公交车 数学建模.docx

B题：重庆市主城区公交线网的优化与评价姓名学院年级专业学号联系电话相关学科成绩高等数学线性代数概率统计数学模型数学实验英语四级英语六级徐清鹏09电气学院07班0920094471150867646458987573475张雅洁09电气学院01班 0920094281152151394849175566480刘维09电气学院01092009429592 83525重庆市主城区公交线网的优化与评价摘要: “畅通重庆”是建设五个重庆的战略目标之一，通过有效融合公交网和轻轨网的,是实现这一目标的有效途径。因此对重庆市主城区现有的地面公交线路进行优化和调整具有十分重要的意义。 针对问题一：采用定性与定量相结合的递阶层次分析法(AHP)对重庆市市现有的公交线路网现状进行进行分析，筛选了与公交线路网评价有关的四个方面（线路网络能力、客运能力、经济效益、环境影响）下的12个主要指标建立模型。建立各个层次的判断矩阵，通过MATLAB软件计算各个方面的总权重值并进行排序，并采用一致性判断指标决定判断的合理程度。最后采用线性加权的的方法建立综合评价模型： N=i=13E1i1i+i=13E2i2i+i=13E3i3i+i=13E4i4i依据查询在重庆市主城通行的公交车数据及与选取指标相关数据，计算出各指标的有关系数，并参照公交线网络指标评价标准的建议值对各个指标评分，得出其得分为5.35，等级为中。针对问题二：鉴于公交系统网络的复杂性，我们没有采用常规的Dijkstra算法,而是采用了基于公交停靠站换乘功能进行OD预测。算出铁路（或轻轨）停靠站的公交客运量。同时建立了分别以剩余客流量,接运站点数量为目标的优化模型。然后对OD客流量剩余值进行确定，得到的由三部分（需要保留的路线，改变的路线布设，合并和消除的路线）构成的“轨道-接运公交网”。如，其中的保留路线和合并和消除的路线有：线网中保留的合理路线125,319,606,181,114,132,113,863线路的合并和取消402,418,702,875取消，由1号代替针对问题三:我们主要以轻轨地铁路线为主干线对重庆市主城的公交线路进行规划设计。由于规划年限较短，我们对乘坐公交的人口，公交车数量，客流量等因素采用马尔萨斯（Malthus ）模型。同时以单位时间内单位里程集疏客流量最大化为目标,并力求所设的线路条数最小,设计了轨道交通接运公交线路布设的非线性多目标优化模型,采用遗传算法对模型进行求解。结果共有九段路线组成，其中的第一段路线优化结果为：第一段线路客流量route1（2,4,3,16）97.3人/公里route2（8,6,16）route3（1,9,10，11,18）route4（12,13,14,15,17）route5（5,7,13,18）最后，我们对重庆市现有公交线路网的优化，以及对未来轻轨全面开通后公交线路网的规划给当地主管部门提供了一些合理性的建议。关键词：层次分析法 OD预测 综合评价模型 优化模型 非线性规划 遗传算法 一、问题的重述重庆市提出了“畅通重庆”的战略目标，并规划设计了轻轨地铁九线一环的城市轨道交通网络，将于2020年以前陆续建成开通。为实现排堵保畅，推动轨道交通与地面公交的有效衔接，逐步实现“两网融合”，提高公共交通运行效率，减轻道路负担，需要对现有的地面公交线路逐步进行优化调整。并建立实际的数学模型解决相关问题：（1）需要收集目前在重庆市主城通行的公交车数据及其他相关信息，选取相应的指标对对我市现有的公交线路网现状进行定量评价。（2）轻轨2号线较场口至新山村段已于2006年开通，地铁1号线朝天门至沙坪坝段和轻轨3号线二塘至江北机场段即将在今年开通，考虑到与这些轨道交通的有效衔接，对现有公交路线重新进行优化设计。（3）到2020年轻轨地铁九线一环的城市轨道交通网络将全面开通。以附件提供的轻轨地铁路线为依据，考虑地铁换乘和未来的发展，重新对重庆市主城的公交线路进行规划设计。 最后，给主管部门写一个报告，就公共交通系统建设，提出我们的建议。 二、基本假设接运站点的客运需求量不随时间变化。每两个轨道交通站点间的出行费用、各个站点与轨道交通站点间的最短距离、最大公交线路长度、公交线路的数量、容量、公交车的运营速度等一定。所有的接运公交车都以标准的运营速度和载客量运行.。