高考数学二轮专题复习（真题感悟+热点聚焦+归纳总结+专题训练）几何证明选讲课件 理.ppt

高考定位1 几何证明选讲内容主要是相似三角形的判定定理和性质定理 平行线截割定理 三角形射影定理以及圆周角定理 圆的切线长定理 切割线定理 割线定理 相交弦定理等 2 主要考查 1 利用三角形相似或圆中的切割线定理证明比例关系 2 三角形或圆中的角度与长度的求解问题 答案3 2 2014 湖北卷 如图 p为 o外一点 过p点作 o的两条切线 切点分别为a b 过pa的中点q作割线交 o于c d两点 若qc 1 cd 3 则pb 解析由题意qa2 qc qd 1 1 3 4 qa 2 pa 4 pa pb pb 4 答案4 4 2014 重庆卷 过圆外一点p作圆的切线pa a为切点 再作割线pbc依次交圆于b c 若pa 6 ac 8 bc 9 则ab 答案4 考点整合 1 1 相似三角形的判定定理判定定理1 对于任意两个三角形 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 判定定理2 对于任意两个三角形 如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相似 判定定理3 对于任意两个三角形 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例 那么这两个三角形相似 2 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 3 直角三角形的射影定理 直角三角形中 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 2 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 3 1 圆内接四边形的性质定理 圆的内接四边形的对角互补 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 2 圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 4 1 圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 2 圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 4 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 5 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 5 证明等积式成立 应先把它写成比例式 找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似 若不相似 则进行线段替换或等比替换 6 圆幂定理与圆周角 弦切角联合应用时 要注意找相等的角 找相似三角形 从而得出线段的比 由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算 所以应注意代数法在解题中的应用 热点一相似三角形的判定及性质 例1 如图 bd ce是 abc对应边上的高 求证 ade abc 规律方法 1 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理 特别要注意对应角和对应边 2 相似三角形的性质可用来证明线段成比例 角相等 可间接证明线段相等 训练1 如图 在梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd e f分别是ab bc的中点 ef与bd相交于点m 若db 9 则bm 答案3 规律方法在证明角或线段相等时 要注意等量代换 在证明线段的乘积相等时 通常用三角形相似或圆的切割线定理 训练2 如图 d e分别为 abc边ab ac的中点 直线de交 abc的外接圆于f g两点 若cf ab 证明 1 cd bc 2 bcd gbd 证明 1 如图 因为d e分别为ab ac的中点 所以de bc 又已知cf ab 故四边形bcfd是平行四边形 所以cf bd ad 而cf ad 连接af 所以四边形adcf是平行四边形 故cd af 因为cf ab 所以bc af 故cd bc 2 因为fg bc 故gb cf 由 1 可知bd cf 所以gb bd bgd bdg 由bc cd知 cbd cdb 又因为 dgb efc dbc 故 bcd gbd 热点二 四定理 相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理的应用 例3 如图 ab是 o的直径 c f为 o上的点 ac是 baf的平分线 过点c作cd af交af的延长线于d点 cm ab 垂足为点m 证明 1 dc是 o的切线 2 am mb df da 证明 1 如图 连接oc oa oc oca oac 又 ac是 baf的平分线 dac oac dac oca ad oc 又cd ad oc cd 即dc是 o的切线 2 ac是 baf的平分线 cda cma 90 cd cm 由 1 知dc2 df da 又cm2 am mb am mb df da 规律方法已知圆的切线时 第一要考虑过切点和圆心的连线得直角 第二应考虑弦切角定理 第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理 训练3 如图 设 abc的外接圆的切线ae与bc的延长线交于点e bac的平分线与bc交于点d 求证 ed2 ec eb 证明因为ae是圆的切线 所以 abc cae 又因为ad是 bac的平分线 所以 bad cad 从而 abc bad cae cad 因为 ade abc bad dae cae cad 所以 ade dae 故ea ed 因为ea是圆的切线 所以由切割线定理知 ea2 ec eb 而ea ed 所以ed2 ec eb 热点三四点共圆的判定 例4 如图 已知 abc的两条角平分线ad和ce相交于h b 60 f在ac上 且ae af 证明 1 b d h e四点共圆 2 ec平分 def 证明 1 在 abc中 因为 b 60 所以 bac bca 120 因为ad ce是角平分线 所以 hac hca 60 故 ahc 120 于是 ehd ahc 120 因为 ebd ehd 180 所以b d h e四点共圆 2 连接bh 则bh为 abc的平分线 得 hbd 30 由 1 知b d h e四点共圆 所以 ced hbd 30 又 ahe ebd 60 由已知可得ef ad 可得 cef 30 所以ec平分 def 规律方法 1 如果四点与一定点距离相等 那么这四点共圆 2 如果四边形的一组对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 训练4 如图所示 已知ap是 o的切线 p为切点 ac是 o的割线 与 o交于b c两点 圆心o在 pac的内部 点m是bc的中点 1 证明 a p o m四点共圆 2 求 oam apm的大小 1 证明连接op om ap与 o相切于p op ap 又 m是