高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式教案.docx

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式示范教案教学分析教材首先把数轴上的基本公式、距离公式和中点公式，推广到平面直角坐标系，再把二维的问题转化为一维问题来处理等学完平面向量后，可作为练习，让学生用向量方法重新证明这些基本公式和几何问题应向学生指出，中点公式是中心对称的坐标表示，应多做练习，让学生掌握中点公式的应用这一节的习题后用探索与研究的方式安排了一个系列习题通过直线上的距离公式，求解含绝对值符号的方程新课标只要求学生理解了距离公式的几何意义，学生应能解出即可，而且，这能进一步帮助学生更好地理解距离公式的意义不妨在学习椭圆方程和双曲线方程时重温此题如果点在坐标平面上，让学生写出点的轨迹方程值得注意的是对于平面内两点间距离公式的教学，第一，应向学生指出，距离公式是勾股定理的坐标形式，通过两点的坐标分量来计算两点间的距离；第二，贯彻算法思想(机械化计算)这是按步骤计算(一点都马虎不得)，是学好数学的基本功. 三维目标1掌握平面内两点间距离公式和中点公式，提高学生推理和类比能力2能够利用平面内两点间距离公式和中点公式解决有关问题；掌握坐标法解决几何问题，提高学生分析问题和解决问题的能力重点难点教学重点：平面内两点间距离公式和中点公式及其应用教学难点：平面内两点间距离公式的推导课时安排1课时导入新课设计1.上一节我们学习了直线坐标系中的两点间距离公式，本节我们把这个公式推广到平面直角坐标系中，教师点出课题设计2.已知平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离|AB|呢？教师点出课题推进新课(1)回顾平面直角坐标系中点的坐标的意义(2)已知点A(x，y)，试求d(O，A)(3)如何求任意两点A(x1，y1)、B(x2，y2)的距离呢？(4)已知两点的坐标，用两点距离公式计算两点之间的距离，写出步骤(5)已知A(x1，y1)、B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，试推导中点公式讨论结果： (1)在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点的集合具有一一对应关系如下图所示，有序数对(x，y)与点P对应，这时(x，y)称作点P的坐标，并记为P(x，y)，x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标(2)如下图所示从点A(x，y)作x轴的垂线段AA1，垂足为A1，这时，同学们只要想到勾股定理，会马上写出计算d(O，A)的公式：d(O，A).(3)如下图所示，从点A和点B分别向x轴、y轴作垂线AA1、AA2和BB1、BB2，垂足分别为A1(x1,0)、A2(0，y1)、B1(x2,0)、B2(0，y2)其中直线BB1和AA2相交于点C.在直角ACB中，|AC|A1B1|x2x1|，|BC|A2B2|y2y1|.由勾股定理，得|AB|2|AC|2|BC|2|x2x1|2|y2y1|2.由此得到计算A(x1，y1)、B(x2，y2)两点的距离公式：d(A，B).(4)步骤是：给两点的坐标赋值：x1？，y1？，x2？，y2？；计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即xx2x1，yy2y1；计算d；给出两点的距离d.通过以上步骤，对任意两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离(5)如下图所示：过点A、B、M分别向x轴、y轴作垂线AA1、AA2、BB1、BB2、MM1、MM2，垂足分别为A1(x1,0)、A2(0，y1)，B1(x2,0)、B2(0，y2)，M1(x,0)、M2(0，y)因为M是线段AB的中点，所以点M1和点M2分别是A1B1和A2B2的中点，则A1M1M1B1，A2M2M2B2.所以xx1x2x，yy1y2y，即x，y，这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式思路1例1已知A(2，4)，B(2,3)，求d(A，B)解：x12，x22，y14，y23，xx2x1224，yy2y13(4)7，d(A，B).变式训练1已知A(2,1)，B(1，b)，|AB|5，则b等于()A3 B5 C3或5 D1或3解析：由题意，得5，解得b3或5.答案：C2已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求证ABC是等腰三角形证明：因为d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)，所以|AC|BC|.又A、B、C不共线，所以ABC是等腰三角形例2已知ABCD，求证：AC2BD22(AB2AD2)分析：如果在ABCD所在的平面上建立直角坐标系，写出点A、B、C、D的坐标，则由距离公式就能证明题中结论是否成立，由于点的坐标与坐标系有关，所以我们建立的坐标系，要尽量使点的坐标容易表示出来证明：取A为坐标原点、AB所在直线为x轴，建立直角坐标系xOy.