高考数学 第四章 第三节 平面向量的数量积课件 理 新人教A版.ppt

第三节平面向量的数量积 1 平面向量的数量积 1 定义 a b cos 2 向量的投影设 为a与b的夹角 则向量a在b方向上的投影是 向量b在a方向上的投影是 3 平面向量数量积的几何意义数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 的乘积 a cos b cos b cos 2 平面向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是单位向量 为a与b 或e 的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a 或者 a a b 0 a 2 4 cos 5 a b 3 数量积的运算律 1 交换律 a b b a 2 数乘结合律 a b 3 分配律 a b c 4 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角设向量a x1 y1 b x2 y2 向量a与b的夹角为 则 a b a b a b a c x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量在另一个向量方向上的投影为数量 而不是向量 2 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的运算结果是向量 3 由a b 0可得a 0或b 0 4 由a b a c及a 0不能推出b c 5 在四边形abcd中 且 0 则四边形abcd为矩形 解析 1 正确 由向量的投影的定义可知正确 2 正确 由数量积及向量线性运算的定义易得正确 3 不正确 因为当a b时也有a b 0 而不必a 0或b 0 4 正确 向量的数量积不满足消去律 5 不正确 由可得四边形为平行四边形 由 0得四边形的对角线垂直 此四边形一定是菱形 故不能判定为矩形 答案 1 2 3 4 5 1 若非零向量a b c满足a b 且a c 则c a 2b a 4 b 3 c 2 d 0 解析 选d 由a b及a c 得b c 则c a 2b c a 2c b 0 2 已知向量a 1 2 向量b x 2 且a a b 则实数x等于 a 9 b 4 c 0 d 4 解析 选a a b 1 x 4 由a a b 得1 x 8 0 x 9 3 已知向量a 1 2 b 2 3 若向量c满足 c a b c a b 则c a b c d 解析 选d 设c m n 则a c 1 m 2 n a b 3 1 对于 c a b 则有 3 1 m 2 2 n 又c a b 则有3m n 0 则有m n 4 已知向量a b满足 b 2 a与b的夹角为60 则b在a上的投影是 解析 b在a上的投影是 b cos a b 2cos60 1 答案 1 5 已知 a b 2 a 2b a b 2 则a与b的夹角为 解析 由 a b 2 a 2b a b 2 得a b 2 cos a b 又 a b 0 所以 a b 答案 考向1平面向量数量积的概念及运算 典例1 1 2012 天津高考 已知 abc为等边三角形 ab 2 设点p q满足 1 r 若 则 a b c d 2 2012 北京高考 已知正方形abcd的边长为1 点e是ab边上的动点 则的值为 的最大值为 思路点拨 规范解答 1 选a 由题意得 又 且 2 60 cos60 2 即 2 2 1 1 2 所以4 2 2 1 4 1 解得 2 方法一 如图所示 以ab ad所在的直线分别为x y轴建立直角坐标系 设e t 0 0 t 1 则d 0 1 b 1 0 c 1 1 t 1 0 1 1 又 1 0 t 1 方法二 选取 作为基底 设 0 t 1 则 0 1 1 t 1 答案 11 拓展提升 向量数量积的两种运算方法 1 当已知向量的模和夹角时 可利用定义法求解 即a b a b cos a b 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 运用两向量的数量积可解决长度 夹角 垂直等问题 解题时应灵活选择相应公式求解 变式训练 1 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则x a 6 b 5 c 4 d 3 解析 选c 8a b 8 1 1 2 5 6 3 所以 8a b c 6 3 3 x 30 即 18 3x 30 解得 x 4 故选c 2 已知两个单位向量e1 e2的夹角为 若向量b1 e1 2e2 b2 3e1 4e2 则b1 b2 解析 b1 b2 e1 2e2 3e1 4e2 3 e1 2 2e1 e2 8 e2 2 又 e1 e2 e1 1 e2 1 b1 b2 3 2cos 8 3 1 8 6 答案 6 考向2平面向量的垂直与夹角 典例2 1 若向量a 1 2 b 1 1 则2a b与a b的夹角等于 a b c d 2 已知a与b为两个不共线的单位向量 k为实数 若向量a b与向量ka b垂直 则k 3 设两个向量a b 满足 a 2 b 1 a与b的夹角为 若向量2ta 7b与a tb的夹角为钝角 求实数t的范围 思路点拨 1 先求2a b与a b的坐标 再利用数量积的坐标运算求夹角 2 向量a b与向量ka b垂直等价于 a b ka b 0 展开用数量积公式求得k的值 3 利用向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于0且两向量不共线反向解题 规范解答 1 选c 2a b 3 3 a b 0 3 设2a b与a b的夹角为 cos 又 0 故 2 a b ka b a b ka b 0 即ka2 k 1 a b b2 0 又 a b为两个不共线的单位向量 式可化为k 1 1 k a b 若1 k 0 则a b 1 这与a b不共线矛盾 若1 k 0 则k 1 1 k a b恒成立 综上可知 k 1时符合题意 答案 1 3 由向量2ta 7b与a tb的夹角为钝角 得 0 即 2ta 7b a tb 0 化简即得2t2 15t 7 0 解得 7 t 当夹角为 时 也有 2ta 7b a tb 0 但此时夹角不是钝角 设2ta 7b a tb 0 可求得 t 所求实数t的范围是 7 互动探究 本例题 1 中若条件不变 问题改为 为何值时 a b与a b的夹角为90 则如何求 解析 由条件得 a b 1 2 1 a b 0 3 若 a b与a b的夹角为90 则 a b a b 3 2 1 0 解得 即当 时 向量 a b与a b的夹角为90 拓展提升 1 根据平面向量数量积的性质 若a b为非零向量 cos 夹角公式 a b a b 0等 