第二章-有限差分法.ppt

第二章有限差分法 梁挠度方程 随着计算机技术的发展 为解微分方程提供了强有力的工具 借助于有效的计算方法 可对微分方程进行数值求解 第二章有限差分法 第二章有限差分法 钱学森指出 今日的力学要充分利用计算机和现代计算技术去回答一切宏观的实际科学技术问题 计算方法非常重要 第二章有限差分法 有限差分的基本概念 差分方程与差分格式构造 差分格式的收敛性和稳定性 差分格式的其他构造方法 差分解法在力学中的应用 本章内容 第二章有限差分法 有限差分法是数值求解微分方程的方法之一 差分方法最早可追溯到1855 亚当斯就提出了求解一阶方程组的初值问题 著名的有限差分法 也称作亚当斯法 亚当斯根据理论分析和计算发现海王星的人 Courant Friedrichs Lewy 1928 首次对偏微分方程的差分方法作了完整的论述 第二章有限差分法 有限差分法的基本思想和主要步骤 基本思想 用离散的 只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程和定解条件 主要步骤 将连续求解区域离散成点集 将微分方程离散化为差分方程 将定解条件离散化 即得到构造差分格式 将偏微分方程定解问题化为代数方程组 求解代数方程组 得到离散点上的解 利用插值函数可得到整个区域上的近似解 第二章有限差分法 如何将连续体离散如何将离散点物理量的值联系起来如何得到离散点上的值 有限差分公式 差分方程 差分格式 第二章有限差分法 2 1有限差分的基本概念 1 函数在离散点上的表示 r表示节点沿x坐标的位置 h表示沿x方向的步长 第二章有限差分法 二维 相邻的节点 第二章有限差分法 三维 第二章有限差分法 2 单变量函数导数的有限差分公式 用上述记号 单变量函数u x 在离散点xr处的Taylor级数展开为 第二章有限差分法 不同形式一阶导数差分公式及其截断误差 第二章有限差分法 二阶导数差分公式及其截断误差 第二章有限差分法 差分算子以及符号 第二章有限差分法 不同算子间关系 第二章有限差分法 或 第二章有限差分法 两式相减 或 第二章有限差分法 第二章有限差分法 一阶导数 二阶导数 第二章有限差分法 三阶导数 四阶导数 第二章有限差分法 单变量函数导数的有限差分公式 第二章有限差分法 3 多变量函数导数的有限差分公式 二元函数一阶偏导数的有限差分公式 保持下标s不变 即y 常数 中保持r不变 即x 常数 第二章有限差分法 第二章有限差分法 第二章有限差分法 二元函数偏导数的有限差分公式 h k 第二章有限差分法 2 2差分方程与差分格式的构造 微分方程简单回顾 在力学 物理学等领域中 各个定律并不一定直接由某些表征物理量的未知函数与自变量间的量的规律给出 而往往是由这些函数和它们对自变量的各阶导数或偏导数的关系给出 这种带有导数或微分符号的未知函数的方程称为微分方程 一般地 微分方程中 如果其中的未知函数只与一个自变量有关 则称为常微分方程 记为 x为自变量 y x 为未知函数 y y y n 为未知函数的各阶导数或微分 方程中所含未知函数导数的最高阶数 例如n 称为这个方程或方程组的阶 例如 n阶常微分方程 第二章有限差分法 1 常见描述力学问题的微分方程 微分方程中 如果其中的未知函数与多于一个的自变量有关 则称为偏微分方程 记为 其中 u x1 x2 xm m 2 为未知函数 F是关于 x1 x2 xm u以及u的有限个偏导数的已知函数 如果在F中含有u的偏导数的最高阶为n 则称为n阶偏微分方程 如果F关于u及其导数是齐次的 则称微分方程是齐次的 第二章有限差分法 微分方程和定解条件一起组成定解问题 第二章有限差分法 所有的物理学 力学等学科领域中的微分方程 都是根据一些基本定律以及实验现象为基础建立的 在这些方程中的量 包括自变量和特定函数的物理量 都是有量纲的物理量 由量纲分析和相似理论 这些物理量所组成的物理方程都可以化为无量纲形式 