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文档简介

第七节方向导数与梯度 1 1 设空间曲线的方程 1 式中的三个函数均可导 一 空间曲线的切线与法平面 曲线在M处的切线方程 切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 法平面 过M点且与切线垂直的平面 2 2 空间曲线方程为 切线方程为 法平面方程为 3 设曲面方程为 二 曲面的切平面与法线 令 切平面方程为 法线方程为 4 其中 5 实例 一块长方形的金属板 四个顶点的坐标是 1 1 5 1 1 3 5 3 在坐标原点处有一个火焰 它使金属板受热 假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比 在 3 2 处有一个蚂蚁 问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点 问题的实质 应沿由热变冷变化最骤烈的方向 即梯度方向 爬行 一 问题的提出 6 讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题 二 方向导数的定义 如图 P 7 当沿着趋于时 是否存在 P 8 记为 9 证明 由于函数可微 则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 10 解 11 解 由方向导数的计算公式知 故 12 推广可得三元函数方向导数的定义 13 解 令 故 方向余弦为 故 14 三 梯度的概念 15 16 结论 17 在几何上表示一个曲面 曲面被平面所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 18 等高线的画法 播放 19 例如 20 梯度与等高线的关系 21 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 其模为方向导数的最大值 梯度的概念可以推广到三元函数 22 23 解 由梯度计算公式得 故 24 1 方向导数的概念 2 梯度的概念 3 方向导数与梯度的关系 注意方向导数与一般所说偏导数的区别 注意梯度是一个向量 四 小结 25 思考题 26 思考题解答 27 Assignment P10868 28 练习题 29 30 练习题答案 31 等高线的画法 32 等高线的画法 33 等高线的画法 34 等高线的画法 35 等高线的画法 36 等
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