过程一书中明确提出了学科结构论的课程论和教学论思想，他认为“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”学科的基本结构，是指该学科的基本概念、基本原理和基本规律及其相互联系。布鲁纳特别强调学生学习和掌握学科的基本结构，是因为他认为学生掌握学科的基本结构，有以下作用：有利于对知识的理解，“懂得基本原理可以使得学科更容易理解”。可以更好地记忆学科知识，他认为“获得的知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半会遗忘的知识”。有利于知识的迁移，“如果在一门学科中把这些观念概括地学好了，就会使得在别的学科中以不同的形式再来学习它们时要容易得多”。布鲁纳的学科结构论思想对小学数学学习有以下几方面的启示：选择什么样的数学知识作为小学数学课程内容，学科结构论给了我们明确的回答，那就是要选择尽量简要、尽量带有迁移力的数学知识，也就是那些有广泛适用性的数学基本概念和基本原理。这样，可以从根本上避免由于数学知识量的扩大和质的不断更新可能给教学带来灌输主义的弊端。布鲁纳在教育过程中提出了一个大胆的假设：“任何学科的基本原理都可以用某种形式教给任何年龄的任何人。”虽然人们普遍认为这一假设的科学性值得怀疑，实现的可能性也是有待证实的。但是它给了我们一个重要的启示，那就是小学数学学习要重视概念和原理的早期渗透，让学生尽早以直观的形式去感知抽象数学概念的具体例证和原理的特定意义，为今后进一步掌握这些概念的科学定义和原理的理论意义打下良好的基础。小学数学学习应把数学基本概念、基本规律和基本原理置于学习中的中心地位。让学生牢牢掌握这些概念和原理，然后在此基础上进行不断地扩充和联结，从而帮助学生在头脑里形成一个相对完善的、结构化的数学知识体系。布鲁纳认为“学习的最好刺激，乃是对所学材料的兴趣，而不是诸如等级或往后的竞争便利等外来目标”。激发学生学习数学的兴趣主要是培养他们对数学知识本身的兴趣，让学生通过对数学学科的爱好而产生一种内在的学习动机。在教学中要充分挖掘小学数学教材本身所具有的激励因素，让学生明确数学与实际生活的密切联系，并感受数学在生活中的价值，以此激发学生学习数学的愿望和动机。（2）发现学习的理论布鲁纳认为：知识的习得过程是一个积极的认知过程，而非被动的接受过程。因此，他大力提倡发现学习。他认为发现学习有利于发挥学生的智慧潜力，能激发学生内在的学习动机，可以促进学生学会发现的试探方法，有利于学生对所学知识的保持。布鲁纳的发现法主要有以下一些特征：发现学习有利于学生去主动地发现数学知识，并且让学生在获取数学知识的同时，探索精神和创新意识也得到切实有效的培养。发现学习特别关注学生的学习过程，这不仅有利于学生更好地理解数学知识的形成过程，促进数学知识之间的联系，而且还可以让学生在发现数学知识的同时，获得掌握数学知识的方法。发现学习强调直觉思维。布鲁纳认为，直觉思维对于科学发现活动极为重要，直觉思维的形成过程一般不是靠言语信息，尤其不是靠教师的提示性语言文字。直觉思维的本质是映象或图象性的。所以，教师在学生的探究活动中要帮助学生形成丰富的想象。发现学习强调学习的内在动机，这为我们在教学中培养学生的求知欲，调动他们的学习积极性提供了一条重要的途径。要采取切实有效的措施把教师提出的外部要求转化成学生自己的内部学习动机，从而促进学生更加积极主动地参与数学学习活动。布鲁纳在强调发现学习时，并没有完全否认教师的作用。他说：“教这个字眼现在不很时髦，但我还是准备谈教。”在他看来，学生学习的效果有时取决于教师何时、按何种步调给予学生矫正性反馈。通俗地说，就是取决于教师的有力的指导。当然，发现学习也有其自身的局限性，在教学中如果处处都让学生自己去发现，那么小学数学学习就有可能走向一条少、慢、差、费的道路。因此，小学数学学习既不能单纯采用接受学习，也不能片面强调发现学习。3奥苏伯尔的认知同化理论奥苏伯尔是美国当代著名的认知心理学家，他提出了有意义的言语学习理论，这一理论被称之为认知同化学习理论。（1）意义学习理论。