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货运公司的收益问题摘要本文运用线性规划模型研究托运公司批复顾客申请量的合理安排问题，其次还需要根据对已有数据的处理分析，来预测未来顾客申请量以及该托运公司的未来收益。在模型一中，我们利用题中清晰的数量关系，建立整数规划模型，并在matlab及lingo程序中均得以求得最优解。对模型二，我们先对附表一中各类货物前20天的数据利用excel进行拟合，依次得到各类货物申请量的excel拟合数学模型，利用相应模型预测后10个数据，将预测值与真实值比较，计算相对误差来检验该模型的可靠性。再利用该模型预测未来7天(即第31天至37天) 的货物申请量。问题三则利用模型二中所预测的未来7天的数据，利用模型一的优化来找到最优解，如下表所示日期A类货物(kg)B类货物(kg)C类货物(kg)D类货物(kg)最大收益(元)31231539784344388936790322312398643463916368423323093994434739423688834230740014349396836939352304400843503994369833623024015435240183703137229940224353404237073关键词：整数规划 excel拟合函数模型 相对误差一问题重述某货运公司拥有3辆卡车，每辆载重量均为8000kg，可载体积为9.084m3，该公司为客户从甲地托运货物到乙地，收取一定费用。托运货物可分为四类：A、鲜活类 B、禽苗类 C、服装类 D、其他类，公司有技术实现四类货物任意混装。平均每类每kg所占体积和相应托运单价如下表：类别A、鲜活类B、禽苗类C、服装类D、其他类体积 (m3/kg)0.00120.00150.0030.0008托运单价 (元/kg)1.72.254.51.12托运手续是客户首先向公司提出托运申请，公司给予批复，客户根据批复量交货给公司托运。申请量与批复量均以公斤为单位，例如客户申请量为1000kg，批复量可以为01000kg内的任意整数，若取0则表示拒绝客户的申请。问题一：如果某天客户申请量为：A 类 6500kg，B类 5000kg，C 类 4000kg，D 类3000kg，附加条件：要求C类货物占用的体积不能超过B、D两类体积之和的三倍。托运公司在最大限度的满足客户需求的情况下，建立模型求解批复顾客的申请的最优解。问题二：每天各类货物的申请总量是随机量，为了获取更大收益，需要对将来的申请总量进行预测。现有一个月的数据（见附件表一），根据该数据拟合数学模型来预测未来7天每天各类货物的申请量。问题三：一般，客户的申请是在一周前随机出现的，各类申请单立即批复，批复后即不能更改，并且不能将拒绝量（即申请量减批复量）累计到以后的申请量。请根据你对下周7天中各类货物申请量的预测，估算这7天的收益各为多少？二问题分析这是一个典型的运输问题，以托运公司自身的载货能力为限制，在实现最大限度的满足顾客的申请量的情况下，使得托运公司获得最大的利润。此外，问题二还需要对已知的一个月的顾客申请量进行处理分析，建立适当的数学模型来对未来一周内各类货物申请量进行预测。而问题三则在问题二的基础上估测未来一周内每天的收益。三模型假设及符号设定3.1模型假设(1) 每辆卡车运的各种货物重量xij均为整数；(2) 托运公司应尽量满足客户需求；(3) 托运公司经营良好，卡车顺利托运，排除偶然因素造成的无法运行；(4) 第i（i=1,2,3,4）类货物分别A、鲜活类 B、禽苗类 C、服装类 D、其他类；(5) 每天各类货物的申请量是随机的；3.2常变量设定每辆卡车载重(kg)m每辆卡车可载体积(m3)v货物种类i(i=1,2,3,4)货车j(j=1,2,3)第i种货物的体积(m3/kg)ai第i种货物的托运单价(元/kg)bi顾客申请托运i种的量（kg）yi公司批复托运第i种运往第j辆卡车的运量（kg）xij天数t(t=1,237)托运公司的最大收益（元）M(x)四模型建立4.1 模型一（问题一的回答）模型的条件：托运公司批复第i种货物的运量满足： （1.11）托运公司批复四种货物分别运往第j辆卡车的总体积满足： （1.12）托运公司批复四种货物分别运往第j辆卡车的总载重量满足： （1.13）附加条件： （1.14）则托运公司的最大收益为： （1.2）模型求解利用matlab程序或者lingo程序，根据上述的限制条件，我们很容易求得最优解：（程序见附录7.1）第i种货物第j辆车 第一种货物第二种货物第三种货物第四种货物第一辆车(kg)050005280第二辆车(kg)0030280第三辆车(kg)646004440总计(kg)6460500040000即：该托运公司批复：第一种货物：6460kg 第二种货物：5000kg第三种货物：4000kg 第四种货物：0kg此时托运公司获得最大利润为M(x)=40232.00元4.2模型二数据处理：利用excel把该月各类货物日申请量累加，得日累计数据（见附录表二），不难发现所得的累计数据经spss处理分析，满足线性规律对A类货物拟合，如图4.1。