接运公交车在其线路上的所有停靠站都停站。每个接运公交站仅对应唯一的接运公交线。按照站点间的最短路径布线;每条接运公交线仅与一个轨道交通车站相连。设置的线路越少越好,并力求单位里程接运的客流量最大。 三、符号说明公交站点J的重要系数站点剩余上客量站点剩余下客量i到i+1的断面剩余客量 轨道路段 i 到 j 的距离（公里）r公交车辆满载率R 公交车额定载客量Q(k，l)。新增加的断面客流量路段运载能力 不换成比。复线系数L公交线路的集合q( k , m)K 与m站点见的接运需求量P（t）随时间变化的人口数SiSi 为第i 条接运公交线路的服务站点总数.四、综合评价模型的建立与求解4.1模型的分析 公交线网的评价指标体系同其他指标体系一样不可能包罗万象，在此模型中我们以代表性原则、简明性原则、可比性原则三大原则筛选出与公交线路网评价有关的四个方面（线路网络能力、客运能力、经济效益、环境影响）下的12个主要指标，提出一个一个由目标层、准则层、指标层构成的递级层次体系：公交线路网评价U线路网络能力A1环境影响A4经济效益A3客运能力A2重复系数B1站点覆盖率B2线路网络系数B3公共车辆保有量B4运营速度系数B6公共车辆拥有率B5利润率B7营运系数B8折旧费用B9土地占有B10能源消耗B11噪声B12 随后，运用层次分析法，两两比较列出成对比较矩阵，进而求出相应的最大特征值和权向量。并进行层次单排序、组合总排序及其一致，同时通过一系列检验使评价指标更加科学和合理。4.2定量评价模型的建立多指标综合评价模型4.21 对指标体系中各评价指标在所属指标类别内进行两两对比，构造出相应的判断分矩阵： U=u11u1nun1unn （4.1） 判断矩阵元素具有性质:uij=1uij=1/uji uij=zikzki其元素可以利用决策者的知识和经验估计出来。由于决策者的估计并不是很精确，因此，第3条性质不一定成立。 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不易被别人接受，因而我们采用了santy 等人提出的一致矩阵法，即不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比；此时采用相对尺度，尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用santy 的19 标度方法给出。从层次结构的第二层开始，对于从属于上一层每一个因素的同一诸因素，用成对比法和1-9 比较尺度构造成对比较阵，每次取两个因素Ai和Aj,用aij表示Ai和Aj对目标的影响之比,，全部比较结果可用成对比较矩阵: A=(aij)nn ,aij0 ,aji=(aij)-1 (i,j=1,2,3,4) （4.2）比较子准则层各因素Bi和Bj (i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;j=1,2,3)相对于准则层A 的每个因素的重要性，构造成对比较矩阵： Bij=(bij)nn bij=xixj bji=(bij)-1, （4.3）比较准则层四个因素Ai对目标U 的影响。采用两两成对比较，用表示aij因素Ai与因素Aj对目标U的影响程度之比。通常用1-9 及其倒数作为程度比较准，即九级标度法：标度 含义 1表示两个因素相比，具有同样重要性 3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2，4,6,8上述两相邻判断的中值倒数因数i与j比较的判断aij，则因数j与i比较的判断aji=(aij)-1 4.22 采用特征向量中的和积法计算评价指标权重 由判断矩阵U确定权重Wi，可以有许多方法，本文采用特征向量中的和积法确定各评价指标权重。由矩阵理论有: UW=W , W为向量，且W=(W1,W2,Wn)T 为判断矩阵的特征根，即为特征根所对应的特征向量。 