2013年数学全真模拟试卷6（教师版）.doc

启东市2013年数学全真模拟试卷六一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知集合，则 根据集合的并集运算得；2 若复数的实部为，模为，则复数的虚部是 .设复数z-1+bi，则，解得b；3 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 .由古典概型得，抽到的牌为红心的概率是；4 某公司生产三种型号A、B、C的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A的轿车应抽取 6 辆根据分层抽样，型号A的轿车应抽取（辆）；5 如图，是一个算法的程序框图，当输入的值为时，则输出的值为 0 变量x的值由初值-5经过循环后变为1，而；（第5题图）NY开始输入x输出y结束x22yO （第8题图）6 已知点，若直线在轴与轴上的截距相等，则实数= -3 .易得直线AB的方程为：，由两截距相等得，所以；7 设，函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是 将函数图象向右平移个单位后所得函数解析式为，即由两函数的图象重合得，即，又，故当k-1时，取最小值；8 已知函数的导函数是二次函数，右图是的图象，若的极大值与极小值之和为，的值为 设（a非零为常数），所以（c为常数），因为，所以2c，此时c；DCBA（第9题图）9 在四面体中，平面，平面，且，则四面体的外接球的表面积为 3 .如图，则四面体ABCD的外接球即它所在正方体（棱长为1）的外接球，而正方体的外接球的直径即正方体的体对角线长，所以外接球的表面积为（cm2）；10设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的 充分必要 条件（在“充分不必要”、“充分必要”、“必要不充分”中选填一种） （第11题图）必要性显然，充分性：首先可以断定公比为正数，且数列中的各项符号相同，当各项均为正数时，易有公比大于1，所以原数列是递增数列；当各项均为负数时，也易有公比在内，所以原数列也是递增数列，故答案为充分必要条件；11已知的周长为16，面积为6，且，则 如图，以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设，则，由题意得，所以点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，方程为（除与轴的两个交点），由得，由对称性，不妨取点，则12在平面直角坐标系中，以椭圆上的一点为圆心的圆与轴相切于椭 圆的一个焦点，与轴相交于两点，若ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值 范围是 .由题意得，圆半径，因为ABC是锐角三角形，所以，即，所以，即，解得；13在ABC中，若，则_在线段BC上取一点D，使得ADBD，从而DABA，所以，在CAD中，由余弦定理得AD=3，所以cos C；14定义：若函数为定义域上的单调函数，且存在区间，使得当时，的取值范围恰为，则称函数是上的“正函数” 已知函数为R上的“正函数”，则实数a的取值范围是 由题意得所以m，n是方程的两个不等的实数根，即考察方程何时有两个不等的实数根，两边同时取自然对数得即设，则由得，经验证，函数的最小值为，故解得，又a1，故二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知且（1）求的值；（2）证明：命题立意：本题主要同角三角函数的关系、两角和与差的正弦、正切公式，考查运算求解能力解：（1）将代入得 所以又， 解得 （2）易得，又 所以， 由（1）可得， 所以16 （第16题图）如图，正方形所在的平面与三角形所在的平面交于，平面，且（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角的基础知识，考查空间想象、推理论证能力 证明：（1）正方形ABCD中， 又平面CDE， 平面CDE， 所以平面CDE（6分） （2）因为，且， 所以，（8分） 又 且， ， 所以，又，所以 17（本题满分15分）若半径为的圆：的圆心到直线：的距离为，其中，且（1）求的范围；（2）求证：为定值；（3）是否存在定圆，使得圆既与直线相切又与圆相离？若存在，请求出定圆的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由 命题立意：本题主要考查求直线与圆得方程、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识，考查 运算求解与探究论证能力 解：（1）因为，又，且， 所以且，解得；（3分） （2）易得圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以；（7分） （3）存在定圆：满足题意，下证之：（9分） 因为M(0，0)到直线的距离为，所以圆与直线相切；（12分） 因为，且， 而， 故，所以圆与圆相离 由、得，存在定圆：满足题意（15分）18如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为 4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养（图甲）（图乙） 殖区的最小面积命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力 解：（1）设与所成夹角为，则与所成夹角为， 对菱形的边长“算两次”得，解得， 所以，养殖区的面积；（2）设与所成夹角为，则与所成夹角为， 对菱形的边长“算两次”得，解得， 所以，养殖区的面积，（10分） 由得，（13分） 经检验得，当时，养殖区的面积 答：（1）养殖区的面积为；（2）养殖区的最小面积为（15分）19设为关于n的k次多项式数列an的首项，前n项和为对于任意的正 整数n，都成立（1）若，求证：数列an是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得数列an能成等差数列命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力解：（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数） 因为恒成立，所以，即而且当时， ， 得 若an=0，则，a1=0，与已知矛盾，所以 故数列an是首项为1，公比为的等比数列（4分） （2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去 (ii) 若k=1，设（b，c为常数）， 当时， ， 得 要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数）， 而a1=1，故an只能是常数数列，通项公式为an =1，故当k=1时，数列an能成等差数列，其通项公式为an =1，此时 (iii) 若k=2，设（，a，b，c是常数）， 当时， ， 得 ，要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有，且d=2a， 考虑到a1=1，所以故当k=2时，数列an能成等差数列，其通项公式为，此时（a为非零常数）（12分）(iv) 当时，若数列an能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2， 故数列an不能成等差数列综上得，当且仅当k=1或2时，数列an能成等差数列（16分）20 已知函数，其中为常数（1）求证：函数的图象必过定点；（2）若在上为单调减函数，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得的解集恰好为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 命题立意：本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识，考查灵活应用属性结合思想、分类讨论思想进行探索问题、解决问题的能力y解：（1）易得，即O-1（图1） 所以解得 故的图象必过定点； （2）判别式，x 当时，即时， 函数0恒成立， 所以，O-1x1（图2）x 对称轴方程为，所以当时符合题意（如图1）， 此时；（6分）y 当时，即时，方程的两 个实根为，xO-1x1x2（图3）y 不妨设，由题意及图象得或即（如图2） 或 （如图3）解得，此时， 综上得m的取值范围是（3）由题意得所以a，b是方程的两个不同的实数解， 由根与系数的关系得 消去m得，即当时，上式显然不可能成立，故，所以，因为，所以是2的约数即a的所有可能值分别为0，2，-1，2，对应的b的所有可能值依次为0，4，1，3， 因为，所以（舍）或对应的m的值为8，经检验，满足， 所以即为所求21 B（矩阵与变换）已知a，b，矩阵所对应的变换TA将直线变换为自身（1）求实数a，b的值； （2）计算命题立意：本题主要考查二阶矩阵的变换，考查运算求解能力解：（1）设变换T：，则，因为点在已知直线上，所以， 故，整理得， 所以解得 （2）由（1）得矩阵， 所以， 故C（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点、分别在曲线、上，求的最大值与最小值命题立意：本题主要考查圆的极坐标方程，考查数形结合的能力解：在极坐标系中，方程表示圆心为，半径为的圆，方程 表示圆心为，半径为的圆，易得两圆相交于两点，故， 当AB经过两个圆的圆心时（10分）22设动点在轴与直线：之间的区域（含边界）上运动，且到点和直线的距离之和为10，设动点的轨迹为曲线，过点作两条直线分别交曲线于两点，斜率分别为（1）求曲线的方程；（2）若，求证：直线恒过定点 命题立意：本题主要考查轨迹方程的应用，考查运算求解能力解：（1）设P(x，y)，则有，移项平方并化简得， （2）设，则所以，即 （）因为直线AB的方程为，所以，代人（）得，故直线AB必过点23设是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件： ,； 对任意的,都有（1