山东省滕州市大坞镇大坞中学八年级数学下册 第一章 三角形的证明课件 （新版）北师大版.ppt

第一章三角形的证明 怎么证明几何命题 证明命题的一般步骤 1 理解题意 分清命题的条件 已知 结论 求证 2 根据题意 画出图形 3 结合图形 用符号语言写出 已知 和 求证 4 分析题意 探索证明思路 由 因 导 果 执 果 索 因 5 依据思路 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 6 检查表达过程是否正确 完善 提示 要说明一个命题是假命题 通常可以举出一个例子 使之具备命题的条件 而不具备命题的结论 这种例子称为反例 counterexample 在本章中你学到了什么 角的平分线 通过探索 猜想 计算和证明得到定理 与等腰三角形 等边三角形有关的结论 与直角三角形有关的结论 与一般的三角形有关的结论 假设法 尺规作图 线段的垂直平分线 2 推论 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高线互相重合 三线合一 1 ab ac 1 2 已知 bd cd ad bc 等腰三角形三线合一 2 ab ac bd cd 已知 1 2 ad bc 等腰三角形三线合一 3 ab ac ad bc 已知 bd cd 1 2 等腰三角形三线合一 轮换条件 1 2 ad bc bd cd 可得三线合一的三种不同形式的运用 知识要点回顾 1 定理 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 4 等边三角形的判定 结论4 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半 结论5 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 3 等腰三角形有关知识要点 结论1 等腰三角形两底角的平分线相等 结论2 等腰三角形两腰上的中线相等 结论3 等腰三角形两腰上的高相等 3 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形 1 三条边都相等的三角形是等边三角形 2 三个角都相等的三角形是等边三角形 5 定理 在直角三角形中 如果一个锐角等于300 那么这个锐角所对直角边等于斜边的一半 它的逆命题 acb 900 a 300 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的锐角等于300 acb 900 a 300 几何语言 6 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 它的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 7 直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简称 hl 8 写出命题 等腰三角形的两个底角相等 的逆命题 有两个角相等的三角形是等腰三角形 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 9 线段的垂直平分线 它的逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 mn垂直平分ab mn ab ac bc或p在ab的垂直平分线上 pa pb pa pb 已知 点p在ab的垂直平分线上 几何语言 几何语言 10 角平分线 定理 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 pd oa pe ob pd pe 1 2 op是角平分线或p在 aob的平分线上 逆定理 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 1 2 pd oa pe ob pd pe 几何语言 11 定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 12 定理 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 外心 内心 到三个顶点距离相等是指垂直平分线上的点 到三条边的距离相等是指角平分线上的点 与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法 提示 能将证明的能力提升一个台阶的前提是 认识并掌握一定数量的基本图形 如 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 如 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 如 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 如 我能行不只是字面意义 互逆定理与互逆命题 在什么情况下互逆的命题才是互逆的定理 你能说出一对互逆的命题吗 一个命题的逆命题的真假性如何 一个定理的逆命题的真假性如何 它们的真假性如何 基本作图 作一条线段等于已知线段 已知三边 两边夹角 两角夹边 斜边直角边作三角形 作线段的垂直平分线 作已知角的平分线 作一个角等于已知角 作图题的一般步骤 已知 求作 分析 作法 证明 讨论 做一做 任意画一个角 利用尺规将其二等分 四等分 作图题的要求 能写出规范的作图步骤 例1 在 abc中 ab 2ac 1 2 da db求证 dc ac 2 1 a c e f 证明 取ab的中点e 连结de da db ae be de ab 等腰三角形三线合一 ab 2ac e为ab的中点 ae ac在 aed和 acd中 ae ac 1 2 ad ad aed acd sas aed acd 900即ac dc 或用延长法 延长ac至f使cf ac 连结df 小试牛刀 例2 如图 abc cde是等边三角形 1 求证 ae bd 2 若bd和ac交于点m ae和cd交于点n 求证 cm cn m n 3 连结mn 猜想mn与be的位置关系 并加以证明 思路探究 通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等 这是一种常见的证明方法 本题我们应注意用到等边三角形的性质以及平行法的判定方法 当图形较复杂时 注意分清条件与图形中的对应关系 学无止境 在 abc中 c 900 b 300 ad是 bac的平分线 已知 求ad的长 解 c 900 b 300 cab 600 ad是角平分线 cad 300 设cd x 那么ad 2x 在rt acd中 ad2 cd2 ac2 解得 x 2 ad 4 思路探究 本题综合运用了勾股定理 含300角的直角三角形性质 它们都与直角有关 所以当问题中出现直角条件时 要善于联想到这些性质 初露锋芒 提高证明能力的源泉 1 已知 如图 d e f分别是bc ca ab上的点 de ba df ca 求证 fde a 2 已知 如图 ad cb ad cb 求证 abc cda 提高证明能力的源泉 3 已知 如图 ab ac abd ace 求证 1 ob oc 2 be cd 提高证明能力的源泉 4 已知 如图 bd ce是 abc的高 且bd ce 求证 abc是等腰三角形 提高证明能力的源泉 5 已知 如图 在 abc中 a b c的度数之比是1 2 3 求 ac的长 提高证明能力的源泉 6 已知 如图 an ob bm oa 垂足分别为n m 且om on 求证 pm pn 提高证明能力的源泉 7 已知 如图 mn是线段ab的垂直平分线 c