在这种无量纲形式的微分方程中 所有的自变量和有着特定物理意义的函数表征的量都是无量纲 并且还会出现一些决定这个物理系统的无量纲常数 相似模量 这种无量纲形式的微分方程 才是纯数学的微分方程 其是一类可以描述很多不同物理现象的微分方程 第二章有限差分法 在具体求解微分方程时 必须附加某些定解条件 微分方程和定解条件一起组成定解问题 对于高阶微分方程 定解条件通常有三种提法 一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态 这类条件称为初始条件 相应的定解问题称为初值问题 一种是给出了积分曲线在边界上的性态 这类条件称为边界条件 相应的定解问题称为边值问题 最后一种是既给出部分初始条件 又给出部分边界条件 即混合定解条件 相应的定解问题称为混合问题 第二章有限差分法 2 常微分方程的差分格式构造与求解 利用有限差分公式将上述常微分方程离散化 将求解区域离散为x0 xNN 1个节点 差分方程 第二章有限差分法 定解条件差分格式表示 整理微分方程与定解条件 将微分方程转化为代数方程组 其中 第二章有限差分法 例1用差分法求解边值问题 解 取步长h 0 1 节点xn 0 1n n 0 1 10 第二章有限差分法 数值计算结果 第二章有限差分法 3 偏微分方程的差分格式构造与求解 二阶偏微分方程的分类 利用这个判别式 可以判定波动方程 弦振动方程隶属于双曲型方程 静电场 静磁场方程隶属于椭圆型方程 热传导方程隶属于抛物型方程 第二章有限差分法 一维对流方程可表示为下式 其中c为常数 该方程可刻画流体运动等某些物理现象 例如 流体在平直管道中的等速单向流动并忽略了管壁与流体的摩擦 此时u表示流体的密度 为时间t与沿管道方向的坐标x的函数 常数c为流速 一维扩散方程可表示为 其中a 0为常数 这是一个抛物型方程 其描述了热的传导 粒子的扩散等问题 对于细长绝缘杆的热传导问题来说 在材料密度 比热和导热系数均为常数的假设下 方程中的系数a是由这些材料特性确定的常数 而u是温度 它是时间t与沿杆方向坐标x的函数 第二章有限差分法 偏微分方程的差分格式 求解区域剖分 第二章有限差分法 差分格式 方程 使用不同的差商格式 差分方程也将不同 第二章有限差分法 向后差分 中心差分 向前差分 其与对流差分方程中的网格比不同 第二章有限差分法 共同的特征 一是差分格式仅涉及两个时间层 n层和n 1层 这种格式称为二层格式 采用这种格式来计算第n 1层uj n 1时均只用到第n层的信息 二是格式提供了逐点计算uj n 1的直接表达式 使得很容易从第n层推进到第n 1层 具有这种特征的格式称为显式格式 因此 前面的差分格式都是二层显式差分格式 当我们已知第n层的uj n后 要求解出第n 1层的函数值uj n 1 必须解一线性方程组 而不是直接给出uj n 1的计算公式 这种格式称为隐式差分格式 第二章有限差分法 差分格式的分类 以精度分 一阶格式 二阶格式 高阶格式等 以空间差分形式分 迎风格式 逆风格式 中心格式等 以时间差分形式分 显示格式 隐式格式 显隐交替格式等 第二章有限差分法 例1 在区域内求解一维热传导混合问题 x 0 x l 第二章有限差分法 解 1 将求解区域离散 xj jh j 0 J tn n n 0 N 2 定解问题的差分方程为 显示格式 为方便起见 引入下面的向量和矩阵形式 第二章有限差分法 则定解问题的差分格式可写成矩阵 第二章有限差分法 隐式格式 第二章有限差分法 如图所示取x y方向等距网格 由问题的方程和边界条件可知 该问题是对称的 因此只需求解1 2 3点上的 值 例2 在区域内求解Possion方程的定解问题 解 求解区域及其网格离散如下 第二章有限差分法 对区域内的点 x y 有 利用偏微分方程的混合差分格式 该定解问题的差分格式为 若f 0可知 i j i j 1 i j 1 i 1 j i 1 