初中数学思想方法的教学与应用.ppt

一节优质课的思考和成长 郑州市第八十五中学张利红 初中数学思想方法的教学与应用 中位数 czsy6050 什么是数学思想和方法 数学思想 就是对数学知识的本质的认识 是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数学观点 它在认识活动中被反复运用 带有普遍的指导意义 是建立数学和用数学解决问题的指导思想 数学方法指在数学中提出问题 解决问题 包括数学内部问题和实际问题 过程中 所采用的各种方式 手段 途径等 数学思想和数学方法是紧密联系的 强调指导思想时 称数学思想 强调操作过程时 称数学方法 中位数 czsy6050 常用的数学思想方法 常用数学思想 建模思想 统计思想 最优化思想 转化化与化归思想 类比思想 分类思想 整体思想 数形结合思想 方程思想 函数思想等 常用数学方法 配方法 换元法 待定系数法 参数法 构造法 特殊值法等 中位数 czsy6050 1 生活的需要 为什么要重视数学思想方法的学习 2 学生发展的需要 3 课标要求 4 高效课堂的需要 中位数 czsy6050 一 数学思想方法的培养应遵循的原则 渗透性原则 层次性原则 反复性原则 如何培养初中生的数学思想方法 二 在知识的传授全过程中 培养学生的数学思想在概念形成过程中 在公式定理的证明过程中 在例题教学中 在练习过程中渗透和培养数学思想 三 培养学生自觉应用数学思想方法解决实际问题的能力 中位数 czsy6050 初中数学思想方法的教学与应用 类比联想整体思想数形结合思想分类讨论思想转化与化归思想方程与函数思想 中位数 czsy6050 类比联想 类比法 是通过对两个研究对象的比较 根据它们某些方面 属性 关系 特征 形式等 的相同或相类似之处 推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法 类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较 分析联想以至形成猜想来完成的 是一种由特殊到特殊的推理方法 中位数 czsy6050 教学体现 相似三角形判定方法的探索零指数幂和负整数指数幂的性质探索特殊平行四边形性质和判定的探索直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的探索整式除法运算法则探索求多边形内角和 中位数 czsy6050 2008中考 18 9分 复习 全等三角形 的知识时 老师布置了一道作业题 如图 已知在 ABC中 AB AC P是 ABC内部任意一点 将AP绕A顺时针旋转至AQ 使 QAP BAC 连接BQ CP 则BQ CP 小亮是个爱动脑筋的同学 他通过对图 的分析 证明了 ABQ ACP 从而证得BQ CP之后 将点P移到等腰三角形ABC之外 原题中的条件不变 发现 BQ CP 仍然成立 请你就图 给出证明 中位数 czsy6050 2010中考 22 1 操作发现如图 矩形ABCD中 E是AD的中点 将 ABE沿BE折叠后得到 GBE 且点G在举行ABCD内部 小明将BG延长交DC于点F 认为GF DF 你同意吗 说明理由 2 问题解决保持 1 中的条件不变 若DC 2DF 求的值 3 类比探求保持 1 中条件不变 若DC nDF 求的值 F 中位数 czsy6050 F 中位数 czsy6050 2012中考 中位数 czsy6050 整体思想 整体思想就是从问题的整体性质出发 突出对问题的整体结构的分析和改造 发现问题的整体结构特征 从宏观整体上认识问题的实质 把一些彼此独立 但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理的思想方法 中位数 czsy6050 教学体现 多项式与多项式相乘的法则探索二元一次方程组的解法代数式求值分解因式整式的相关计算 中位数 czsy6050 应用 2 已知方程组 的解是 则a b 3 1 若x 1时 代数式ax3 bx 7的值为4 则当x 1时 求ax3 bx 7的值为 4 中位数 czsy6050 5 如图 在高2米 坡角为30 的楼梯表面铺地毯 则地毯的长度至少需要米 6 如图 A B C两两不相交 且半径都是0 5cm 则图中的阴影面积为 中位数 czsy6050 7 2009绵阳中考12题 