高中数学 3.1两角和与差的三角函数课件 北师大版必修4 .ppt

求同一个角的三角函数值利用同角三角函数关系求值可以按以下步骤 方法进行 1 一看 考查题设的条件中是否能确定角的范围 角的范围直接决定三角函数值解的个数 2 二变 在求值时 往往要在原有关系的基础上先变形 再列方程 组 具体如下 若已知sin 或cos 求tan 常用以下变形 若已知tan 求sin 或cos 常用以下变形 3 三算 利用步骤二建立方程 组 并结合步骤一角的范围写出该角的三角函数值 若角 的范围不确定 涉及开方时 常因三角函数值的符号问题 对角 进行分区间 象限 讨论 例1 2011 上海春季高考改编 在 abc中 求sina和cosa的值 审题指导 该题中的前提条件 在 abc中 实际上暗示了角a 0 又给出进一步明确了角a是锐角 因此 在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值 规范解答 因为 abc中所以 a是锐角 由解得所以 互动探究 本例题中将 在 abc中 这个条件去掉 已知求cosa和tana的值 解析 由得角a是第一或第二象限角 当a为第一象限角时 由sin2a cos2a 1得从而当a为第二象限角时 由sin2a cos2a 1得即从而 例 已知 是三角形的内角 且求tan 的值 审题指导 由及sin2 cos2 1 可求sin cos 的值 规范解答 方法一 由 得将其代入 整理得25sin2 5sin 12 0 是三角形的内角 方法二 即且0 sin 0 cos 0 sin cos 0 由得 变式备选 若 0 且求sin cos 及sin cos 的值 解析 又 0 sin 0 cos 0 关于sin cos 齐次式的求值 关于sin cos 的齐次式的求值关于sin cos 的齐次式的求值问题 关于sin cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin cos 的式子 且它们的次数之和相同 其求解策略为 可用cosn n n 去除原式分子 分母的各项 这样可以将原式化为关于tan 的表达式 再整体代入tan m的值 从而完成求值任务 具体如下 1 形如的分式 分子 分母分别同时除以cos cos2 将正 余弦转化为正切或常数 从而求值 2 形如asin2 bsin cos ccos2 的式子 将其看成分母为1的分式 再将分母1变形为sin2 cos2 转化为形如的式子 例2 2011 天津高一检测 已知sin 2cos 求的值 审题指导 根据条件sin 2cos 得tan 2 再利用平方关系sin2 cos2 1代替式子中的常数 最终利用商数关系转化成tan 的式子求值 规范解答 由sin 2cos 得tan 2 分子 分母同时除以cos2 得上式代入tan 2 上式 变式训练 已知tan 3 计算 1 sin cos 2 sin cos 2 解题提示 将正余弦函数转化为关于正切的表达式 解析 由tan 3 可知tan 3 化简三角函数式用同角三角函数关系式化简三角函数式是检验对公式掌握的灵活程度和驾驭能力 化繁为简是根本原则 常用以下的技巧方法 1 化切为弦 即把正切函数化成正 余弦函数 从而减少函数名称 达到化简的目的 2 对于含有根号的 常把根号下化成完全平方式 然后根据选取的正负号去根号达到化简的目的 3 对于化简含高次的三角函数式 往往借助于因式分解 或构造sin2 cos2 1 以降低函数次数 达到化简的目的 例3化简 审题指导 从式子结构出发 解决该题先开方 再化简 角的范围的不确定性需要分情况讨论 规范解答 原式 变式训练 化简 解析 原式 证明三角恒等式证明三角恒等式 实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子通过巧妙变形后消除差异 实现联通 使其左右两侧相等 为了达到这个目的 我们经常采用以下的策略和方法 1 从一边开始 证明它等于另一边 2 证明左右两边都等于同一个式子 3 变更论证 采用左右相减 化除为乘等方法 转化成与原结论等价的命题形式 例4 求证 审题指导 所要求证等式左右两边均比较繁琐时 由一边推导出另一边比较困难 此时可将两边分别化简再比较 规范解答 证明 左边 sin cos 2 sin2 cos2 2sin cos 1 2sin cos 右边 左边 右边 即 变式训练 求证 证明 方法一 左边 右边 原等式成立 方法二 右边 左边 原等式成立 典例 12分 已知sin t 且 1 t 1 求角 的余弦值和正切值 审题指导 已知角 的正弦值sin 可用平方关系求余弦值cos 再利用商数关系求正切值tan 求解过程中要讨论 的范围 规范解答 sin t 且 t 1 角 可能为四个象限角或x轴上的轴线角 2分 1 当 为第一 四象限和x轴非负半轴上的角时 有 6分 2 当 为第二 三象限和x轴非正半轴上的角时 有 12分 误区警示 对解答本题易犯的错误具体分析如下 即时训练 若tan m m 0 且则角 是 a 第一 三象限的角 b 第二 四象限的角 c 第二 三象限的角 d 第一 四象限的角 解析 选c 因为sin2 cos2 1 所以sin2 1 cos2 即因为tan m 0 故 终边不在x轴上 当 是第二 三象限角时 故选c 1 已知且 是第四象限角 则sin 等于 解析 选d 在第四象限 sin 0 2 若则下列结论中一定成立的是 c sin cos 1 d sin cos 0 解析 选d sin cos 2 1 2sin cos 0 3 若cos80