将判断矩阵每一列归一化： uij=uij/k=1nukj , (i,j=1,2,n) （4.4） 将每一列经归一化的矩阵按行相加： Mi=j=1nuij （4.5） 将向量归一化，即得到指标权重矩阵: Wi=Mi/j=1nMj （4.6） 计算判断矩阵最大特征根: max=i=1n(UW)inWi （4.7） 4.23计算判断矩阵的一致性指标和检验系数: 一致性指标 CI=max-nn-1 （4.8） 检验系数： CR=CIRI （4.9） 其中,RI是平均一致性指标,可通过查表4.1得指标RI 如表所示：n1234567891011RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.514.24最后得到各指标的出事判断矩阵、权重计算结果表 U=11/33131531/31/513111/31判断矩阵U-A1判断矩阵最大特征值规划后权向量（ij）CICRU4.223（0.2742,0.5826,0.069,0.0742）0.0740.082A13.082（0.6504,0.2915,0.0581）0.0410.046A23.002（0.0624,0.4973,0.4403）0.0010.001A32.000（0.8393,0.1380,0.0227）00A43.003（0.2175,0.7380,0.0445）0.0170.019 A1=11/21/2.52132.51/31可得结果表1线路网络能力A1BjA1B1 B2 B3 max=3.3082 CI=0.041 CR=0.0820.1B1B2B31 1/2 1/2.52 1 32.5 1/3 1 0.6504 0.2915 0.0581 A2=11/31/2.53112.511表2 客运能力判断矩阵A2BjUB4 B5 B6max=3.002 CI=0.001 CR=0.0010.1B4B5B61 1/3 1/2.53 1 12.5 1 10.06240.49730.4403 A3=1351/3131/51/31表3经济效益判断矩阵A3 BjUB7 B8 B9 max=2.00 CI=0 CR=00.1B7B8B91 3 51/3 1 31/5 1/3 10.83930.13800.0227 A4=11/2.532.5131/31/31 表4环境影响判断矩阵A4Bj UB10 B11 B12 max=3.003 CI=0.017 CR=0.0190.1B10B11 B121 1/2.5 32.5 1 31/3 1/3 1 0.2175 0.7380 0.04454.3定量评价模型的建立: 表5层次总排序层次A1A2A3A4A1B1B2B30.65040.29150.05810.2742A2B4B5B60.06240.49730.44030.5826A3B7B8B90.83930.13800.02270.0690A4B10B11B120.21750.73800.04450.0742综合评价指标:按分数的高低定等级。规定不同等级所在的分数范围如下:指标1334.54.5667.57.59分数差一般中良优综合评价结果模型：N=i=13E1i1i+i=13E2i2i+i=13E3i3i+i=13E4i4i （4.10）其中：Eij为指标Aij得分N 为总分4.4模型的求解得分表（参考标准见附录）指标A1A2A3A4得分3.54.66.64.7代入公式得最后总分为N=5.35五、模型二的建立与求解5.1模型分析：该问要求根据重庆市现有的三条铁路（或轻轨）规划接运公交线，并对现有公交网络进行优化。首先，本文基于公交停靠站换乘功能进行OD预测，算出铁路（或轻轨）停靠站的公交客运量。然后，根据根据客运量的相关情况选取接运公交路线的站点，然后运用”逐条布设，优化成网”的方法进行接运公交专线布设，并对已有的公交线路进行优化调整，形成“轨道-接运公交网”。接运公交线网规划总体流程 城市轨道交通换乘客流预测及OD分布接运站点的选取或调整接运公交专线布设接运路线的优化与调整轨道-接运公交线网5.2模型建立与求解5.2.1基于公交停靠站换乘功能的OD预测 表5-1 重庆主城区公交客流量情况公交运营线路 330（条）公共汽车总辆数 6441（辆）平均日客运量 366.4万一般情况下，公交停靠站点所包含的线路数越多，乘客换乘的可能性就越大，相应地吸引的乘客也越多；另外，首末站比中间停靠站吸引的乘客也要多。设公交停靠站j 所经过的线路数为，起始线路数为，终点线路数为。则各公交停靠站j的重要系数为： (5.1) 式中，为公交站点j重要系数；、为首末站系数。