高考数学 第七章 第三节 平行关系课件 文 北师大版.ppt

第三节平行关系 1 直线与平面平行的判定与性质 平 面内 交线 l a a l l l b 2 平面与平面平行的判定与性质 相交直线 a b a b p a b 相交 交线 a b 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 2 如果两个平面平行 那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 3 若直线a与平面 内无数条直线平行 则a 4 若直线a 平面 p 则过点p且平行于直线a的直线有无数条 5 若平面 平面 直线a 平面 则直线a 平面 解析 1 错误 当这两条直线为相交直线时 才能保证这两个平面平行 2 正确 如果两个平面平行 则在这两个平面内的直线没有公共点 则它们平行或异面 3 错误 若直线a与平面 内无数条直线平行 则a 或a 4 错误 有且只有一条直线 且该直线为过直线a和点p的平面与平面 的交线 5 错误 若平面 平面 直线a 平面 则a 或a 答案 1 2 3 4 5 1 下列命题中 正确的是 a 若a b b 则a b 若a b 则a b c 若a b 则a b d 若a b b a 则a 解析 选d 由直线与平面平行的判定定理知选项d正确 2 已知直线l m 平面 下列条件能得出 的是 a l m 且l m b l m 且l m c l m 且l m d l m 且l m 解析 选c 如图 在正方体ac1中 aa1 平面abcd bb1 平面a1b1c1d1且aa1 bb1 则平面abcd 平面a1b1c1d1 故选c 3 直线a不平行于平面 则下列结论成立的是 a 内的所有直线都与a异面 b 内不存在与a平行的直线 c 内的直线都与a相交 d 直线a与平面 有公共点 解析 选d 因为直线a不平行于平面 则直线a与平面 相交或直线a在平面 内 所以选项a b c均不正确 故选d 4 已知正方体abcd a1b1c1d1 下列结论中 正确的结论是 只填序号 ad1 bc1 平面ab1d1 平面bdc1 ad1 dc1 ad1 平面bdc1 解析 借助图形可知ad1与dc1所在的直线为异面直线 故 错误 答案 考向1线面平行的判定与性质 典例1 1 若一条直线和两个相交平面都平行 则这条直线和它们的交线的位置关系是 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 点n在bd上 点m在b1c上 并且cm dn 求证 mn 平面aa1b1b 思路点拨 1 把文字叙述转化为符号叙述 然后利用线面平行的性质 把线面平行转化为线线平行 2 线线平行 线面平行 面面平行 是可以互相转化的 本题可以采用任何一种转化方式 规范解答 1 已知a a l 设过a的平面 m a a m 设过a的平面 n a a n m n n m m 又 m l m l a l 答案 平行 2 方法一 如图所示 作me bc交bb1于e 作nf ad交ab于f 连接ef 则 在正方体abcd a1b1c1d1中 cm dn bd b1c b1m bn 又bd b1c 又bc ad me nf 又me bc ad nf 四边形mefn为平行四边形 mn ef 又ef 平面aa1b1b mn 平面aa1b1b mn 平面aa1b1b 方法二 过m作mq bb1交bc于q 连接nq mq 平面aa1b1b bb1 平面aa1b1b mq 平面aa1b1b 由mq bb1得又cm dn cb1 db nq dc nq ab nq 平面aa1b1b ab 平面aa1b1b nq 平面aa1b1b 又mq nq q 平面mqn 平面aa1b1b 又mn 平面mqn mn 平面aa1b1b 互动探究 若将本例题 2 中的条件 cm dn 改为则如何证明 证明 将转化为cm dn 以下同例题 拓展提升 1 判断或证明线面平行的常用方法 1 利用线面平行的定义 无公共点 2 利用线面平行的判定定理 a b a b a 3 利用面面平行的性质 a a 4 利用面面平行的性质 a a a a 2 判断或证明两直线平行的常用方法 1 利用公理4 a b b c a c 2 利用线面平行的性质定理 a a b a b 3 利用面面平行的性质定理 a b a b 4 利用线面垂直的性质定理 a b a b 提醒 利用线面平行的性质或判定定理时 适当添加辅助线 或面 是解题的常用方法 变式备选 1 如图 四边形abcd是平行四边形 点p是平面abcd外一点 m是pc的中点 在dm上取一点g 过g和ap作平面交平面bdm于gh 求证 ap gh 证明 如图 连接ac交bd于点o 连接mo 四边形abcd是平行四边形 o是ac的中点 又m是pc的中点 ap om 又ap 平面bdm ap 平面bdm 平面pahg 平面bdm gh pa gh 2 如图 在四棱锥p abcd中 cd ab dc ab 试在线段pb上找一点m 使cm 平面pad 并说明理由 解析 当m为pb的中点时 cm 