奥苏伯尔根据个体理解和掌握知识的内部特征把学习分为意义学习和机械学习，在此基础上提出了意义学习的理论。他认为所谓意义学习就是指用语言文字或符号表述的新知识能够同学习者认知结构中已有知识建立起实质性和非人为的联系。奥苏伯尔把实质性的联系和非人为的联系作为判断有意义学习的两条基本标准。实质性的联系是指学习者能够不受特定词语的限制去理解所学新知识的意义，能用同义的语言文字表达学习材料的意义；非人为的联系是指新旧知识的联系具有客观合理的基础，在它们之间能建立起一种合理或符合逻辑的联系。奥苏伯尔认为，意义学习必须具备必要的主客观条件：一是学习者必须具备有意义学习的心向；二是学习者的认知结构中必须具有同所学新知识发生联系的适当观念；三是所要学习的新知识本身必须具有逻辑意义，它们要具有同学生认知结构中的有关观念建立起实质性联系和非人为联系的可能性。奥苏伯尔在意义学习理论中还全面阐述了接受学习和发现学习两者之间的区别和联系，以及它们与意义学习的关系。他认为，接受学习和发现学习是两种不同的学习方式，它们的主要差别在于所要学习的材料的主要内容是由学习者自己发现的还是提供给他的。但是，两者之间也存在着必然的联系，那就是只要具备了有意义学习的条件，它们都能成为有意义的学习。奥苏伯尔认为，接受学习和发现学习两者都既可能是机械的，也可能是有意义的，这要看学习时所处的条件而定。奥苏伯尔认为学校主要应采用意义接受学习，尤其是意义言语接受学习。20世纪80年代以来，奥苏伯尔的意义学习理论对我国的小学数学学习研究产生了深刻的影响，特别在以下几方面给我们有益的启示：小学数学教学要全面优化教材结构，使小学数学教材内容更具有逻辑意义，以此从学习内容上为学生的意义学习提供保证。小学数学教学要为学生创设恰当的学习情境，激发学生的学习兴趣和动机，让他们具有积极主动地参与数学学习的心理倾向。小学数学教学要注意引导学生综合运用有意义的接受学习和发现学习两种方式进行学习，通过两者的有机结合实现学生在接受学习中有所发现，在发现中更好地接受和掌握数学知识。（2）学习准备原理。奥苏伯尔在他的教育心理学认知观点一书中说：“影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。”他在这里精辟地概括了学习准备的重要性，学习准备是指学生在从事新的学习时，他原有的知识水平或原有的心理发展水平对新的学习的适合性。学习准备可以分为认知、情感和运动动作几方面的准备，这里主要讨论认知准备。认知准备包括两方面内容：一是知识准备。知识准备指在学习新知识之前，学生认知结构中应当具备的有关知识基础。例如：学生学习两位数乘两位数的乘法之前，头脑里必须具备两位数乘一位数的乘法知识，两位数乘一位数的乘法对两位数乘两位数的乘法的学习来说就是一种必不可少的知识准备。二是认知发展准备。认知发展准备指学生从事新的学习或一定范围内的智慧活动所具备的认知功能的适当发展水平。它主要由认知成熟程度决定，其内容包括观察力、注意力、记忆力、想象力、思维能力等方面的特征，特别是学生的思维能力发展水平对学习的影响尤其重大。例如：进行较复杂问题解决学习时，学生的思维能力特别是分析、综合、比较、抽象概括能力必须达到相应的发展水平，否则就难以实现问题的解决。在小学数学学习中学生应怎样去作好认知准备呢？根据奥苏伯尔的学习准备原理，可在学习新知识前认真复习与之密切相关的旧知识，唤起学生对这些内容的积极回忆，以此从知识内容上为新的学习作好准备，其形式可以是为新的学习设计恰当的“组织者”。例如：在教学除数是小数的除法之前，设计一组由商不变的性质和除数是整数的除法计算等内容组成的引导性材料，以此作为学习除数是小数除法的“组织者”，并通过这种“组织者”，实现学生对除数是小数的除法的顺利掌握。三、建构主义学习理论建构主义思想主要来源于科学哲学家库恩等人的科学哲学理论、皮亚杰的发生认识论、维果茨基的语言习得理论等等一些理论。建构主义是在研究儿童认知发展基础上产生的，是学习理论中行为主义发展到认知主义以后的进一步发展。建构主义学习理论已成为一种重要的理论思潮，广泛地影响着学习研究。