假设公交OD矩阵与第i站上车人数，第j 站的重要系数成正比，得到基于公交换乘功能的OD推算矩阵. (5.2)以重庆市主城区的827路公交车为例，12个公交停靠站的数据如表3-1所示，推算结果如表2所示. 表5-2 调查推算得到的基础数据公交站点上车人数下车人数停靠站吸引权经过线路起始线路终点线路13300.76431222510.87420031330.86320042620.92130051050.74350061160.987200710121.211008660.84220099210.79830010681.132400114121.012300122110.967400132230.934500141240.923100150240.634088推算得到的公交客流OD 矩阵： 表 5-3OD23456789101112131415上车人数11213251512254333201111211111252253000013121323321340001111211112226500001113111221106000000131113121170000000211111410800000002111113690000000001111191000000000011111611000000000001104120000000000001121300000000000211214000000000000311下车人数132561262181211232424158同理可得其他线路的OD分布。5.3.接运站点的选取在确定了轨道路线直接吸引客流量的基础上，通过计算各个站点始发的接路线可能为轨道路线运送的最大客运量来确定接运站点。要求既剩余客流量尽量少（满足乘客需求），又要保证一定的经济效益。轨道线路 i 站点的剩余上客量、剩余下客量和断面 i 到 i1 的剩余客（通过）量.之间的关系如图所示：站点最大下客量轨道站点 断面最大客流量轨道线站点上客量站点下客量站点剩余客量断面剩余客量站点剩余下客量断面客流量断面剩余客量5.2.1满足乘客需求的站点约束：站点i到j的断面剩余客流（通过）量（人）： (5.3) 站点 i 到 j 的剩余客流（通过）量(人)： （5.4）接运公交站点选取应该关心的是可能被接运的客流与其在轨道交通路线上乘行距离的积，即客运周转量，而不是单纯接运客流通过量，因此有，站点 i到 j 的剩余客运（周转）量（人,公里） （5.5） 式中 为轨道路段 i 到 j 的距离（公里）。由站点 i 始发的接运路线可能为轨道路线运送的最大客运量应是它到其余各个站点间的剩余客运量之叠加。因此，应先叠加站点i与距其最远的站点（起点或终点）间的剩余客运量，然后调整轨道路线上的客运量，再叠加站 i到距其次远的站点间的剩余客运量，依次类推。5.2.2满足一定经济效益的站点选取约束：显然，不是轨道路线上所有的站点都需要安排接运线，当站点剩余客运量太小时或站点 i 剩余上下可两太小时，设置接运公交线对轨道路线没有意义，也造成经济效益的损失。因此，接运站点应满足下面的条件： （5.6） (5.7) 选出符合上述条件的剩余客运量最大的接运点，进行最优接运路线搜索，所有符合上述条件的站点组成备选接运站点集。5.3结果显示所得站点为：选取沙坪坝，两路口,大坪为1号线的转运点；选取新山村，牛角沱为2号线的转运点；选取观音桥，渝北南山为3号线的转运点；5.4.接运路线的优化 5.4.1 分析：根据上一步求得的接运站点及原本存在的常规公交线路，采用“逐条布设，优化成网”的方法来布设优化的常规公交线网. “逐条布设，优化成网”方法的基本思路是:确定了拟设常规公交线路的起始站点后，便可对起始站点进行配对，若全规划区有n个起点站与终点站，则备选的线路有“nxn”条。在所有的备选线路中，取直达乘客量(不需要换乘的公交乘客量)最大的那一条为公交优化网络中的线路，并按其最短路线布设该线路。某一条优化线路确定以后，应从原来的乘客O一D量矩阵中减去该线路所能送走的乘客O一D量，并从起始点集中除去已设线路的起始点号，对已设线路上的行驶时间进行复线(重复设线)修正，以避免在以后设线时多次重复该线路。对留下的起始点集及修正后的乘客O一D矩阵，重复上述过程，即重新确定直达乘客量最大的线路并布设，直至把n条优化线路全部布设在网络上为止。