所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度 垂直问题 2 数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角 数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角 数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角 变式备选 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a与b的夹角 2 求 a b 和 a b 3 若 a b 作 abc 求 abc的面积 解析 1 由 2a 3b 2a b 61 得4 a 2 4a b 3 b 2 61 a 4 b 3 代入上式求得a b 6 cos 又 0 2 可先平方转化为向量的数量积 a b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 42 2 6 32 13 a b 同理 a b 3 由 1 知 bac a 4 b 3 s abc sin bac 3 4 sin 3 考向3平面向量的模及应用 典例3 1 已知向量a cos sin 向量b 1 则 2a b 的最大值 最小值分别是 a 4 0 b 4 2 c 16 0 d 4 0 2 2012 新课标全国高考 已知向量a b的夹角为45 且 a 1 2a b 则 b 3 2013 东莞模拟 在平面直角坐标系xoy中 已知点a 1 2 b 2 3 c 2 1 求以线段ab ac为邻边的平行四边形两条对角线的长 设实数t满足 0 求t的值 思路点拨 1 运用三角函数的知识解决 2 将 2a b 的平方展开 代入 a a b的值 将所得看作关于 b 的方程 解方程即可 3 将平行四边形两条对角线的长转化为向量的模长或两点间的距离问题解决 利用向量的坐标运算解决 规范解答 1 选d 由于 2a b 2 4a2 b2 4a b 8 4 cos sin 8 8cos 易知0 8 8cos 16 故 2a b 的最大值和最小值分别为4和0 2 a b的夹角为45 a 1 a b a b cos45 b 2a b 2 4 4 b b 2 10 b 3 答案 3 3 方法一 由题设知 3 5 1 1 则 2 6 4 4 所以 故所求的两条对角线的长分别为2 4 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为d 两条对角线的交点为e 则e为bc的中点 e 0 1 又e 0 1 为ad的中点 所以d 1 4 故所求的两条对角线的长分别为bc 4 ad 2 由题设知 2 1 3 2t 5 t 由 0 得 3 2t 5 t 2 1 0 从而5t 11 所以t 拓展提升 解决向量长度问题的方法 1 几何法 利用向量的几何意义 即利用向量的加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量 再利用余弦定理等方法求解 2 代数法 即利用公式 a 或 a 2 a a把长度问题转化为数量积的运算来解决 变式训练 1 若a b c均为单位向量 且a b 0 a c b c 0 则 a b c 的最大值为 a 1 b 1 c d 2 解析 选b 由向量a b c都是单位向量 可得a2 1 b2 1 c2 1 由a b 0及 a c b c 0 可以知道 a b c c2 1 因为 a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 所以有 a b c 2 3 2 a c b c 3 2 a b c 故 a b c 1 2 设在平面上有两个向量a cos sin 0 360 b 求证 向量a b与a b垂直 当向量a b与a b的模相等时 求 的大小 解析 因为 a b a b a 2 b 2 cos2 sin2 0 故a b与a b垂直 由 a b a b 两边平方得3 a 2 2a b b 2 a 2 2a b 3 b 2 所以2 a 2 b 2 4a b 0 而 a b 所以a b 0 则 cos sin 0 即cos 120 0 120 k 180 90 k z 即 k 180 210 k z 又0 360 则 30 或 210 满分指导 平面向量与三角函数综合题的规范解答 典例 12分 2013 广州模拟 已知向量a cosx sinx b cos sin c 1 其中x r 1 当a b 时 求x值的集合 2 设函数f x a c 2 求f x 的最小正周期及其单调增区间 思路点拨 规范解答 1 a b coscos sinsin cosx x 2k k z 2分 所求x的集合为 x x 2k k z 4分 2 a c cos sin 1 f x a c 2 cos 2 sin 1 2 5 2cos 2sin 5 4 sincos 5 4 8分 最小正周期为 10分由 得 k z 11分 单调增区间是 k z 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 湖南高考 在 abc中 ab 2 ac 3 1 则bc a b c 2 d 解析 选a 5 即2 3cosa 5 cosa 由余弦定理得bc2 ab2 ac2 2ab ac cosa 22 32 2 2 3 3 bc 2 2013 阳江模拟 如图 已知正六边形p1p2p3p4p5p6 下列向量的数量积中最大的是 a b c d 解析 选a 设正六边形的边长为1 则 cos60 2 1 cos90 0 cos120 所以数量积最大的为 3 2012 广东高考 对任意两个非零向量定义 若平面向量a b满足 a b 0 a与b的夹角 0 且和都在集合 n z 中 则 a b 1 c d 解析 选c 根据题中的向量的新运算及向量的数量积 可知 0 0 0 1 0 cos 1 即 0 1 又 n z 由 得 cos2 1 1 1 2 4 2013 梅州模拟 在 abc中 o为中线am上一个动点 若am 2 则的最小值是 解析 如图所示 设om x am 2 则oa 2 x 则 2 2 x x 4x 2x2 2 x 1 2 2 0 x 2 当x 1时 的最小值为 2 答案 2 1 已知向量m n的夹角为 且 m n 2 在 abc中 m n m 3n d为bc边的中点 则 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选a 由题意知 m n m n 2 m2 n2 2m n 3 4 2 2 cos 1 1 2 已知向量p 2 x 1 q x 3 且p q 若由x的值构成的集合a满足a x ax 2 则实数a构成的集合是 a 0 b c d 0 解析 选d p