平面pad 方法一 取ap的中点f 连接cm fm df 则fm ab fm ab cd ab cd ab fm cd fm cd 四边形cdfm为平行四边形 cm df df 平面pad cm 平面pad cm 平面pad 方法二 在四边形abcd中 设bc的延长线与ad的延长线交于点q 连接pq cm cd ab qcd qba cqd bqa cqd bqa c为bq的中点 m为bp的中点 cm pq pq 平面pad cm 平面pad cm 平面pad 方法三 取ab的中点e 连接em ce cm 在四边形abcd中 cd ab cd ab e为ab的中点 ae dc 且ae dc 四边形aecd为平行四边形 ce da da 平面pad ce 平面pad ce 平面pad 同理 根据e m分别为ba bp的中点 得em 平面pad ce 平面cem em 平面cem ce em e 平面cem 平面pad cm 平面cem cm 平面pad 考向2面面平行的判定与性质 典例2 1 2013 西安模拟 设m n是平面 内的两条不同直线 l1 l2是平面 内的两条相交直线 则 的一个充分而不必要条件是 a m 且l1 b m l1且n l2 c m 且n d m 且n l2 2 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 e f g h分别是ab ac a1b1 a1c1的中点 求证 b c h g四点共面 平面efa1 平面bchg 思路点拨 1 逐项验证 既要验证充分性 还要验证必要性 2 要证明b c h g四点共面 可证明直线gh与直线bc共面 可利用面面平行的判定定理证明 规范解答 1 选b 对于选项a 不合题意 对于选项b 由于l1与l2是相交直线 而且由l1 m可得l1 同理可得l2 故可得 充分性成立 而由 不一定能得到l1 m l2 n 它们也可以异面 故必要性不成立 故选b 对于选项c 由于m n不一定相交 故是必要非充分条件 对于选项d 由n l2可转化为n 同选项c 故不符合题意 综上选b 2 g h分别是a1b1 a1c1的中点 gh是 a1b1c1的中位线 gh b1c1 又 b1c1 bc gh bc b c h g四点共面 e f分别是ab ac的中点 ef bc ef 平面bchg bc 平面bchg ef 平面bchg a1g eb 四边形a1ebg是平行四边形 a1e gb a1e 平面bchg gb 平面bchg a1e 平面bchg a1e ef e 平面efa1 平面bchg 互动探究 在本例 2 条件下 若d1 d分别为b1c1 bc的中点 求证 平面a1bd1 平面ac1d 证明 如图所示 连接a1c交ac1于点h 四边形a1acc1是平行四边形 h是a1c的中点 连接hd d为bc的中点 a1b hd a1b 平面a1bd1 dh 平面a1bd1 dh 平面a1bd1 又由三棱柱的性质知 d1c1 bd 四边形bdc1d1为平行四边形 dc1 bd1 又dc1 平面a1bd1 bd1 平面a1bd1 dc1 平面a1bd1 又 dc1 dh d 平面a1bd1 平面ac1d 拓展提升 1 判定面面平行的四个方法 1 利用定义 即判断两个平面没有公共点 2 利用面面平行的判定定理 3 利用垂直于同一条直线的两平面平行 4 利用平面平行的传递性 即两个平面同时平行于第三个平面 则这两个平面平行 2 面面平行的性质 1 两平面平行 则一个平面内的直线平行于另一平面 2 若一平面与两平行平面相交 则交线平行 变式备选 如图 在四棱锥p abcd中 abc acd 90 bac cad 60 pa 平面abcd e为pd的中点 ab 1 证明 直线ce 平面pab 证明 取ad中点f 连接ef cf 在 pad中 ef是中位线 可得ef pa ef 平面pab pa 平面pab ef 平面pab rt abc中 ab 1 bac 60 又 rt acd中 cad 60 ad 4 结合f为ad中点 得 acf是等边三角形 acf bac 60 可得cf ab cf 平面pab ab 平面pab cf 平面pab ef cf是平面cef内的相交直线 平面cef 平面pab ce 平面cef ce 平面pab 典例3 如图所示 平面 平面 点a 点c 点b 点d 点e f分别在线段ab cd上 且ae eb cf fd 1 求证 ef 2 若e f分别是ab cd的中点 ac 4 bd 6 且ac bd所成的角为60 求ef的长 考向3平行关系的综合应用 思路点拨 1 要证ef 可转化为证明ef与 内的某一直线平行或证明ef所在的平面与 平行 2 以ef为边构造三角形可求得ef的长 规范解答 1 当ab cd在同一平面内时 由 平面 平面abdc ac 平面 平面abdc bd ac bd ae eb cf fd ef bd 又ef bd ef 当ab与cd异面时 设平面acd dh 且dh ac 平面acdh ac ac dh 四边形acdh是平行四边形 在ah上取一点g 使ag