如下图依据平行四边形的性质可设点A、B、C、D的坐标为A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，D(ba，c)所以AB2a2，AD2(ba)2c2，AC2b2c2，BD2(b2a)2c2.得AC2BD24a22b22c24ab2(2a2b2c22ab)，AB2AD22a2b2c22ab，所以AC2BD22(AB2AD2)点评：本例证明了一个重要的定理：平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和从中我们看到，几何问题可以转化为代数问题，通过一步步地计算来解决这种解决问题的方法叫做坐标法，同学们在整章的学习中，都将体会到坐标法在研究几何问题中的作用和威力 变式训练已知：ABC中，D是BC边上任意一点(与B，C不重合)，且|AB|2|AD|2|BD|DC|.求证：ABC为等腰三角形证明：作AOBC，垂足为O.以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系，如下图设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)因为|AB|2|AD|2|BD|DC|，所以，由距离公式可得b2a2d2a2(db)(cd)，即(db)(bd)(db)(cd)，又db0，故bdcd，即bc.所以|AB|AC|，所以，ABC为等腰三角形思路2例3已知ABCD的三个顶点A(3,0)，B(2，2)，C(5,2)，求顶点D的坐标(如下图)解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同，设点D的坐标为(x，y)，则解得所以点D的坐标为(0,4) 变式训练1已知平行四边形ABCD的三个顶点是A(3，2)，B(5,2)，C(1,4)，求它的第四个顶点D的坐标分析：由于平行四边形是中心对称图形，利用中点坐标公式即可求得D点的坐标解：对角线AC，BD互相平分，AC，BD的中点重合设第四个顶点为D1(x1，y1)，由中点公式有解得即点D的坐标为(3,0)2点P(x，y)满足：，那么点P的轨迹形状为_解析：设A(1,2)，B(3,4)，则有|PA|PB|AB|，所以点P的轨迹是线段AB，故填线段答案：线段3点A(a，b)关于点M(m，n)的对称点的坐标是_解析：设点A(a，b)关于点M(m，n)的对称点为A(x，y)，则xa2m，yb2n，整理，得x2ma，y2nb.答案：(2ma,2nb)1以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是()A直角三角形 B等腰三角形C正三角形 D等腰直角三角形答案：B2已知点A(1,3)，B(2,4)，点P在x轴上，且|PA|PB|，则点P的坐标是_解析：设P(x,0)，则，解得x.答案：3若A(a，b)，B(b，a)，则|AB|_.答案：|ab|4判断A(1，1)，B(0,1)，C(1,3)三点是否共线，并说明理由解：|AB|；|BC|；|AC|2；则|AC|AB|BC|，所以三点共线5已知点P(x，y)，求：关于y轴的对称点；关于x轴的对称点；关于原点的对称点；关于直线yx的对称点；关于直线yx的对称点答案：(x，y)(x，y)(x，y)(y，x)(y，x)已知点A(2,5)，B(4，7)，(1)求|PA|PB|的最小值；(2)求|QA|QB|的最大值分析：借助于三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分别利用对称确定取最小值时点P和Q的位置解：(1)如下图，点A关于y轴的对称点是A(2,5)，则|PA|PB|PA|PB|，由三角形的知识得|PA|PB|AB|，又|AB|6，即|PA|PB|的最小值是6. (2)如下图，点A关于x轴的对称点是A(2，5)，则|QA|QB|QA|QB|，由三角形的知识得|QA|QB|AB|，又|AB|2，所以|QA|QB|的最大值为2.本节课学习了：平面直角坐标系中的两点间距离公式和中点公式、坐标法及其应用本节练习B 1,2,3题. 通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、类比、证明，这样更有利于学生掌握知识，更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习备选习题1证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤证明：建立直角坐标系，如下图，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)设D(a,0)，D(b，c)，则由平行四边形的性质的点C的坐标为(ab，c)，因为|AB|2a2，|CD|2a2，|AD|2b2c2|BC|2，|AC|2(ab)2c2，|BD|2(ba)2c2，所以，|AB|2|CD|2|AD|2|BC|22(a2b2c2)，|AC|2|BD|22(a2b2c2)所以|AB|2|CD|2|AD|2|BC|2|AC|2|BD|2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)证明：如下图取线段BC所在的直线为x轴，点D为原点(O)，建立直角坐标系，设点A的坐标为(b，c