1建构主义知识观建构主义认为：“知识并不是对现实的准确表征，它只是一种解释、一种假设，它并不是问题的最终答案。”因此，“知识不可能以实体的形式存在于具体个体之外，尽管我们通过语言符号赋予了知识一定的外在形式，甚至这些命题还得到了较为普遍的认可，但这并不意味着学习者会对这些命题都有同样的理解。”“知识并不能简单地由教师和其他人传递给学生，而只能由每个学生依靠自身已有的知识和经验主动地加以建构”。同时，他们还认为任何知识在为个体接受之前，对个体来说都是没有意义的，更无权威可言。这些观点反映了建构主义心理学对知识和知识掌握本质属性的根本看法。2建构主义学习观建构主义认为，学习不是学生被动接受教师所授予的知识，也不是知识的简单积累，它是学习者认知结构的组织和重新组织，是学生主动建构知识意义的过程。学习过程同时包含两方面的建构：（1）对新知识意义的理解，并且这种理解不只是弄清楚课本上写的和教师讲解的本意，更主要的是学习者依据已有的知识经验对所学知识作出自己的解释，使其成为对自身来说是有意义的知识。（2）对原有经验的改造和重组。建构主义认为知识的意义主要在于学习者通过新旧知识经验之间的反复相互作用而建构，他们十分关注学生如何利用已有知识经验和心理结构为基础建构知识，特别强调学习者在建构新知识的同时，对自己原有经验的改造和重新编码。他们认为：“认识必定是一个整合的过程，即如何把新的对象纳入已有的认知结构之中，从而使全部知识汇成一个整体，而为了实现这样的整合，就必须对已有认知结构作出必要的更新。”3建构主义教学观建构主义认为：“教师是意义建构的帮助者、促进者，而不是知识的提供者和灌输者。学生是学习信息加工的主体，是意义建构的主动者，而不是知识的被动接受者和被灌输的对象。”教学不能无视学生的已有知识经验，应把学生已有的知识经验作为新知识的生长点，并引导他们从现有的知识中“生长”出新的知识。学生是学习的主人，他们的知识从根本上来讲不是教师教会的，而是他们自己主动建构的。因此，教学中教师不能以主观的分析或解释去代替学生真正的思维活动。值得注意的是，建构主义学习理论在我国本次课程改革中具有十分重要的地位。在钟启泉等主编的基础教育课程改革纲要（试行）解读中明确提出：统整的建构主义研究与实施素质教育的重要理论依据。在统整各派建构主义理论的基础上，汲取该学说的合理内核，并从知识观、学习观、课程观和评价观四个方面建构素质教育的理论框架。作者进一步指出：1建构主义的知识观我们提出超越二元论的建构主义知识观，即知识的客观性与主观性的辩证统一、以发现为主导的知识的接受与发现的辩证统一、以建构为主导的知识的结构与建构的辩证统一以及知识的抽象性与具体性的辩证统一，同时，还应该注意明确知识与默会知识的联系。2建构主义的学习观我们主张，每个学习者都不应等待知识的传递，而应基于自己与世界相互作用的独特经验去建构自己的知识并赋予经验以意义。为此，我们强调学习的积极性、建构性、积累性、目标指引性、诊断性与反思性、探究性、情境性、社会性以及问题定向的学习、基于案例的学习、内在驱动的学习等等。3建构主义的教学观在更新知识观、学习观与课程观的基础上，我们强调，教学应该通过设计一项重大任务或问题以支撑学习者积极的学习活动，帮助学习者成为学习活动的主体；设计真实、复杂、具有挑战性的开放的学习环境与问题情境，诱发、驱动并支撑学习者的探索、思考与问题解决活动；提供机会并支持学习者同时对学习的内容和过程进行反思与调控。现代学习理论众多，它们分别从不同的角度解释学习，都有其合理的一面。但是，学习是一个相当复杂的系统工程，不同的民族、不同的学科、不同的时代所适用的学习理论可能都有所差异。很难寻找到统一的解释、指导各种学习的学习理论，或者说这样的学习理论可能就不存在。因此，在我们运用学习理论研究学习时，可以采取这样一种态度：把认知观和行为观结合起来，在认知观中既吸收建构主义中有用的东西，也吸收信息加工心理学中有用的东西。在研究学习时，既把学习看成过程，也把学习看成结果。在研究学习的条件时，既指出其内部条件，也指出其外部条件。古为今用，洋为中用，逐步形成有自己特色的小学数学学习理论。