如图 ABC是直角边长为a的等腰直角三角形 直角边AB是半圆O1的直径 半圆O2过C点且与半圆O1相切 求图中阴影部分的面积 中位数 czsy6050 数形结合思想 数形结合思想是指将数 量 与 图 形结合起来进行分析 研究 解决问题的一种思维策略 数形结合就是把抽象的数学语言 数量关系与直观的几何图形 位置关系结合起来 通过 以形助数 或 以数解形 即利用形的直观加深对数量关系的理解或利用数的抽象性加深对图形的认识 实现了抽象思维与形象思维的结合与转换 数与形本是相倚依 怎能分作两边飞 数缺形时少直观 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 华罗庚 中位数 czsy6050 教学体现 数轴平面直角坐标系函数空间与图形勾股定理平方差公式 完全平方公式的几何意义 中位数 czsy6050 应用 2 关于x的不等式组无解 则a的取值范围是 1 已知a 0 b 0 且a b 则 A b aB b C a b D b a 3 如图是小张用火柴搭的1条 2条 3条 金鱼 则搭n条 金鱼 需要火柴根 4 若M y1 N y2 P y3 三点都在函数 k 0 的图象上 则y1 y2 y3的大小关系为 A y2 y3 y1B y2 y1 y3C y3 y1 y2D y3 y2 y1 中位数 czsy6050 6 5 对于二次函数y ax2 bx c若a 0 b 0 c 0 则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是 A 只有一个交点B 有两个 都在x轴的正半轴C 有两个 都在x轴的负半轴D 一个在x轴的正半轴 一个在x轴的负半轴 2012中考 中位数 czsy6050 7 08湖北恩施州 如图 C为线段BD上一动点 分别过点B D作AB BD ED BD 连接AC EC 已知AB 5 DE 1 BD 8 设CD x 1 用含x的代数式表示AC CE的长 2 请问点C满足什么条件时 AC CE的值最小 3 根据 2 中的规律和结论 请构图求出代数式的最小值 中位数 czsy6050 分类讨论思想 分类讨论思想又称逻辑划分 即把所有研究的问题根据题目的特点和要求 分成若干类 转化成若干个小问题来解决 这种按不同情况分类 然后再逐一研究解决的数学思想 当数学问题中的条件 结论不明确或题意中含参数或图形不确定时 就应分类讨论 分类讨论解题的实质 是将整体问题化为部分问题来解决 以增加题设条件 中位数 czsy6050 分类讨论的步骤及原则 1 明确讨论对象 确定对象的全体 确立分类标准 标准统一 标准不同 结果也不相同 2 恰当分类 结果无遗漏 无交叉重复 3 逐类讨论 逐级进行 不越级讨论 4 归纳总结 综合得出结论 中位数 czsy6050 教学体现 a 实数的分类三角形的分类与圆有关的位置关系三角形判定方法的探索一元二次方程的解的情况 中位数 czsy6050 应用 1 等腰三角形的一个角等于30 腰长为20cm 求等腰三角形腰上的高的长 2 已知直角三角形两边x y的长满足 则第三边长为 3 A B两地相距450千米 甲 乙两车分别从A B两地同时出发 相向而行 已知甲车速度为120千米 时 乙车速度为80千米 时 以过小时两车相距50千米 则的值是 A 2或2 5B 2或10C 10或12 5D 2或12 5 中位数 czsy6050 4 在半径为1的 O中 弦AB AC分别为和 则 BAC的度数为 5 已知 O的半径为2 点P是 O外一点 OP的长为3 那么以P这圆心 且与 O相切的圆的半径一定是 A 1或5B 1C 5D 16 一次函数y kx b的自变量的取值范围是 3 x 6 相应的函数值的取值范围是 5 y 2 则这个函数的解析式 中位数 czsy6050 1 对 A进行讨论 2 对 B进行讨论 3 对 C进行讨论 在三角形的边上找出一点 使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形 中位数 czsy6050 劳技课上 老师要求学生在一张长17cm 宽16cm的长方形纸片上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形 要求等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点重合 