2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.3.3最大值与最小值学案苏教版.docx

1.3.3最大值与最小值学 习 目 标核 心 素 养1.会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)(重点)2掌握含参数的最值问题的讨论(难点)3掌握函数的极值与最值的联系与区别(易混点)1.通过函数最大、最小值的学习，培养数学抽象、直观想象素养2借助函数最大、最小值的求解，提升数学运算素养.1函数的最大值与最小值(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值惟一2利用导数求函数的最值求可导函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值思考：(1)函数在闭区间上的极大值就是最大值吗？极小值就是最小值吗？(2)函数在区间a，b上的最值一定在端点处取得吗？提示(1)不一定函数在闭区间上的极大值不一定是最大值，还要与端点处的函数值比较，最大的即最大值；同理，闭区间上的极小值也不一定是最小值(2)不一定还与函数在区间上的单调性、极值有关1函数f(x)4x4在0,3上的最小值为()A1B4C5DDf(x)x24，令f(x)0，解得x2，因为x0,3，故x2，当0x2时，f(x)0，当2x0，故当x2时，函数取极小值，也是最小值，f(x)最小值f(2)84.2函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值B有极值C有最大值D有最小值Af(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值3函数f(x)在0,2上的最大值为_f(x)，令f(x)0，得x10,2f(1)，f(0)0，f(2).f(x)最大值f(1).4已知函数f(x)x33x2m(x2,2)，f(x)的最小值为1，则m_.1f(x)3x26x，x2,2令f(x)0，得x0，或x2，当x(2,0)时，f(x)0，当x(0,2)时，f(x)0，当x0时，f(x)有极小值，也是最小值f(0)m1.求函数在给定区间上的最值【例1】求下列函数的最值：(1)f(x)x3x22x5，x2,2；(2)f(x)exex，x0,1解(1)f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)0，得x1，x21.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x21(1,2)2f(x)00f(x)17从上表可知，函数f(x)在2,2上的最大值是7，最小值是1.(2)f(x)(ex)ex.当x0,1时，f(x)0恒成立，即f(x)在0,1上是减函数故当x1时，f(x)有最小值f(1)e；当x0时，f(x)有最大值f(0)e0e00.求函数最值的四个步骤(1)求函数的定义域；(2)求f(x)，解方程f(x)0；(3)列出关于x，f(x)，f(x)的变化表；(4)求极值、端点值，确定最值1(1)函数yx44x3在区间2,3上的最小值为()A72B36C12D0(2)函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1eB1CeD0(1)D(2)B(1)因为yx44x3，所以y4x34，令y0，解得x1.当x1时，y1时，y0，函数单调递增，所以函数yx44x3在x1处取得极小值0.而当x2时，y27，当x3时，y72，所以当x1时，函数yx44x3在2,3上取得最小值0，故选D.(2)f(x)1，令f(x)0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，e)时，f(x)0，且x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.1本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的符号的影响，因此需要对a的符号进行分类讨论2已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的基本方法是待定系数法，列出关于参数的方程(组)，从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论2设af(a)，又f(1)f(1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(1)与f(a)的大小因为f(0)f(1)a10，所以f(x)的最大值为f(0)b，所以b1.又因为f(1)f(a)(a1)2(a2)0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)0)，当xt时，f(x)取得最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值1mg(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1m0.m的取值范围为(1，)1(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t0,2，使h(t)2tm成立”，则实数m的取值范围如何求解？解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t0(0,1)1(1,2)2g(t)0g(t)1m极大值1m3mg(t)在0,2上有最小值g(2)3m，存在t0,2，使h(t)2tm成立，等价于g(t)的最小值g(2)0.3m3，实数m的取值范围为(3，)2(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2(0,2)，都有h(t1)2t2m”，求实数m的取值范围解h(t)t3t1，t(0,2)，h(t)3t21，由h(t)0得t或t(舍去)，又当0t时，h(t)0，当t2时，h(t)0.当t时，h(t)max1.令(t)2tm，t(0,2)，(t)minm4.由题意可知m4，即m3.实数m的取值范围为.1涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论2不等式恒成立、能成立常见的转化策略(1)af(x)恒成立af(x)最大值，af(x)恒成立af(x)最小值；(2)f(x)g(x)k恒成立kf(x)g(x)最小值；(3)f(x)g(x)恒成立f(x)最小值g(x)最大值；(4)af(x)能成立af(x)最小值，af(x)能成立af(x)最大值1函数的最值是一个全局概念，而函数极值是一个局部概念2函数的最值只能在区间端点或极值点处取得，因此求闭区间上的最值时，只需求出极值与端点值比较即可3对于含参数的最值问题，注意分类讨论解决4解决恒成立、能成立问题，注意分离参数法的应用及数形结合思想的应用.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()答案(1)(2)(3)2函数y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分别是()A12，8B1，8C12，15D5，16Ay6x26x12，由y0x1或x2(舍去)x2时，y1；x1时，y12；x1时，y8.所以ymax12，ymin8.3设函数f(x)x32x5，若对任意x1,2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_令f(x)3x2x20，得x1或x.f(1)，f，f(1)，f(2)7，m.4已知a为实数，f(