复习思考题 3.21 结合实例谈谈你对发现学习理论的分析与评价。2 结合实例谈谈你对意义学习理论的分析与评价。3 简述你对建构主义的学习观的分析与评价。3.3 数学知识的学习过程按照学习的内容划分，小学数学学习可以分为数学知识的学习、数学技能的学习和数学问题解决的学习。它们是小学数学学习研究的主要方面，我们分三节进行比较具体的研究。数学知识包括数学概念和数学规则，它们的学习过程分别阐述如下。一、数学概念的学习过程 1数学概念及其表现形式（1）数学概念概念是客观事物的本质属性在人脑中的反映。它是思维的一种基本形式。数学概念是客观事物的数量关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映。常用一个符号或词语表示，如符号“”、“=”，名称“三角形”、“正方形”等。由于数学概念所代表的是一类对象，所以它在一定范围内具有普遍意义。例如：三角形这一数学概念，它是不同位置、不同大小、不同类别的三角形的本质属性在人脑中的反映。它的内涵是：由三条线段围成的平面图形；外延是：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形等。学习数学概念就意味着掌握一类对象的本质属性。数学概念是学好数学基础知识的“细胞”，是学好数学基础知识的关键，也是提高数学能力的前提。因为数学概念代表了一类对象的本质属性，所以它是抽象的。例如：现实生活中不存在抽象的三角形，而只有形形色色的三角形形状的物体。从这种意义上说，数学概念“脱离”了现实。由于数学概念往往使用符号化语言来表达，因而其抽象程度更高。数学概念的抽象程度愈高，与现实的原始对象（现实原型）联系愈弱，其应用便愈广。例如：单位“1”，不仅可以表示数量1，还可以表示一条线段、一堆物体、一个班级人数、一块地、。（2）数学概念的表现形式数学概念具有抽象的特征，而小学生的认识特点带有具体形象性。这种抽象性和形象性之间存在一定的矛盾。为了处理好这一矛盾，小学数学教材中的概念，根据小学生的心理特点，大致有以下几种表现形式。用图画的形式表现概念在小学中、低年级，为了使学生具体地认识数学概念，一些概念往往以物体、图画的形式来表现。例1 角的初步认识。先是出示日常生活中经常看到的各种包含了角的实物图，再用纸折成大小不同的角，运用图画揭示它们共同的形状特征。如图3-2：（1） （2） （3）图 3-2我们把这些图形都叫做角。用描述的方法借助具体事例说明概念一些概念的定义很抽象，小学生很难理解和掌握，必须用描述的方法来表述。一般采用“像这样的叫做”的叙述方法。例2 小数的初步认识。在“小数的初步认识”中，小数的初步认识是这样描述的：“像0.1,0.2,1.3,1.4等都是小数。”用逐步渗透的方法来揭示概念逐步渗透就是让学生在不同场合、不同阶段多次接触概念所反映的一些对象，并逐步揭示概念的本质属性。这也体现了小学数学教学内容的编排要遵循“由浅入深、循序渐进、适当分段、螺旋上升”的原则。例如：整数、分数等概念的教学都是分阶段逐步进行的。开始时，先让学生有一个初步的认识，当学生的感性认识达到一定程度时，再逐步揭示它们的内涵。小学数学是中学数学的基础，小学数学中一些直观描述的概念或者没有定义的概念，到中学阶段会逐步得到定义或者得到扩充和发展。例如：小学中的圆、长方体、圆柱体等都只是通过实物、图画形象地描述了它们的特征，并没有以定义的形式揭示概念的本质属性，而到了中学就会给出较为严密的定义。用定义的形式来揭示概念的本质属性定义是揭示概念内涵（本质属性）的逻辑方法。通过给概念下定义可以揭示概念所反映的对象的本质属性，从而明确这一事物和其他事物的质的区别，小学数学中用到的定义方式有以下几种。1） 属加种差定义属加种差定义是数学中常用的一种定义方式，这种定义可用下列公式表示：种差 + 邻近的属概念 = 被定义概念。例3 在“只有一组对边平行的四边形叫做梯形”这个定义里，“梯形”是被定义概念，“四边形”是与它邻近的属概念，“只有一组对边平行”是种差。2） 发生定义发生定义指出了概念特定的发生或形成的过程。