5.4.2线路布设的优化求解(1)线路运载能力计算 公交线路的运载能力取决于公交线路的停靠能力，可用下式计算。 （5.8）式中:路段运载能力(人次/高峰小时); R公交车额定载客量(单节车:72为辆，铰接车:129人/辆)； r公交车辆满载率; 只设一个同名站点的设计停靠能力(单节车:110辆/小时，绞接车：75辆/小时); i同名站点的个数(il)。复线系数与已设立的断面复线条数m有关，复线系数选取过小有可能出现线路过分集中的现象起不到复线控制作用，复线系数选取过大可能会出现线路过分曲折，增加乘客的乘行距离。下表为复线系数建议值。 表5-4 复线系数建议值复线条数m0123456复线系数11.251.561.952.443.053.81 表中,复线系数Ko根据复线条数按每增加一条线路行驶时间递增25%计算.当m=0=l即当该断面上尚无线路时，其行驶时间无须修正。当m 5时，3，即如果该断面上己有五条线路通过，若还想在该断面上设线，则需乘上大于3的系数。实际上，由于按最短路线布设，当m=5时，该断面被选择的可能性己经很大了。(6)线路布设 第一条线路的布设全部结束后，在起始点集中，除去布设线路的起始点，返回第一步，即对修正后的乘客O一D矩阵及路段行驶时间，重新确定其余备选线路的最佳走向及直达乘客量。(因为网络行驶时间己被修正，原来的备选线路很可能不再是最短线路，故应重新采用最短路法确定各备选线路的最佳走向，并重新计算与最佳走向相对应的各备选线路的直达乘客量)，并按最短路法布设第二条线路，然后再修正O一D矩阵及行驶时间，直至把最后一起终点对布设在网络上为止。5. 5结果呈现 表5-5线网中需保留的合理路线125，319，606，611，181，114，132，113，863部分改造的路线从双碑坐265，215到沙坪坝转1号线到朝天门代替原来的265，215路车；从双碑坐261，262到大坪转1号线到朝天门代替原来的261，262路车；从人和坐465，602，603到两路口转1号线到朝天门代替原来的465，602，603路车；从洋人街坐368，232到新山村转2号线到江北机场代替368，232路车；从五里店坐108，101，604 到牛角沱转2号线到大渡口代替108，101，604 路车；从朝天门坐601，461到观音桥转3号线到重庆北站代替601，461路车；从大石坝坐605，110，120到渝北南山转3号线到会展中心代替605，110，120路车；线路的合并和取消402，418，702，875取消，由1号线代替； 六、模型三的建立与求解6.1模型的分析考虑如图1 所示的轨道交通线路,沿线有一系列的接运站点. 这些客流集散点可以是常规公交车站、居住小区、各类设施等,它们存在较大的客运需求,需要直接被运送到轨道交通车站,以减少常规公交的压力。我们研究的是如何布设接运线路连接接运站点和轨道交通车站: 轨道公交站点 轨道公交站点 轨道交通线路 接运公交线路 图6.1接运公交线路示例 6.2模型的建立:6.21主城区人口预测模型：考虑到本次规划期为10 年, 在对市区人口进行预测时, 马尔萨斯( Malthus) 人口增长预测模型能够得到比较好的预测值, 利用马尔萨斯模型预测重庆市2011- 2020 年的人口数。马尔萨斯Malthus 模型: 单位时间人口的增长量与当时人口数成正比, 即人口增长率为常数r 。 （6.1）从而得到人口增长预测模型 (6.2) 求得其解为 （6.3）由于2011年主城区人口总量为524.84万人。P0=524.84.6.3非线性多目标优化模型基本的符号定义如下:N 为接运系统中所有站点的集合, N = NF NR ,其中, NF 为接运站点的集合, NR 为轨道交通站点的集合; L 为接运公交线路的集合, l L 表示第l条接运公交线路; l ( k) 为第l 条接运公交线路的第k 个站点;q ( k , m) 为单位时间内两个站点k 和m 之间的接运需求量;Q 接运站点间单位时间内的接运需求矩阵,显然Q = q ( k , m) , k N , m N ;Dl 为第l 条接运公交线路的长度; Sl 为第l 条接运公交线路的服务站点总数.建立如下的优化模型,目标函数为： （6.4） (6.5)目标函数:第(1) 个目标函数:要求单位时间内单位里程接运线路运送的客流量最大;第(2) 个目标函数:要求设置的线路条数最少, 函数card ( L ) 表示集合L 的元素个数。