高考数学一轮复习 2.2 函数的单调性与最值课件 文 新人教A版.ppt

第二节函数的单调性与最值 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 函数的单调性 增函数 减函数 一般地 设函数f x 的定义域为i 区间d i 如果对于任意x1 x2 d 且x1 x2 则有 f x 在区间d上是增函数 f x 在区间d上是减函数 f x1 f x2 f x1 f x2 单调区间 若函数y f x 在区间d上是 或 则称函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做函数y f x 的单调区间 增函数 减函数 2 函数的最值 f x m f x m f x0 m 2 必备结论教材提炼记一记 1 函数单调性与图象 导数 运算及复合函数间的关系 上升 下降 大于 小于 相同 相反 2 对勾函数y x a 0 的增区间为 和 减区间为 0 和 0 且对勾函数为奇函数 3 设 x1 x2 d x1 x2 则 0 或 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在d上单调递增 0 或 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在d上单调递减 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 函数单调性的判定方法 图象法 定义法 导数法 2 数学思想 数形结合 分类讨论 3 记忆口诀 判断函数单调性 取值求差便可知 区域中甲小于乙 先求甲乙函数值 乙减甲的函数值 差正单增函数知 函数值差小于零 单减函数亦可知 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 函数y 的单调递减区间为 0 0 2 函数f x 在区间 a b 上单调递增 则函数f x 的单调递增区间为 a b 3 若f x 是增函数 g x 是增函数 则f x g x 也是增函数 4 已知函数y f x 在r上是增函数 则函数y f x 在r上是减函数 解析 1 错误 一个函数有多个单调区间应分别写 分开表示 不能用并集符号 连接 也不能用 或 连接 2 错误 f x 在区间 a b 上单调递增并不能排除f x 在其他区间上单调递增 而f x 的单调递增区间为 a b 意味着f x 在其他区间上不可能单调递增 3 错误 举反例 设f x x g x x 2都是定义域r上的增函数 但是f x g x x2 2x不是增函数 4 正确 易知函数y f x 与y f x 的图象关于y轴对称 由对称性可知结论正确 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修1p39a组t3改编 函数y 2k 1 x b在 上是减函数 则 a k b k d k 解析 选d 使y 2k 1 x b在 上是减函数 则2k 1 0 即k 2 必修1p31例4改编 函数f x 在 6 2 上的最大值和最小值分别是 解析 函数f x 在 6 2 上单调递减 最大值为f 6 最小值为f 2 答案 3 必修1p39b组t1改编 f x x2 2x x 2 4 的单调递增区间为 f x max 解析 因为函数f x x2 2x的对称轴为x 1 所以函数f x x2 2x x 2 4 的单调递增区间为 1 4 单调递减区间为 2 1 又f 2 4 4 8 f 4 16 8 8 所以f x max 8 答案 1 4 8 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 北京高考 在下列函数中 在区间 0 上为增函数的是 a y b y x 1 2c y 2 xd y log0 5 x 1 解析 选a y 是 0 上的增函数 y x 1 2在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 y 2 x 在x r上是减函数 y log0 5 x 1 在 1 上是减函数 2 2015 温州模拟 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a的值为 a 2b 2c 6d 6 解析 选c f x 2x a 因为函数f x 的增区间是 3 所以 3 即a 6 3 2015 中山模拟 对于任意实数a b 定义min a b 设函数f x x 3 g x log2x 则函数h x min f x g x 的最大值是 解析 依题意 h x 当02时 h x 3 x是减函数 所以h x min f x g x 在x 2时 取得最大值h 2 1 答案 1 考点1确定函数的单调性 区间 典例1 1 2014 天津高考 函数f x x2 4 的单调递增区间为 a 0 b 0 c 2 d 2 2 试讨论函数f x x 1 1 的单调性 其中a 0 解题提示 1 本题是对数函数与二次函数的复合函数 先求出函数的定义域 然后根据复合函数单调性的判定方法 确定函数的单调递增区间 2 用定义法或导数法进行判断 规范解答 1 选d 函数f x x2 4 的定义域为 2 2 因为函数y f x 是由y t与t g x x2 4复合而成 又y t在 0 上单调递减 g x 在 2 上单调递减 所以函数y f x 在 2 上单调递增 2 设x1 x2 1 1 且x10 x12 10 所以 因此当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数在 1 1 上为减函数 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数在 1 1 上为增函数 一题多解 解答本题 还有以下解法 f x 当a 0时 f x 0 所以当a 0时 f x 在 1 1 上为减函数 当a 0时 f x 在 1 1 上为增函数 互动探究 若本例题 2 中的函数变为 f x 则f x 在 1 1 上的单调性如何 解析 设 1 x1 x2 1 f x f x1 f x2 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递减 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递增 规律方法 1 判断或证明函数的单调性的两种重要方法及其步骤 1 定义法 其基本步骤是 2 导数法 其基本步骤是 2 确定函数的单调区间的方法 1 定义法 先求定义域 再利用单调性定义来求 2 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 