例4 射线的定义：“把线段的一端无限延长，就得到一条射线。”3） 约定式定义约定式定义是根据某种需要，通过约定的方式，规定新出现的词（符号）或词组的意义。例5 为了使乘法定义“求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法”中的“几”等于1或0时也有意义，我们规定“a1=a， a0=0。小学数学中的概念，虽然表现的形式很多，但由于数学概念的抽象性与学生的思维以形象思维为主相矛盾，因此许多概念没有严格定义，而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念，就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的方法。因此，小学数学概念教学具有两个特点：一是直观性；二是阶段性。2数学概念学习的基本形式概念的学习过程，就是对事物的本质属性进行抽象概括的过程，也就是舍弃事物非本质属性的过程。所以，概念学习就是学生对同类事物的本质属性与非本质属性的不断辨别的过程。数学概念学习一般有两种形式：概念形成和概念同化。（1）概念形成概念形成的含义在课堂教学条件下，从具体事例出发，从学生实际经验的肯定例证中，抽象、概括出一类事物的本质属性。这种获得概念的方式叫做概念形成。例如：小学数学教科书中的长方形、正方形、三角形、圆、长方体等概念的初步认识，都是通过观察、辨别一类事物的具体例子，从学生熟悉的肯定例证中抽象、概括出来的。这时，儿童的认识仅仅是直观的，还不能给这些概念下定义。概念形成的一般过程用概念形成的方式学习概念时，首先要提供大量的事例，这种材料可以是教师提供的，也可以是学生提供的熟悉的经验材料。通过分析、比较，抽象出各个事例的共同属性，在此基础上区分本质属性和非本质属性，再概括出共同的本质属性，从而明确新概念的内涵和外延，扩大或改组原有的认知结构。其一般过程如图3-3：分析比较辨别一类事物的具体例子。抽象出各个例子的共同属性。概括共同的本质属性作为新概念的内涵。根据新概念的内涵明确新概念的外延。明确新概念与原有的认知结构中有关概念间的关系，扩大或改组原有的认知结构。图3-3例6 循环小数概念的学习过程大致如下：1）先由学生计算103和58.611，然后通过观察、分析发现，在103这道除法中，因为余数重复出现1，所以商重复出现3，永远除不尽。因此，103=3.33。在58.611中，因为余数重复出现3和8，所以商就重复出现2和7，也除不尽。因此58.611=5.32727。2）比较分析上述两个例子，抽象出它们的共同属性：这两个小数，从小数部分的第一位（或第二位）起，有一个（或两个）数字依次不断地重复出现。3）把上述两个例子的共同的本质属性推广到同类事物的全体，概括出新概念的内涵，并用定义表示：一个小数，如果从小数部分的某一位起，有一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。4）根据循环小数的内涵，明确它的外延。如3.33和5.32727都是循环小数；又如1.5353，8.4666也都是循环小数。但是像0.19292，3.1415926就不是循环小数，因为它们都不符合循环小数的定义。5）明确循环小数（一种无限小数）与原有的认知结构中有限小数的区别，扩大学生原有的认知结构。概念形成的条件内部条件（学生自身的条件）：学生必须能辨别概念的正反例证。正例可突出有关特征，反例则能有效地排除无关特征的干扰。外部条件（情境条件）：学生必须从外界获得反馈信息。教师必须对学生所提出的概念特征的假设作出肯定或否定的反应。（2）概念同化概念同化的含义利用学生已有的知识、经验，以定义的方式直接揭示概念的本质属性，这种获得概念的方式叫做概念同化。例如：偶数、奇数、质数、合数和分解质因数等概念都是用概念同化的方式获得的。概念同化的一般过程用概念同化的方式进行概念学习时，先要找出原有的认知结构中的有关概念，研究它的分类及分类的标准，并把新学的概念从中分化出来，给出定义。