图4.1 前20天A类货物的日累计量利用excel可得到A类货物申请量的拟合数学模型为： (4.1)同样采用类似的办法，得到另外三类货物申请量的拟合函数模型： (4.2) (4.3) (4.4)以此模型来预测第21天至30天的四类货物的累计申请量，如下表一： (表一)日期A类累计预测值(kg)B类累计预测值(kg)C类累计预测值(kg)D类累计预测值(kg)21512187689198056198122535638078494132655872355904846879846169229245824288602102792729052560576925261071257661426629069646111146180356276523310040411579884128286755710435712013787931296987810831812447891764307219611228812882095625并与第21天至30天的四类货物的累计真实值比较，下表二为货物累计真实值：(表二)日期A类累计真实值(kg)B类累计真实值(kg)C类累计真实值(kg)D类累计真实值(kg)2148747721148783758737225212174289907306282023541367679991851666532456616802089351468426255746683937962507094526597158742610080276995276138990598109596817052865055951661151488288429670849918112710185277306832210284713665387856根据表一表二的数据，利用公式： 来检验该模型的可靠性，各类货物的相对误差表如下：(表三)日期A类相对误差B类相对误差C类相对误差D类相对误差210.0506810.0662360.02190.0552220.0276650.0874230.03610.044230.0326650.1027160.06710.0386240.0287190.1046520.09030.0655250.0541170.1023320.10150.0799260.0534430.103340.09560.0436270.0626240.1082380.05360.0297280.0384640.0965760.04150.0609290.041650.092125-0.02110.0761300.0566990.091794-0.06080.0884经检验，由模型二预测出来的第21天至第30天的各类货物申请量与真实值偏差不大，我们因此得出结论，模型二的可靠性较强，并以此模型来预测未来7天四类货物各自累计申请量，如下表四(表四)日期A类累计预测量(kg)B类累计预测量(kg)C类累计预测量(kg)D类累计预测量(kg)317451111626613316599513327682312025213751010342933791321242451418581073723481439128246146207111340358374313225415055711533436860451362701549091193523788344140292159262123395在表四的基础上，我们很容易得到未来7天即第31天至37天四类货物的日申请量，如下表五：(表五)日期A类日预测量(kg)B类日预测量(kg)C类日预测量(kg)D类日预测量(kg)3123153978434438893223123986434639163323093994434739423423074001434939683523044008435039943623024015435240183722994022435340424.3问题三针对问题三，我们利用模型二中对四类货物未来7天的预测值，利用模型一来求解。利用matlab或者lingo程序，根据模型一的限制条件，我们很容易求得最优解：（程序见附录7.2）日期A类货物(kg)B类货物(kg)C类货物(kg)D类货物(kg)最大收益(元)31231539784344388936790322312398643463916368423323093994434739423688834230740014349396836939352304400843503994369833623024015435240183703137229940224353404237073五模型推广模型一.：的优化配置可以推广生产车间的资源配置，运输业的运作等。模型二：可以帮助预测工厂的生产销售，市场及零售店的进货存储，交通要道的车流量，以及估测股票走势等。六参考文献马莉 编著 清华大学出版社matlab数学实验与建模七附录7.1模型一： Clear；c=-1.7;-1.7;-1.7;-2.25;-2.25;-2.25;-4.5;-4.5;-4.5;-1.12;-1.12;-1.12;a=1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1; 0.0012 0 0 0.0015 0 0 0.003 0 0 0.0008 0 0; 0 0.0012 0 0 0.0015 0 0 0.003 0 0 0.0008 0; 0 0 0.0012 0 0 0.0015 0 0 0.003 0 0 0.0008; 0 0 0 -0.0045 -0.0045 -0.0045 0.003 0.003 0.003 -0.0024 -0.0024 -0.0024;b=6500;5000;4000;3000;9.084;9.084;9.084;0;lb=zeros(12,1);x,fval,exitflag,output=linprog(c,a,b,lb,)Max=1.7*(x11+x12+x13)+2.25*(x21+x22+x23)+4.5*(x31+x32+x33)+1.12*(x41+x42+x43);(x11+x12+x13)6500;(x21+x22+x23)5000;(x31+x32+x33)4000;(x41+x42+x43)3000;0.0012*x11+0.0015*x21+0.003*x31+0.0008*x419.084;0.0012*x12+0.0015*x22+0.003*x32+0.0008*x429.084;0.0012*x13+0.0015*x23+0.003*x33+0.0008*x439.084;0.003*(x31+x32+x33)3*(0.0015*(x21+x22+x23)+0.0008*(x41+x42+x43);-x110;-x120;-x130;-x210;-x220;-x230;-x310;-x320;-x330;-x410;-x420;-x430;gin (x11);gin (x12);gin (x13);gin (x21);gin (x22);gin (x23);gin (x31);gin (x32);gin (x33);7.2模型三以第31天A类货物数据为例：Clear；c=-1.7;-1.7;-1.7;-2.25;-2.25;-2.25;-4.5;-4.5;-4.5;-1.12;-1.12;-1.12;a=1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1; 0.0012 0 0 0.0015 0 0 0.003 0 0 0.0008 0 0; 0 0.0012 0 0 0.0015 0 0 0.003 0 0 0.0008 0; 0 0 0.0012 0 0 0.0015 0 0 0.003 0 0 0.0008;b=2315;3978;4344；3889；9.084; 9.084；9.048lb=zeros(12,1);x,fval,exitflag,output=linprog(c,a,b,lb,)Max=1.7*(x11+x12+x13)+2.25*(x21+x22+x23)+4.5*(x31+x32+x33)+1.12*(x41+x42+x43);(x11+x12+x13)2315;(x21+x22+x23)3978;(x31+x32+x33)4344;(x41+x42+x43)3889;0.0012*30000.0015*x21+0.003*x31+0.0008*x419.084;0.0012*x12+0.0015*x22+0.003*x32+0.0008*x429.084;0.0012*x13+0.0015*x23+0.003*x33+0.0008*x439.084;-x110;-x120;-x130;-x210;-x220;-x230;-x310;-x320;-x330;-x410;-x420;-x430;gin (x11);gin (x12);gin (x13);gin (x21);gin (x22);gin (x23);gin (x31);gin (x32);gin (x33);附表一日期A类(kg)B类(kg)C类(kg)D类(kg)总计(kg)11601284549262239116112542128332871243113683189044884447275013575444394554299614841347351703292850884378140976323234972829359313151737622613893211786478116769216706187316667918971391806417501310210373735803386593816641111807445153171459130341216282636311277571513313172334714226244111861142584385445201373123311515513556349423651096616247926592918266010716171199433528603078114721841482882551436361618019244940842008308111622202026199958223204130512116902889284013188737223374217528934083125252320152510112138339479242480340916631773932525850372927362519983426224934894552605016340271674317287944710183502836664568555211791496529202940151195323932039030123836669552257917035附表二日期A类累计(kg)B类累计(kg)C类累计(kg)D类累计(kg)日总量累计(kg)116012845492622391161127022567877975678229793891210166122441