gh cf fd 得gf hd 又 ae eb cf fd ag gh eg bh 又eg gf g 平面efg 平面 又ef 平面efg ef 综上 ef 2 如图所示 连接ad 取ad的中点m 连接me mf e f分别为ab cd的中点 me bd mf ac 且me bd 3 mf ac 2 emf为ac与bd所成的角 或其补角 emf 60 或120 在 efm中由余弦定理得即ef 或ef 拓展提升 三种平行关系的转化方向及注意事项 1 转化方向如图所示 2 注意事项在应用线面平行 面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时 一定要注意定理成立的条件 严格按照定理成立的条件规范书写步骤 如把线面平行转化为线线平行时 必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交 则直线与交线平行 变式训练 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 o为底面abcd的中心 p是dd1的中点 设q是cc1上的点 问 当点q在什么位置时 平面d1bq 平面pao 解析 当q为cc1的中点时 平面d1bq 平面pao 证明如下 q为cc1的中点 p为dd1的中点 qb pa p o分别为dd1 db的中点 d1b po 又 d1b 平面pao po 平面pao qb 平面pao pa 平面pao d1b 平面pao qb 平面pao 又d1b qb b d1b qb 平面d1bq 平面d1bq 平面pao 满分指导 平行关系证明题的规范解答 典例 12分 2012 山东高考 如图 几何体e abcd是四棱锥 abd为正三角形 cb cd ec bd 1 求证 be de 2 若 bcd 120 m为线段ae的中点 求证 dm 平面bec 思路点拨 规范解答 1 取bd的中点o 连接co eo 由于cb cd 所以co bd 1分又ec bd ec co c co ec 平面eoc 所以bd 平面eoc 所以bd oe 3分又o为bd的中点 所以be de 5分 2 方法一 取ab的中点n 连接dm dn mn 因为m是ae的中点 所以mn be 6分又mn 平面bec be 平面bec 所以mn 平面bec 7分又因为 abd为正三角形 所以 bdn 30 又cb cd bcd 120 因此 cbd 30 所以dn bc 9分 又dn平面bec bc 平面bec 所以dn 平面bec 又mn dn n 故平面dmn 平面bec 11分又dm 平面dmn 所以dm 平面bec 12分 方法二 延长ad bc交于点f 连接ef 因为cb cd bcd 120 所以 cbd 30 7分因为 abd为正三角形 所以 bad abd 60 abc 90 所以 afb 30 所以ab af 9分 又ab ad 所以d为线段af的中点 10分连接dm 由点m是线段ae的中点 因此dm ef 11分又dm 平面bec ef 平面bec 所以dm 平面bec 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 四川高考 下列命题正确的是 a 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 b 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 c 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 d 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 解析 选c 利用线面位置关系的判定和性质解答 a错误 如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等 但两条母线相交 b错误 abc的三个顶点中 a b在 的同侧 而点c在 的另一侧 且ab平行于 此时可有a b c三点到平面 距离相等 但两平面相交 d错误 如教室中两个相邻墙面都与地面垂直 但这两个面相交 2 2013 宝鸡模拟 已知直线m n和平面 则m n的一个必要不充分条件是 a m n b m n c m n d m n与 成等角 解析 选d 对于a m n 为m n的既不充分也不必要条件 对于b m n 为m n的充分不必要条件 对于c m n 为m n的既不充分也不必要条件 对于d m n与 成等角为m n的必要不充分条件 故选d 3 2013 西安模拟 已知直线m n与平面 给出下列三个命题 若m n 则m n 若m n 则m n m m 则 其中真命题的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选c 对于 m n可能平行 相交或异面 正确 所以真命题的个数为2 4 2012 辽宁高考改编 如图 直三棱柱abc a b c bac 90 ab ac