从而将新概念纳入原有的概念体系之中，扩大或改组原有的认知结构。其一般过程如下：（图34）找出原有的认知结构中的有关概念,研究它的分类。把新概念从原有概念中分化出来，并给出定义。根据新概念的内涵明确新概念的外延。明确新概念与原有的认知结构中有关概念之间的关系,扩大或改组原有的认知结构。图34例7 学习直角三角形时，一般过程大致如下：1）先找出学生原有的认知结构中的有关概念：三角形、角、直角，研究三角形的三个角的各种情况。2）突出直角三角形“有一个角是直角”这一本质属性，把新概念从原有的三角形概念中分化出来，并给出定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。3）根据直角三角形的定义，明确任何一个三角形中，只要有一个角是直角，那么这个三角形就是直角三角形。4）将直角三角形纳入三角形概念体系，扩大原有三角形概念的认知结构。概念同化的条件内部条件：学生认知结构中有同化新概念的有关知识。这些知识越巩固、越清晰，则新概念的同化越容易。外部条件：必须把原有的有关概念精确分化。在获得概念的两种形式中，概念形成主要依靠对具体事物的抽象概括，概念同化则主要依靠新旧知识的联系。概念形成更接近于人类自发形成概念的方法，而概念同化是具有一定心理水平的人在已有概念的基础上学习新概念的主要方式。在小学、特别是低年级的数学学习中，由于概念积累不多，认知水平又低，所以他们对数学概念的学习较多的是按概念形成的方式进行。随着学生年龄的增长、知识的增多和认知结构的不断发展，概念同化便逐渐成为学生获得数学概念的主要方式。同时，不论使用的是哪一种概念学习的方式，都要求学生将自己原有的知识与新呈现的材料在头脑里发生积极的相互作用，将外部提供的材料转化为自己的认知内容。所以，这两种方式都是有意义的学习。而且，在教学概念的实际学习过程中，这两种方式往往是结合使用。3数学概念学习应注意的问题数学概念学习是数学学习的基础，在数学学习中占在十分重要的地位。学习时要注意以下几个方面。（1）注意选择学习新概念的感性材料和经验学生学习数学概念，无论是用概念形成的方式、还是用概念同化的方式，都离不开感性经验的支持。概念形成主要依赖的是对感性材料的概括，概念同化主要依赖的是对感性经验的概括。因此，感性材料和感性经验是影响概念学习的主要因素。教学时，要注意以下几点：材料或经验的数量从感性材料或经验中抽象概括数学概念，首先要求材料或经验要有足够的数量。如果提供的感性材料或经验数量太少，学生不仅不能获得概念的丰富表象，同时也难以区分出一类数学对象的本质属性和非本质属性。例如：学习梯形概念时，如果仅仅提供一个表面是梯形的实物，学生就难以概括出“只有一组对边平行”的本质特征。材料的典型性概念的本质属性越明显、越突出，就越有利于学生对概念的理解和掌握；而概念的非本质属性越多、越明显，就越不利于学生对概念本质属性和非本质属性的辨别，学生就越难以理解和掌握概念。因此，在教学中，要选用那些能反映概念本质属性的典型材料说明概念。材料的表现形式感性材料的表现形式对数学概念的学习和掌握也有重要影响，如果提供的感性材料都是一些“标准”的实物或图形，学生的感知就会不充分、不丰富，他们就难以区分一类对象的本质属性和非本质属性。因此，学习概念时还应提供一些变式材料。所谓“变式”，即变换概念肯定例证中的非本质属性的表现形式，变更观察对象的角度或方法，突出对象中隐藏的要素，从而突出一类对象的本质属性，更准确、更深刻地掌握概念。例如：学习“垂直”概念时，不仅提供“标准式”（图34（1），而且还要提供变式（图34（2），过直线外（或直线上）一点画直线的垂线，不仅要画水平方向的直线的垂线，而且要画铅直方向以及斜向的直线的垂线。（1） （2）图34（2）注意概念教学的阶段性和连贯性小学生掌握数学概念，往往不能一次完成，需要有逐步深入的过程。为此，教材常常采取螺旋式的编排方式，把一些数学概念的教学分阶段编排，使学生的认识逐步深入，因此，教师要充分领会教材的编排意图，一方面注意教学的阶段性，防止教学的“不到位”与“越位”；另一方面又要注意教学的连贯性，前一阶段的教学要为后