函数的单调性与最值漫谈.doc

Email:地址：570206海口市海秀大道59号海南华侨中学李红庆工作室函数的单调性与最值漫谈海南华侨中学 黄玲玲 函数的单调性与最值是中学数学的核心内容从中学数学知识的网络来看，函数的单调性与最值在中学数学中起着“纽带”的作用，她承前于函数的值域、方程有解的条件、不等式证明，启后于数列的最值问题、导数的应用等知识例如：求函数的值域，令，则，则函数即为，由于，则函数在区间内是增函数，而，所以函数的值域为；方程在内有解，求实数的取值范围，由方程可变为，由于函数在区间内是减函数，在区间上是增函数，则，所以实数的取值范围是，在高三数学复习中要把函数（，）作为基本函数来掌握，它的图像如右下图所示，它在区间内为减函数，在区间内是增函数；设正数，满足，求证：，设函数，则函数在区间内是减函数，由基本不等式有，则有，也就是；设数列，的前项和为的最大值，假设最大，则，是递增的，是递减的，则有，即，解之或函数的单调性与最值在中学阶段分两个时期渗透，前期是函数的初等方法，即利用函数的单调性和最值的定义解决简单的基本函数或简单的基本函数的简单复合形式的问题，后期是函数的后续性质，主要利用导数的性质来研究函数的单调性和最值，解决一元高次函数或简单的超越函数问题下面分两个方面来漫谈：一、 前期的函数的单调性和最值问题1 利用函数的单调性或最值来求函数的值域例1 求函数的值域分析：凡是分数的分子、分母都是整式，一般是把次数高的式子按次数低的式子进行配方，这样就能得到关于某个式子的基本形式的函数，从而利用基本函数的特性解决问题解答：，令，则在区间上是单调减函数，则，则 练习1 已知函数的图像与轴两个交点的横坐标分别为， （1）证明：； （2）证明：，； （3）若，满足不等式求的取值范围解：（1）依题意有：，所以，所以；（2）因为函数的图像与轴两个交点的横坐标分别为，则判别式，即，设不妨设，（），又，所以，；（3），即，而，所以的取值范围是注意：令，则函数（）在区间上是减函数，在区间上是增函数，且或时取最大值；时取最小值例2 求函数的值域 分析：从广义上看项是项的二次关系，令，那么函数就可以变为关于的二次函数，利用二次函数的最值就能求出函数的值域 解答：令（），则，函数可变为 ，则，函数的值域为练习2：求函数的值域解：函数的定义域为，将函数变形为 ，则函数在区间上为减函数，所以，所以函数值域为 2复合函数的单调性与最值问题例3 求函数的单调递减区间分析：这个函数可以看成复合函数，其中（或），两个函数复合的单调性，是“同增异减”解答：函数的定义域为，令，由于，当时，所以函数的单调递减区间是，从图像上理解可以看下图： 练习3：求函数的单调递减的区间解：函数的定义域为，令，则（），当时，；或时，所以函数的单调递减区间是和例4 设，求函数的最大值和最小值分析：要把所给的函数化归成关于的二次函数形式，用配方法求指定区间内的最值解答： ， ， 当，即时，；当，即时，练习4：若时，求函数的最大值和最小值解：由，得，函数可化为， 即 ，当时，；当时，3含有参变量的函数的单调性与最值问题例5 求函数（）在区间上的最小值分析：函数的最值点在区间的端点或处，由于点在变动，要分在区间内，或左侧，或右侧的情形进行讨论解答：令，得，这是函数在区间内的图像的最低点的横坐标，即函数在上递减，在上递增因此有：（1） 当，即时，；（2） 当，即时，；（3） 当，即时， 练习5：例6 求函数在区间上的最值分析：函数的对称轴是不变的，区间在变动，在区间中，与差的绝对值最小的自变量为最小值的取值点，与差的绝对值最大的自变量为最大值的取值点因此，函数的最值点在区间的端点或处解答：因为抛物线的对称轴为，因此有：（1）当，即时，；（2）当，即时，；（3）当时，；（4）当时，二、 后期用导数研究函数的单调性和最值问题1一元高次多项式函数的单调性与最值问题例7 设函数，其图像在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为（1） 求，的值；（2） 求函数的单调递增区间，并求函数在上的最值分析：依函数的导数的几何意义，函数表示的曲线在点的导数即为以点为切点的切线的斜率，再由二次函数的最小值就可求出，的值解答：（1），直线的斜率为，所以切线的斜率为，则，即，则，代入式得，； （2）由（1），则，令，解之，所以，随的变化如下表：极大值极小值由于函数在上是连续不断的曲线，所以的递增区间为和；，所以当时，取最小值为；当时，取最大值为 2超越函数的单调性与最值问题 例8 已知函数，求函数在上的最大值分析：利用导数的性质求出函数的单调区间，再根据函数的极值点在区间的左侧，在区间内和在区间的右侧的三种情形进行分类讨论解答： ， 令 ，得或，由知，随的变化如下表：极小值极大值（1）当，即时，在区间上是减函数，；（2）当，即时，在上为增函数，在上为减函数，所以；（3）当，即时，在区间上是增函数， 综上所述，当时，；当时，；当时，三相关训练：1 求二次函f(x)=x2-2ax+2在2，4上的最大值与最小值2 已知是f(x)= 奇函数，且f(1)= （1） 求实数m、n的值；（2） 求函数f(x)在3, )上的最小值。3.已知函数f(x)=2ax-, （1）若f(x)在上是增函数，求a的取值范围； （2）求f(x)在区