其余两个顶点在长方形的边上 请帮助同学们计算一下所得等腰三角形的面积 中位数 czsy6050 在平面直角坐标系中 已知点P 2 1 x y 0 P A 1 点T t 0 是x轴上的一个动点 当t取何值时 TOP是等腰三角形 情况一 OP OT 情况二 PO PT 情况三 TO TP T3 4 0 中位数 czsy6050 2 过P作y轴的垂线PA 垂足为A 点T为坐标系中的一点 以点A O P T为顶点的四边形为平行四边形 请写出点T的坐标 0 P A 中位数 czsy6050 x y 0 P A 3 过P作y轴的垂线PA 垂足为A 点T为坐标轴上的一点 以P O T为顶点的三角形与 AOP相似 请写出点T的坐标 中位数 czsy6050 如图 边长为2的正方形ABCD中 顶点A的坐标是 0 2 一次函数y x t的图象l随t的不同取值变化时 正方形中位于l的右下方部分的图形面积为S 写出S与t的函数关系式 中位数 czsy6050 中位数 czsy6050 2011中考 22 如图 在Rt ABC中 B 90 BC 5 C 30 点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动 同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动 当其中一个点到达终点时 另一个点也随之停止运动 设点D E运动的时间是t秒 t 0 过点D作DF BC于点F 连接DE EF 1 求证 AE DF 2 四边形AEFD能够成为菱形吗 如果能 求出相应的t值 如果不能 说明理由 3 当t为何值时 DEF为直角三角形 请说明理由 中位数 czsy6050 转化与化归思想 化归就是转化与归结的简称 所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题 具体来说 就是把 新知识 转化为 旧知识 把 未知 转化为 已知 把 复杂问题 转化为 简单问题 中位数 czsy6050 教学体现 多边形内角和的探索整式乘法运算法则探索直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系探索分式方程的解法 多元方程 组 的解法 一元二次方程的解法几何实体与其三视图 中位数 czsy6050 应用 1 如图 回 字形的道路宽为1米 整个 回 字形的长为8米 宽为7米 一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B 他共走了 中位数 czsy6050 2 如图 是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图 由6个颜色不同的正方形组成 设中间最小一个正方形边长为1 则这个矩形色块图的面积为 中位数 czsy6050 3 如图所示 AB是半圆的直径 AB 4 C D为半圆的三等分点 求阴影部分的面积 中位数 czsy6050 4 如图 A是半圆上一个三等分点 B是弧AN的中点 P是直径MN上一动点 O的半径为1 求AP BP的最小值 中位数 czsy6050 方程与函数思想 函数的思想 就是用运动变化的观点 分析和研究具体问题中的数量关系 建立函数关系 运用函数的知识 使问题得到解决 这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征 重在对问题的变量的动态研究 从变量的运动变化 联系和发展角度拓宽解题思路要确定变化过程的某些量 往往要转化为求出这些量满足的方程 希望通过方程 组 来求得这些量 这就是方程的思想 方程思想是动中求静 研究运动中的等量关系 中位数 czsy6050 教学体现 二次函数求最值解直角三角形的相关问题最大利润问题最佳分配方案问题空间与图形的相关问题根据相关信息求函数关系式 中位数 czsy6050 1 如图 中 BC 4 P为BC上一点 过点P作PD AB 交AC于D 连结AP 问点P在BC上何处时 APD面积最大 应用 x 4 x 中位数 czsy6050 某学校有一段25米长的旧围栏 如图用AB表示 现打算利用该围栏 或它的一部分 为一边 围成一块面积为100 的长方形草坪 如图 其中CD CF 已知整修旧围栏的费用为每米1 75元 建造新围栏的价