j 4 即任意一点的值是其周围四点的平均值 五点差分格式 第二章有限差分法 第二章有限差分法 设在辅助坐标系 中 函数 在3点附近可近似表示为 在辅助坐标系中 原微分方程可化为 利用几何关系 容易求得m sqrt 3 1 第二章有限差分法 第二章有限差分法 精确解为 第二章有限差分法 第二章有限差分法 2 3差分格式的其他构造方法 1 积分插值法 由Green公式 若积分区间很小 由积分种植定理 第二章有限差分法 蛙跳格式 令 第二章有限差分法 Lax Friedrichs格式 令 第二章有限差分法 2 待定系数法 待定系数法的基本做法和步骤是 首先选取形式确定但系数待定的差分方程来逼近微分方程 然后在截断误差可能达到的范围内 按精度要求确定出差分方程的系数 构成具体的差分格式 若定解问题的精确解为U x t 则截断误差为 第二章有限差分法 利用Taylor级数展开有 第二章有限差分法 按截断误差的精度 可构造出不同形式的差分格式 不同组合可得到满足不同精度的差分格式 第二章有限差分法 第二章有限差分法 2 4差分格式的收敛性和稳定性 1 差分格式的收敛性 差分格式的解能否逼近原方程的解 差分格式是收敛的 一般差分格式的收敛性不仅与步长有关 还与网格比有关 如果收敛性与网格比有关称为有条件收敛 如果收敛性与网格比无关称为无条件收敛 第二章有限差分法 截断误差与节点有关 对节点 xj tn 设格式的截断误差为Ej n 第二章有限差分法 令 第二章有限差分法 讨论 1 只要初值问题的解对时间的二阶导数和对空间的四阶导数均有界 该差分格式就是收敛的 2 0 5 第二章有限差分法 2 差分格式的稳定性 是一种范数 比如模等 第二章有限差分法 该格式在小于1时是稳定的 第二章有限差分法 2 5差分解法在力学中的应用举例 1 差分法求解梁的弯曲问题 梁的弯曲方程 差分格式 第二章有限差分法 例1 等截面超静定梁如图所示 左端绞支右端固支 在绞支端作用一力偶 梁的长度L和截面抗弯刚度EI已知 求梁的挠度和绞支端的转角 第二章有限差分法 解 将梁四等分 则步长h L 4 节点1 2 3的差分方程 边界条件的差分格式 虚拟节点 第二章有限差分法 转角误差大 怎么办 第二章有限差分法 例2 文克尔弹性地基上的梁如图所示 已知梁的长度L 6 096m 地基的等效弹性系数k 5 104kNm2 抗弯刚度EI 2 6336 106kNm2 梁上作用均布载荷q 14 88kN m 求梁的挠度 弯矩及其地基反力 解 由文克尔假设 地基反力为 第二章有限差分法 因此弹性地基上的梁的挠曲方程为 将地基梁四等分 则h L 4 对应的差分方程 第二章有限差分法 节点1 2 3的差分方程 边界条件的差分格式 虚拟节点 第二章有限差分法 节点1 2 3的弯矩为 地基反力 A端处的支座反力 第二章有限差分法 2 差分法求解薄板的弯曲问题 弹性薄板理论 从几何特征上讲 薄板是指t b的板 第二章有限差分法 弹性薄板小挠度问题常用基本假设 1 中法线始终垂直于中面 2 垂直于板中面的应力很小 一般忽略不计 3 弯曲后板的中面无应变 第二章有限差分法 根据板的几何变形特征应变与位移间的关系 薄板本构关系 薄板面内力与位移间的关系 第二章有限差分法 薄板控制方程 边界条件 第二章有限差分法 边界条件 简支 固支 第二章有限差分法 边界条件 自由边 滑动边 第二章有限差分法 2 薄板弯曲问题的有限差分法 第二章有限差分法 第二章有限差分法 薄板弯曲控制方程的差分格式 每一个节点的挠度需要涉及13个节点的挠度 每一个节点的挠度需要涉及5个节点的挠度和相应的 弯矩和 第二章有限差分法 第二章有限差分法 例1 如图所示的简支正方形板 承受垂直于板面的横向均布载荷q作用 求板的最大挠度 解 将薄板在x方向和y方向分别四等份 则h k a 4 应用弯矩控制方程 第二章有限差分法 同理 可得挠度的控制方程 最大挠度为节点3处的挠度 与精确解0