圆中常用的作辅助线的八种方法PPT学习课件

阶段方法技巧训练 一 专训2圆中常用的作辅助线的八种方法 1 2020 4 17 在解决有关圆的计算或证明题时 往往需要添加辅助线 根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要 圆中常用的辅助线作法有 作半径 巧用同圆的半径相等 连接圆上两点 巧用同弧所对的圆周角相等 作直径 巧用直径所对的圆周角是直角 证切线时 连半径 证垂直 以及 作垂直 证半径 等 2 2020 4 17 1 方法 作半径 巧用同圆的半径相等 1 如图所示 两正方形彼此相邻 且大正方形ABCD的顶点A D在半圆O上 顶点B C在半圆O的直径上 小正方形BEFG的顶点F在半圆O上 E点在半圆O的直径上 点G在大正方形的边AB上 若小正方形的边长为4cm 求该半圆的半径 3 如图 连接OA OF 设OA OF rcm AB acm 在Rt OAB中 r2 a2 在Rt OEF中 r2 42 a2 16 16 4a 解得a1 8 a2 4 舍去 r2 82 80 r1 4 r2 4 舍去 即该半圆的半径为4cm 解 4 在有关圆的计算题中 求角度或边长时 常连接半径构造等腰三角形或直角三角形 利用特殊三角形的性质来解决问题 5 2 方法 连接圆上两点 巧用同弧所对的圆周角相等 2 如图 圆内接三角形ABC的外角 ACM的平分线与圆交于D点 DP AC 垂足是P DH BM 垂足为H 求证 AP BH 6 如图 连接AD BD DAC DBC是DC所对的圆周角 DAC DBC CD平分 ACM DP AC DH CM DP DH 在 ADP和 BDH中 ADP BDH AP BH 证明 7 本题通过作辅助线构造圆周角 然后利用 同弧所对的圆周角相等 得到 DAC DBC 为证两三角形全等创造了条件 8 3 作直径 巧用直径所对的圆周角是直角 方法 3 如图 O的半径为R 弦AB CD互相垂直 连接AD BC 1 求证 AD2 BC2 4R2 9 1 如图 过点D作 O的直径DE 连接AE EC AC DE是 O的直径 ECD EAD 90 又 CD AB EC AB BAC ACE BC AE BC AE 在Rt AED中 AD2 AE2 DE2 AD2 BC2 4R2 证明 10 2 若弦AD BC的长是方程x2 6x 5 0的两个根 AD BC 求 O的半径及点O到AD的距离 2 如图 过点O作OF AD于点F 弦AD BC的长是方程x2 6x 5 0的两个根 AD BC AD 5 BC 1 解 11 由 1 知 AD2 BC2 4R2 52 12 4R2 R EAD 90 OF AD OF EA 又 O为DE的中点 OF AE BC 即点O到AD的距离为 12 本题作出直径DE 利用 直径所对的圆周角是直角 构造了两个直角三角形 给解题带来了方便 13 4 证切线时辅助线作法的应用 方法 4 如图 ABC内接于 O CA CB CD AB且与OA的延长线交于点D 判断CD与 O的位置关系 并说明理由 14 CD与 O相切 理由如下 如图 作直径CE 连接AE CE是直径 EAC 90 E ACE 90 CA CB B CAB AB CD ACD CAB B ACD 又 B E ACD E ACE ACD 90 即OC DC 又OC为 O的半径 CD与 O相切 解 15 5 遇弦加弦心距或半径 方法 5 如图所示 在半径为5的 O中 AB CD是互相垂直的两条弦 垂足为P 且AB CD 8 则OP的长为 A 3B 4C 3D 4 C 16 6 中考 贵港 如图所示 AB是 O的弦 OH AB于点H 点P是优弧上一点 若AB 2 OH 1 则 APB的度数是 17 6 遇直径巧加直径所对的圆周角 方法 7 如图 在 ABC中 AB BC 2 以AB为直径的 O分别交BC AC于点D E 且点D是BC的中点 18 1 求证 ABC为等边三角形 1 如图 连接AD AB是 O的直径 ADB 90 点D是BC的中点 AD是线段BC的垂直平分线 AB AC AB BC AB BC AC ABC为等边三角形 证明 19 2 求DE的长 2 如图 连接BE AB是直径 AEB 90 BE AC ABC是等边三角形 AE EC 即E为AC的中点 D是BC的中点 故DE为 ABC的中位线 DE AB 2 1 解 20 7 遇切线巧作过切点的半径 方法 8 如图 O是Rt ABC的外接圆 ABC 90 点P是圆外一点 PA切 O于点A 且PA PB 21 1 求证 PB是 O的切线 1 如图 连接OB OA OB OAB OBA PA PB PAB PBA OAB PAB OBA PBA 即 PAO PBO 又 PA是 O的切线 PAO 90 PBO 90 OB PB 又 OB是 O的半径 PB是 O的切线 证明 22 2 已知PA ACB 60 求 O的半径 2 如图 连接OP PA PB 点P在线段AB的垂直平分线上 OA OB 点O在线段AB的垂直平分线上 OP为线段AB的垂直平分线 解 23 又 BC AB PO BC AOP ACB 60 由 1 知 PAO 90 APO 30 PO 2AO 在Rt APO中 AO2 PA2 PO2 AO2 3 2AO 2 又 AO 0 AO 1 O的半径为1 24 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积 方法 9 中考 自贡 如图所示 点B C D都在 O上 过点C作AC BD交OB的延长线于点A 连接CD 且 CDB OBD 30 DB 6cm 25 1 求证 AC是 O的切线 1 如图 连接CO 交DB于点E O 2 CDB 60 又 OBE 30 BEO 180 60 30 90 AC BD ACO BEO 90 即OC AC 又 点C在 O上 AC是 O的切线 证明 26 2 求由弦CD BD与BC所围成的阴影部分的面积 结果保留 2 OE