可由图象的升 降写出它的单调区间 3 导数法 利用导数取值的正 负确定函数的单调区间 变式训练 函数y x 1 x 的单调增区间为 解析 y x 1 x 作出该函数的图象如图所示 由图象可知 该函数的单调增区间是 1 答案 1 加固训练 1 2015 厦门模拟 设函数f x g x x2f x 1 则函数g x 的递减区间是 a 0 b 0 1 c 1 d 1 0 解析 选b g x 如图所示 其递减区间是 0 1 故选b 2 设函数y f x 在 内有定义 对于给定的正数k 定义函数fk x 取函数f x 2 x 当k 时 函数fk x 的单调递增区间为 a 0 b 0 c 1 d 1 解析 选c 由f x 得 1 x 1 由f x 得x 1或x 1 所以故 x 的单调递增区间为 1 3 判断函数f x x k 0 在 0 上的单调性 解析 方法一 任意取x1 x2 0 则f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 当 x1 x2 0时 x1 x2 0 1 0 在 0 上为减函数 当x1 x2 时 x1 x2 0 1 0 有f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时 函数f x x k 0 在 上为增函数 综上可知 函数f x x k 0 在 0 上为减函数 在 上为增函数 方法二 f x 1 令f x 0 则1 0 解得x 或x0 所以0 x 所以f x 在 0 上为减函数 在 上为增函数 也称为f x 在 0 上为减函数 在 上为增函数 考点2确定函数的最值 值域 典例2 1 函数y x x 0 的最大值为 2 函数y 的值域为 解题提示 1 利用换元法求解 2 采用分离法 即将分子变为 x2 x 1 1的形式 转化后求解 规范解答 1 令t 则t 0 所以y t t2 结合图象 当t 即x 时 ymax 答案 2 y 因为x2 x 1 所以即 y 1 故值域为答案 一题多解 解答本题 还有以下解法 去分母 整理 得 y 1 x2 y 1 x y 0 易知y 1 故上式可看作是关于x的二次方程 因为x r 所以方程有实根 所以 y 1 2 4y y 1 0 解得 y 1 又y 1 故值域为答案 规律方法 求函数最值的五种常用方法及其思路 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 变式训练 函数f x x 1 的最小值为 解析 方法一 基本不等式法 f x x 1 2 当且仅当x 1 即x 4时 f x min 8 方法二 导数法 f x 令f x 0 得x 4或x 2 舍去 当14时 f x 0 f x 在 4 上递增 所以f x 在x 4处达到最小值 即f x min f 4 8 答案 8 加固训练 1 对任意两个实数x1 x2 定义max x1 x2 若f x x2 2 g x x 则max f x g x 的最小值为 a 2b 1c 0d 1 解析 选b f x g x x2 2 x x2 x 2 当x2 x 2 0时 x 1或x 2 当 2 x 1时 x2 x 2 0 即f x g x 所以max f x g x 作出图象如图所示 由图象可知函数的最小值在a处取得 所以最小值为f 1 1 2 2013 北京高考 函数f x 的值域为 解析 当x 1时 f x 是单调递减的 此时 函数的值域为 0 x 1时 f x 2x是单调递增的 此时 函数的值域为 0 2 综上 f x 的值域是 2 答案 2 3 已知f x x 1 1 当a 时 求函数f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 解析 1 当a 时 f x x 2 联想到g x x 的单调性 猜想到求f x 的最值可先证明f x 的单调性 任取1 x11 2x1x2 1 0 又x1 x2 0 所以f x1 f x2 所以f x 在 1 上是增函数 所以f x 在 1 上的最小值为f 1 2 在区间 1 上 f x 0恒成立 则等价于a大于函数 x x2 2x 在 1 上的最大值 只需求函数 x x2 2x 在 1 上的最大值 x x2 2x x 1 2 1在 1 上递减 所以当x 1时 x 最大值为 1 3 所以a 3 故实数a的取值范围是 3 考点3函数单调性的应用知 考情函数单调性结合函数图象以及函数其他性质的考查是近几年高考命题的热点 试题常以选择题 填空题的形式出现 考查比较函数值大小 求最值 解含 f 符号的不等式及求参数的值或取值范围等问题 试题难度中档 明 角度命题角度1 比较函数值或自变量的大小 典例3 2015 洛阳模拟 已知函数f x 的图象向左平移1个单位后关于y轴对称 当x2 x1 1时 f x2 f x1 x2 x1 a bb c b ac a c bd b a c 解题提示 根据 f x2 f x1 x2 x1 x1 1时 f x2 f x1 x2 x1 a c 故选d 命题角度2 解函数不等式 典例4 2015 珠海模拟 定义在r上的奇函数y f x 在 0 上递增 且 0 则满足f 0的x的集合为 解题提示 由奇函数的性质确定函数在 0 上的单调性 然后利用函数的单调性 列出不等式求出x的集合 规范解答 由奇函数y f x 在 0 上递增 且 0 得函数y f x 在 0 上递增 且 0 由f 0 得 或 0 解得0 x 或1 x 3 所以满足条件的x的取值集合为 x 0 x 或1 x 3 答案 x 0 x 或1 x 3 命题角度3 求参数的值或取值范围 典例5 2015 杭州模拟 已知函数f x 满足对任意的实数x1 x2 都有 0成立 则实数a的取值范围为 解题提示 先由 0判断f x 在r上的单调性 再根据f x 的单调性构建关于实数a的不等式组求解 规范解答 函数f x 是r上的减函数 于是有由此解得a 即实数a的取值范围是答案 悟 技法1 含 f 不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f g x f h x 的形式 然后根据函数的单调性去掉 f 转化为具体的不等式 组 此时要注意g x 与h x 的取值应在外层函数的定义域内 2 比较函数值大小的思路比较函数值的大小时 若自变量的值不在同一个单调区间内 要利用其函数性质 转化到同一个单调区间上进行比较 对于选择题 填空题能数形结合的尽量用图象法求解 3 求参数的值或取值范围的思路根据其单调性直接构建参数满足的方程 组 不等式 组 或先得到其图象的升降 再结合图象求解 通 一类1 2015 西安模拟 函数y 在 1 上单调递增 则a的取值范围是 a a 3b a 3c a 3d a 3 解析 选c y 由函数在 1 上单调递增 有