考虑以下约束条件:终点条件约束， 接运公交线路的终点必须为轨道交通车站,即对于所布设的接运线路 ： (6.6)线路长度约束： (6.7） 式子中,表示线路长度的上、下限(km)。 布线总数约束： (6.8) 其中:Umax表示布设的接运公交线路总数的上限. 综上,可将上述优化模型写为： s.t （6.9） 6.4模型的求解 下面用遗传算法求解1号线：编码和产生初始种群计算适应度交叉选择最佳个体输，出结果开始结束是否满足优化条件变异是否 图6.2算法流程图6.4.1编码由第二问知沙坪坝，两路口，大坪表示城市轨道交通车站，与相关的公交路线上公交停靠站有:人和，华村，陈家湾，红岩村，石井坡，杨公桥，黄花园，上清寺，南开中学，大礼堂，新华路，天星桥，临江门，文化宫，七星岗；按一下表6-1来编码：123456人和华村陈家湾红岩村石井坡杨公桥789101112黄花园上清寺南开中学大礼堂新华路天星桥131415161718临江门文化宫七星岗沙坪坝两路口大坪更具公交线路，这15个公交站点和轨道站点可以分为三条线路：Routel(2,4,3,6,8,16);Route2(1,9,10,11,12,13,14,15,17);Route3(5,7,13,18).则它所代表的公交接运线路为（2,4,3,6,8,16，1,9,10,11,12,13,14,15,17，5,7,13,18） 其具体意义为该接运公交线网由Routel、Route2和Route3三条线路组成，16、17、18这三个城市轨道交通站分别为这三条接运公交线路的终点。这种表示法是唯一的，一个染色体仅能标识一个解向量，而且由于字符串中的每个城市轨道交通车站都表示一条线路的终点，要将染色体分解为若干条线路很简单。6.4.2初始数据的输入调整后的常规公交客流O-D矩阵OD23456789101112131415上车人数1102005000000008203006000000000930000000000000004000007000000007500000066012000024600050000800130026700000001500000015800000000000200290000000000110001110000000000008008110000000000000001200000000000016016130000000000000001400000000000082432下车人数132561262181211232424158 最短路距离数据 表6-2站名人和华村陈家湾红岩村石井坡杨公桥站间距(km)00.80.50.90.30.4站名黄花园上清寺南开中学大礼堂新华路天星桥站间距(km)1.20.110.80.20.5站名临江门文化宫七星岗沙坪坝两路口大坪站间距(km)0.80.30.60.40.50.96.4.3适应度适应度函数为: (6.9)6.4.4选择策略 本文将模拟退火算子加在常规遗传算法上可以有效地解决这一问题。具体做法是:步骤1计算某一代群体中某个染色体被复制产生下一代的概率: (6.10)步骤2 计算各染色体的累积概率 (6.11)步骤3 在0,1区间内产生一个均匀分布的随机数r。如果，则选择第一个染色体进行复制;如果，则选择第r个染色体。循环size次，产生下一代种群。6.4.5变异操作变异算子采用从个体中随机删除一个序号(不包括起始点、终止点序号)，设该序号的基因位为k，其序号值为f（k）。则对k的前后两个基因位f（k-1）、f（k+1）的值转变为坐标值进行判别。设,和分别为f（k-1）、f（k）和f（k+1）对应的坐标值，进行下列判别：1），放弃对该个体的变异操作，另选一个。2）如,则判别是否为有效结点，如是，则在基因位k上将其插入，否则，放弃对该对象个体的变异操作，另选一个。 3）如 且，则判别是否为有效结点，如是，则在基因位k上将其插入，否则，放弃对该个体的变异操作，另选一个；4）如，则判别是否为有效结点，如是，则在基因位k上将其插入,否则放弃对该个体的变异操作，另选一个； 5）且，则判别是否为有效结点，如是，则在基因位k上将其插入，否则，放弃对该个体的操作，另选一个。6.4.6 GA的运行参数包括：